1. Saymanın Temel İlkesi
Saymanın Temel İlkesi ve Sayma Yöntemleri
🎯Kazanımlar
Bu bölümü tamamladığında;
- Sonlu kümelerin eleman sayısını toplama ve çarpma yoluyla sayma ilkelerini kullanarak hesaplayabilecek,
- Bağımlı veya bağımsız ardışık olayların gerçekleşme yollarının sayısını saymanın temel ilkesiyle bulabilecek,
- Sözel olarak verilen kısıtlı durumlarda (mektup-kutu, giysi seçimi, yol problemleri vb.) adım adım seçenek mantığını kurabileceksin.
📖Konu Anlatımı
1. Bire Bir Eşleme Yoluyla Sayma
Tanım: Bir kümenin eleman sayısını bulmanın en temel yolu, o kümenin elemanlarını pozitif tam sayılar kümesinin ($\mathbb{Z}^+$) ilk $n$ elemanı ile sıralı olarak bire bir eşlemektir.
2. Toplama Yoluyla Sayma
Tanım: Ayrık (ortak elemanı olmayan) iki veya daha fazla olaydan yalnızca birinin gerçekleşebileceği durumlarda, seçeneklerin sayıları toplanır. Küme dilindeki karşılığı birleşimdir.
- Formül: $A$ ve $B$ sonlu ve ayrık iki küme ($A \cap B = \emptyset$) olmak üzere:
$$s(A \cup B) = s(A) + s(B)$$
- Mantık: Birbirinden bağımsız alternatif yollardan "ya bu ya şu" şeklinde tek bir seçim yapılacaksa toplama yapılır.
3. Çarpma Yoluyla Sayma
Tanım: Bir olayın gerçekleşmesi birden fazla aşamadan oluşuyorsa ve bu aşamalar ardışık olarak birlikte gerçekleşecekse, her bir aşamadaki seçenek sayıları birbiriyle çarpılır. Küme dilindeki karşılığı kartezyen çarpım eleman sayısıdır.
- Formül: $s(A) = m$ ve $s(B) = n$ olmak üzere, ardışık iki işlemin toplam durum sayısı:
$$m \cdot n$$
4. Saymanın Temel İlkesi (Çarpım Kuralı)
Tanım: Bir olaylar dizisinde;
- Birinci olay $n_1$ farklı yolla,
- İkinci olay $n_2$ farklı yolla,
- ...
- $k$. olay $n_k$ farklı yolla gerçekleşebiliyorsa, bu olayların tamamı ardışık olarak şu çarpım kadar farklı şekilde gerçekleşir:
$$n_1 \cdot n_2 \cdot n_3 \cdots n_k$$
✏️ Çözümlü Örnekler
Örnek 1 (Şehir / Yol Problemi):
A şehrinden B şehrine 3 farklı yol, B şehrinden C şehrine 4 farklı yol vardır. A şehrinden C şehrine B şehrine uğramak koşuluyla gitmek isteyen biri, kaç farklı yoldan gidip dönebilir?
Çözüm 1:
- Gidiş: A'dan B'ye 3 seçenek, B'den C'ye 4 seçenek vardır. Çarpma ilkesi gereği: $3 \cdot 4 = 12$ farklı gidiş yolu.
- Dönüş: Dönüşte herhangi bir yol kısıtlaması olmadığı için C'den B'ye 4, B'den A'ya 3 seçenek vardır: $4 \cdot 3 = 12$ farklı dönüş yolu.
- Gidiş ve Dönüş Toplamı: İşlemler ardışık gerçekleştiği için: $12 \cdot 12 = \mathbf{144}$ farklı yol.
Örnek 2 (Giyim / Kombinasyon Seçimi - Veya vs. Ve Ayrımı):
Dolabında 4 farklı gömleği ve 3 farklı pantolonu olan Kerem:
- I. Durum: 1 gömlek veya 1 pantolonu kaç farklı şekilde seçebilir?
- II. Durum: 1 gömlek ve 1 pantolonu kaç farklı şekilde giyebilir (kombinleyebilir)?
Çözüm 2:
- I. Durum (Veya / Toplama İlkesi): Yalnızca bir parça giysi seçileceği için seçenekler toplanır:
$$4 + 3 = \mathbf{7 \text{ farklı seçenek}}$$
- II. Durum (Ve / Çarpma İlkesi): Hem gömlek hem pantolon birlikte giyileceği için seçenekler çarpılır:
$$4 \cdot 3 = \mathbf{12 \text{ farklı kombinasyon}}$$
Örnek 3 (Şifre / Basamak Kuralları - Sıfır Tuzağı):
$A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ kümesinin elemanları kullanılarak üç basamaklı kaç farklı doğal sayı yazılabilir?
- a) Rakamları tekrarsız (farklı) kaç sayı yazılabilir?
- b) Rakamları tekrarlı (serbest) kaç sayı yazılabilir?
Çözüm 3:
Üç basamaklı sayı için yüzler, onlar ve birler basamağı kutularını inceleyelim: `[Yüzler] [Onlar] [Birler]`
a) Rakamları Tekrarsız:
- Yüzler basamağına: 0 yazılamaz. $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ $\rightarrow$ 5 seçenek.
- Onlar basamağına: 0 yazılabilir ancak yüzler basamağında kullanılan 1 rakam silinir $\rightarrow$ 5 seçenek.
- Birler basamağına: İlk iki basamakta kullanılan 2 rakam silinir $\rightarrow$ 4 seçenek.
- Sonuç: $5 \cdot 5 \cdot 4 = \mathbf{100 \text{ tane}}$.
b) Rakamları Tekrarlı (Serbest):
- Yüzler basamağına: 0 hariç 5 seçenek.
- Onlar basamağına: Kümenin tüm 6 elemanı yazılabilir $\rightarrow$ 6 seçenek.
- Birler basamağına: Tüm 6 eleman yazılabilir $\rightarrow$ 6 seçenek.
- Sonuç: $5 \cdot 6 \cdot 6 = \mathbf{180 \text{ tane}}$.
Örnek 4 (Mektup - Kutu Problemi):
4 farklı mektup, 5 farklı posta kutusuna:
- a) Herhangi bir kısıtlama olmaksızın kaç farklı şekilde postalanabilir?
- b) Her kutuya en çok bir mektup atılması koşuluyla kaç farklı şekilde postalanabilir?
Çözüm 4:
- a) Kısıtsız Dağıtım: Her mektubun 5 kutu seçeneği vardır.
- $M_1 \rightarrow 5$, $M_2 \rightarrow 5$, $M_3 \rightarrow 5$, $M_4 \rightarrow 5$
- Sonuç: $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^4 = \mathbf{625 \text{ farklı durum}}$.
- b) Her Kutuya En Çok 1 Mektup Koşulu:
- Birinci mektup ($M_1$): 5 kutudan birine $\rightarrow$ 5 seçenek.
- İkinci mektup ($M_2$): Kalan 4 kutudan birine $\rightarrow$ 4 seçenek.
- Üçüncü mektup ($M_3$): Kalan 3 kutudan birine $\rightarrow$ 3 seçenek.
- Dördüncü mektup ($M_4$): Kalan 2 kutudan birine $\rightarrow$ 2 seçenek.
- Sonuç: $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = \mathbf{120 \text{ farklı durum}}$.
⚠️ Sık Yapılan Hatalar
🔴Sıfır (0) Rakamını En Büyük Basamağa Yazmak: Sayı basamağı sorularında 0 sayısı en başa yazılırsa basamak sayısı düşer. 0 her zaman ayrı değerlendirilmelidir.
🔴"Veya" ile "Ve" Bağlaçlarını Karıştırmak: "Veya" kelimesi alternatif sunar ve toplama yapılır ($+$); "ve" kelimesi ise işlemlerin birlikte yapılacağını belirtir ve çarpma yapılır ($\cdot$).
🔴Mektup-Kutu Seçim Yönünü Karıştırmak: Kutular mektuplara gitmez; mektuplar kutulara dağıtılır. Seçim hakkı hareketli olan nesnededir (mektup).
Alıştırma Soruları
Bu konuyu ne kadar öğrendiğini test et!