3. İçine Örten Birebir Eşit Fonksiyon

İçine, Örten, Birebir ve Eşit Fonksiyonlar 

 🎯Kazanımlar

Bu bölümü tamamladığında;

• İçine ve örten fonksiyon türlerini değer kümesindeki ($B$) elemanların eşleşme durumuna göre ayırt edebilecek,
• Bire bir fonksiyon olma şartını $x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2)$ önermesiyle ve yatay doğru testiyle sınayabilecek,
• İki farklı kuralın aynı tanım kümesinde eşit fonksiyonlar ($f = g$) oluşturma koşullarını uygulayabilecek,
• Sonlu kümelerde bire bir ve örten fonksiyon sayılarını hesaplayabileceksin.

 📖Konu Anlatımı

 1. İçine Fonksiyon

- Tanım: $f: A \to B$ fonksiyonunda, değer kümesinde ($B$) en az bir eleman eşleşmeden açıkta kalıyorsa $f$ fonksiyonuna içine fonksiyon denir.

 Kümesel İfade: Görüntü kümesi, değer kümesine eşit değildir:

  $$\mathbf{f(A) \neq B \quad (\text{veya } f(A) \subset B)}$$

 Örnek: $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$, $f(x) = 4x$ fonksiyonunda görüntü kümesi sadece $4$'ün katı tam sayılardan oluşur. Değer kümesindeki $1, 2, 3, 5$ gibi elemanlar açıkta kaldığı için bu fonksiyon içine bir fonksiyondur.

 2. Örten Fonksiyon

 Tanım: $f: A \to B$ fonksiyonunda, değer kümesinde ($B$) eşleşmemiş hiç eleman kalmıyorsa $f$ fonksiyonuna örten fonksiyon denir.

 Kümesel İfade: Görüntü kümesi ile değer kümesi birbirine eşittir:

  $$\mathbf{f(A) = B}$$

 Başka bir deyişle, değer kümesindeki her bir eleman için tanım kümesinde en az bir karşılık (girdi) bulunmaktadır:

  $$\forall y \in B \text{ için } f(x) = y \text{ olacak şekilde en az bir } x \in A \text{ vardır.}$$

 Örnek: $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 5x - 2$ doğrusal fonksiyonunun görüntü kümesi tüm gerçel sayıları kapsar. Değer kümesinde açıkta eleman kalmadığı için bu fonksiyon örten bir fonksiyondur.

3. Bire Bir Fonksiyon

 Tanım: Bir fonksiyonun tanım kümesindeki her farklı elemanın görüntüsü de birbirinden farklı ise bu fonksiyona bire bir fonksiyon denir.

 Sembolik Gösterim: $f: A \to B$ fonksiyonunda $\forall x_1, x_2 \in A$ için:

  $$\mathbf{x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2)}$$

  veya bu koşulun karşıt tersi olan:

  $$\mathbf{f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2}$$

  sağlanıyorsa fonksiyon bire birdir.

 Örnek: $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^5$ fonksiyonunda her gerçel sayının 5. kuvveti farklı bir sayıya eşleneceğinden bu fonksiyon bire bir bir fonksiyondur. Ancak $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(x) = x^4$ fonksiyonunda $g(-3) = g(3) = 81$ olduğundan (farklı girdiler aynı çıktıya gittiği için) bu fonksiyon bire bir değildir.

 4. Eşit Fonksiyonlar

 Tanım: Tanım ve değer kümeleri aynı olan iki fonksiyonun, tanım kümesindeki her bir eleman için ürettiği görüntüler de birbirine eşit oluyorsa bu iki fonksiyona eşit fonksiyonlar denir ve $f = g$ şeklinde gösterilir.

 Koşullar: $f: A \to B$ ve $g: A \to B$ fonksiyonlarının eşit olabilmesi için:

  1. Tanım ve değer kümeleri birebir aynı olmalıdır.

  2. $\forall x \in A$ için $f(x) = g(x)$ eşitliği sağlanmalıdır.

 📌 Örnek:

$A = \{-2, 2\}$ kümesinde tanımlı $f: A \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 + 1$ ve $g: A \to \mathbb{R}$, $g(x) = |x| + 3$ fonksiyonlarını inceleyelim:

 $f(-2) = (-2)^2 + 1 = 5$ ve $g(-2) = |-2| + 3 = 5 \implies f(-2) = g(-2)$

 $f(2) = 2^2 + 1 = 5$ ve $g(2) = |2| + 3 = 5 \implies f(2) = g(2)$  

Tüm elemanların görüntüleri eşit olduğundan $f = g$'dir.

 5. Grafiksel Yorum (Yatay Doğru Testi)

Grafiği verilen bir fonksiyonun bire bir ve örten olup olmadığını anlamak için değer kümesindeki $y$ değerlerinden $x$-eksenine paralel (yatay) doğrular çizilir:

• Çizilen doğrular grafiği en az bir noktada kesiyorsa fonksiyon örtendir.
• Çizilen doğrular grafiği en çok bir noktada kesiyorsa fonksiyon bire birdir.
• Çizilen doğrular grafiği hem en az hem de en çok bir noktada (yani tam olarak tek bir noktada) kesiyorsa fonksiyon hem bire bir hem de örtendir.

 ✏️Çözümlü Örnekler 

Örnek 1 (İçine Fonksiyon Analizi):  

$f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$, $f(x) = 4x$ fonksiyonunun neden içine olduğunu açıklayınız.

Çözüm:  

Görüntü kümesi $f(\mathbb{Z}) = \{\dots, -8, -4, 0, 4, 8, \dots\}$ yani sadece 4'ün katı tam sayılardır.  

Değer kümesi olan $\mathbb{Z}$ içindeki $1, 2, 3, 5$ gibi tam sayılar açıkta kalır.  

$f(\mathbb{Z}) \neq \mathbb{Z}$ olduğu için fonksiyon içine bir fonksiyondur.

Örnek 2 (Örten Fonksiyon İspatı):  

$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 5x - 2$ fonksiyonunun örten olduğunu gösteriniz.

Çözüm:  

Değer kümesinden seçilen her $y \in \mathbb{R}$ için $f(x) = y$ sağlayan bir $x \in \mathbb{R}$ arayalım:

$$5x - 2 = y \implies 5x = y + 2 \implies x = \frac{y + 2}{5}$$

Her $y$ gerçel sayısı için $x = \frac{y + 2}{5}$ ifadesi de bir gerçel sayıdır ($x \in \mathbb{R}$). Dolayısıyla değer kümesinde açıkta eleman kalmaz, fonksiyon örten bir fonksiyondur.

Örnek 3 (Bire Bir Fonksiyon ve Karşıt Örnek):  

$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^5$ ve $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(x) = x^4$ fonksiyonlarının bire birlik durumlarını inceleyiniz.

Çözüm:  

 $f(x) = x^5$ için: $a^5 = b^5 \implies a = b$ olduğundan her gerçel sayının 5. kuvveti farklıdır. $f(x)$ bire bir fonksiyondur.

 $g(x) = x^4$ için: $g(-3) = (-3)^4 = 81$ ve $g(3) = 3^4 = 81$'dir. Farklı iki girdi ($-3 \neq 3$) aynı çıktıya ($81$) gittiği için $g(x)$ bire bir değildir.

Örnek 4 (Eşit Fonksiyon İncelemesi):  

$A = \{-2, 2\}$ kümesinde tanımlı $f: A \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 + 1$ ve $g: A \to \mathbb{R}$, $g(x) = |x| + 3$ fonksiyonlarının eşitliğini inceleyelim.

Çözüm:  

Tanım kümesindeki tüm elemanlar için çıktıları hesaplayalım:

 $x = -2 \implies f(-2) = (-2)^2 + 1 = 5$ ve $g(-2) = |-2| + 3 = 5 \implies f(-2) = g(-2)$

 $x = 2 \implies f(2) = 2^2 + 1 = 5$ ve $g(2) = |2| + 3 = 5 \implies f(2) = g(2)$

$A$ kümesindeki her eleman için $f(x) = g(x)$ sağlandığından $f = g$ (eşit fonksiyonlardır).

Örnek 5 (Sonlu Kümelerde Bire Birlik - Örtenlik İlişkisi):  

$A$ ve $B$ kümelerinin eleman sayıları $s(A) = s(B) = 5$'tir. $f: A \to B$ fonksiyonu bire bir ise örten midir?

Çözüm:  

$f$ bire bir olduğundan $A$'daki 5 farklı eleman $B$'deki 5 farklı elemanla birebir eşleşir. $s(B) = 5$ olduğuna göre $B$'deki 5 elemanın tümü eşleşmiş olur ve açıkta eleman kalmaz.  

Dolayısıyla eşit eleman sayılı sonlu kümelerde bire bir olan fonksiyon aynı zamanda örtendir.

Örnek 6 (Yatay Doğru Testi Analizi):  

Grafiği verilen bir $f(x)$ fonksiyonuna çizilen yatay doğrular grafiği bazı yerlerde 3 noktada, bazı yerlerde 1 noktada kesmektedir. Bu fonksiyonun bire bir ve örtenliğini yorumlayınız.

Çözüm:  

 Yatay doğrular grafiği 3 noktada kestiği yerler olduğu için (en çok 1 noktada kesme şartı ihlal edildiğinden) bire bir değildir.

 Her yatay çizgi grafiği en az 1 noktada kesiyorsa örtendir; kesmeyen çizgi varsa içinedir.

Örnek 7 (Tanım Kümesinin Bire Birliğe Etkisi):  

 a) $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^2 + 5$

 b) $g: [0, \infty) \to [5, \infty), g(x) = x^2 + 5$  

fonksiyonlarının bire bir ve örtenlik durumlarını karşılaştırınız.

Çözüm:  

 a) $f(-2) = f(2) = 9$ olduğu için $f$ bire bir değildir. Görüntü kümesi $[5, \infty) \neq \mathbb{R}$ olduğu için içinedir.

 b) Tanım kümesi negatif olmayan sayılar olduğu için her farklı $x \ge 0$ için $x^2 + 5$ farklı değerler alır (bire birdir). $g([0, \infty)) = [5, \infty)$ olduğu için örtendir.

Örnek 8 (Bire Bir Fonksiyon Sayısı Hesaplama):  

$s(A) = 4$ ve $s(B) = 6$ olmak üzere $A$'dan $B$'ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyon sayısı kaçtır?

Çözüm:  

 $A$'daki 1. elemanın $B$'de gidebileceği $\mathbf{6}$ seçenek vardır.

 $A$'daki 2. elemanın gidebileceği kalan $\mathbf{5}$ seçenek vardır.

 $A$'daki 3. elemanın gidebileceği kalan $\mathbf{4}$ seçenek vardır.

 $A$'daki 4. elemanın gidebileceği kalan $\mathbf{3}$ seçenek vardır.

Permütasyon formülü $P(6, 4)$ gereği:

$$\text{Bire Bir Fonksiyon Sayısı} = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = \mathbf{360\text{ tane}}.$$

 ⚠️ Sık Yapılan Hatalar

 🔴Bire Birlik ile Fonksiyon Olma Şartını Karıştırmak: Fonksiyon olma şartı "tek girdinin tek çıktıya gitmesi"dir. Bire birlik ise "her çıktının farklı bir girdiden gelmesi"dir.

 🔴Tanım Kümesini Göz Ardı Etmek: $f(x) = x^2$ kuralı $\mathbb{R}$'de bire bir değilken, $\mathbb{R}^+$'da bire birdir.

 🔴Yatay Doğru Testi ile Dikey Doğru Testini Karıştırmak: Dikey doğrular fonksiyon mu? kontrolü yapar; yatay doğrular ise bire bir / örten mi? kontrolü yapar.