3. Histogram Oluşturma Ve Veri Gruplandırma

 3. HİSTOGRAM OLUŞTURMA VE VERİ GRUPLANDIRMA 

 🎯Kazanımlar

Bu bölümü tamamladığında;

• Büyük ve sürekli veri gruplarını özetlemede histogramın mantığını ve sütun grafiğinden farkını açıklayabileceksin,
• Bir veri grubunun açıklığını ve hedeflenen grup sayısını kullanarak grup genişliği eşitsizliğini hatasız çözebileceksin,
• Grup genişliğini belirlerken neden "en küçük doğal sayı" kuralının uygulandığını gerekçelendirebileceksin,
• Ham veri setlerini belirli aralıklara bölerek frekans tablosu ve bitişik sütunlu histogram grafiği inşa edebileceksin,
• Verilen bir histogram grafiği üzerinden grup aralıklarını, frekans yoğunluklarını ve yaklaşık merkezi eğilim göstergelerini yorumlayabileceksin.

 📖 Konu Anlatımı

Büyük boyutlu ve sürekli veri setlerini tek tek incelemek hem zaman alıcıdır hem de genel örüntüyü görmeyi zorlaştırır. Verileri belirli aralıklara (sınıflara) bölerek frekans yoğunluğunu bitişik sütunlarla görselleştiren grafiklere histogram denir.

 3.1. Sütun Grafiği ile Histogram Arasındaki Kritik Fark

 3.2. Histogram Oluşturma Basamakları

Bir veri grubundan histogram oluşturulurken şu 4 adım sırasıyla takip edilir:

1. Adım (Sıralama): Veriler küçükten büyüğe sıralanır.

2. Adım (Açıklık Hesabı): Açıklık (ranj) bulunur: $\text{Açıklık} = x_{\max} - x_{\min}$.

3. Adım (Grup Sayısı): Hedeflenen grup (sınıf) sayısı belirlenir.

 4. Adım (Grup Genişliği): Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan en küçük doğal sayı grup genişliği olarak seçilir:

$$\text{Grup Genişliği} > \frac{\text{Açıklık}}{\text{Grup Sayısı}}$$

 💡Önemli Hatırlatma (Neden En Küçük Doğal Sayı?):

 Grup genişliği, $\frac{\text{Açıklık}}{\text{Grup Sayısı}}$ oranından büyük en küçük doğal sayı seçilir. Bunun nedeni:

 1. Tüm verilerin (özellikle en büyük değer $x_{\max}$'ın) son aralığa sığmasını garanti altına almak,

 2. Veri aralıklarını gereksiz yere aşırı genişletip anlamsız boşluklar oluşturmamaktır.

 Aralık oluşturulurken ilk grup en küçük değerden başlar. Örneğin genişlik $5$ ve $x_{\min}=3$ ise; $3, 4, 5, 6, 7$ olmak üzere 1. grup $3 - 7$ aralığıdır ($7 - 3 + 1 = 5$).

 3.3. Birebir Uygulama Örneği (Referans Model)

Veri Seti: $3,\ 4,\ 8,\ 8,\ 10,\ 12,\ 13,\ 16,\ 17$ ($n = 9$ veri)  

Hedef: Bu veri setini $3$ gruplu bir histograma dönüştürünüz.

 1. Adım (Sıralama): Veriler zaten küçükten büyüğe sıralıdır.

 2. Adım (Açıklık): $\text{Açıklık} = 17 - 3 = 14$.

 3. Adım (Oran): $\frac{\text{Açıklık}}{\text{Grup Sayısı}} = \frac{14}{3} \approx 4{,}66$.

 4. Adım (Grup Genişliği): $4{,}66$'dan büyük en küçük doğal sayı $5$'tir.

 5. Adım (Aralıkların ve Frekansların Tespiti):

✏️ Çözümlü Örnekler 

Örnek 1

En küçük değeri $12$, en büyük değeri $47$ olan bir veri seti $5$ gruplu bir histogram ile gösterilmek isteniyor.

Buna göre, bu histogramın grup genişliği en az kaç olmalıdır?

 Çözüm:

  1. Açıklığı hesaplayalım:

     $$\text{Açıklık} = x_{\max} - x_{\min} = 47 - 12 = 35$$

  2. Grup genişliği eşitsizliğini kuralım:

     $$\text{Grup Genişliği} > \frac{\text{Açıklık}}{\text{Grup Sayısı}} \implies \text{Grup Genişliği} > \frac{35}{5} = 7$$

  3. $7$'den kesinlikle büyük olan en küçük doğal sayı seçilmelidir:

     $$\text{Grup Genişliği} = 7 + 1 = \mathbf{8}$$

Örnek 2 

Bir yabancı dil kursundaki öğrencilerin yaşlarına göre oluşturulmuş histogram grafiğindeki gruplar ve frekanslar şöyledir:

Buna göre:

a) Kursta toplam kaç öğrenci vardır?

b) Histogramın grup genişliği kaçtır?

 Çözüm:

  1. Toplam Öğrenci: Tüm frekansların toplamıdır:

     $$n = 6 + 12 + 9 + 5 = \mathbf{32}$$

  2. Grup Genişliği: Herhangi bir aralıktaki ardışık tam sayı adedidir:

     $$14 - 10 + 1 = \mathbf{5} \quad (\text{veya } 15 - 10 = 5)$$

Örnek 3 

Bir klinikteki 12 hastanın bekleme süreleri (dakika cinsinden):

$$8,\ 11,\ 14,\ 15,\ 19,\ 22,\ 24,\ 26,\ 28,\ 31,\ 34,\ 37$$

olarak ölçülmüştür. Bu veriler $4$ gruplu bir histogram ile gösterildiğinde 3. grubun frekansı kaç olur?

 Çözüm:

  1. Veriler sıralıdır. Açıklık:

     $$\text{Açıklık} = 37 - 8 = 29$$

  2. Grup genişliği:

     $$\text{Genişlik} > \frac{29}{4} = 7{,}25 \implies \text{Grup Genişliği} = 8$$

  3. Grupları $x_{\min} = 8$'den başlayarak oluşturalım:

      1. Grup: $8 - 15$ ($8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15$) $\rightarrow$ Veriler: $8, 11, 14, 15$ (Frekans: 4)

      2. Grup: $16 - 23$ ($16, \dots, 23$) $\rightarrow$ Veriler: $19, 22$ (Frekans: 2)

      3. Grup: $24 - 31$ ($24, \dots, 31$) $\rightarrow$ Veriler: $24, 26, 28, 31$ (Frekans: 4)

      4. Grup: $32 - 39$ ($32, \dots, 39$) $\rightarrow$ Veriler: $34, 37$ (Frekans: 2)

  4. 3. grubun frekansı:

     $$\mathbf{4}$$

Örnek 4 

Bir fabrikada üretilen parçaların ağırlıkları 4 gruplu bir histogramda gösterilmiştir.

İlk grup $40 - 46$ aralığı olduğuna göre, 4. grubun üst sınır değeri kaçtır?

 Çözüm:

  1. 1. grup $40 - 46$ olduğuna göre grup genişliği:

     $$\text{Grup Genişliği} = 46 - 40 + 1 = 7$$

  2. Grupları ardışık olarak yazalım:

      1. Grup: $40 - 46$

      2. Grup: $47 - 53$ ($46 + 7 = 53$)

      3. Grup: $54 - 60$ ($53 + 7 = 60$)

      4. Grup: $61 - 67$ ($60 + 7 = 67$)

  3. 4. grubun üst sınır değeri:

     $$\mathbf{67}$$

Örnek 5 

Aşağıdaki tabloda bir şirketteki personelin haftalık çalışma sürelerinin histogram dağılımı verilmiştir:

Buna göre, haftalık çalışma süresi $40$ saat ve üzerinde olan çalışanlar, tüm personelin yüzde kaçını oluşturur?

 Çözüm:

  1. Toplam çalışan sayısı:

     $$n = 4 + 10 + 16 + 14 + 6 = 50$$

  2. $40$ saat ve üzerinde çalışanlar ($40-44,\ 45-49,\ 50-54$ grupları):

     $$\text{Sayı} = 16 + 14 + 6 = 36\text{ kişi}$$

  3. Yüzde hesabı:

     $$\text{Yüzde} = \frac{36}{50} \cdot 100 = \mathbf{\%72}$$

Örnek 6 

Açıklığı $44$ olan bir veri seti başlangıçta $6$ gruplu bir histogramla modellenmiştir. Daha sonra araştırmacı grup sayısını $4$'e düşürmeye karar vermiştir.

Buna göre, grup genişliğindeki artış miktarı kaçtır?

 Çözüm:

  1. Başlangıç Durumu (6 Grup):

     $$\text{Genişlik}_1 > \frac{44}{6} \approx 7{,}33 \implies \text{Genişlik}_1 = 8$$

  2. İkinci Durum (4 Grup):

     $$\text{Genişlik}_2 > \frac{44}{4} = 11 \implies \text{Genişlik}_2 = 12$$

     (Tam bölündüğünde de kesin büyüktür kuralı gereği $+1$ alınır).

  3. Artış miktarı:

     $$\Delta = 12 - 8 = \mathbf{4}$$

Örnek 7 

Bir okuldaki öğrencilerin günlük kitap okuma süreleri (dakika) aşağıdaki histogramda özetlenmiştir:

Bu öğrencilerin günlük kitap okuma sürelerinin yaklaşık aritmetik ortalaması kaç dakikadır?

 Çözüm:

  1. Toplam öğrenci sayısı:

     $$n = \sum f_i = 5 + 8 + 12 + 5 = 30$$

  2. Grup orta noktaları ile frekansların çarpımları toplamı:

     $$\sum (f_i \cdot m_i) = (5 \cdot 14) + (8 \cdot 23) + (12 \cdot 32) + (5 \cdot 41)$$

     $$= 70 + 184 + 384 + 205 = 843$$

  3. Yaklaşık aritmetik ortalama:

     $$\bar{X}_{\text{yaklaşık}} = \frac{843}{30} = \mathbf{28{,}1\text{ dakika}}$$

Örnek 8 

Pozitif tam sayılardan oluşan küçükten büyüğe sıralı bir veri seti:

$$2,\ 5,\ 7,\ 9,\ x,\ 15,\ 18,\ 22,\ 25,\ y$$

olarak verilmiştir. Bu veri grubu $3$ gruplu bir histograma dönüştürüldüğünde:

 Histogramın grup genişliği $9$'dur.

 1. ve 3. grupların frekansları birbirine eşittir.

Buna göre, $x + y$ toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

 Çözüm:

  1. En küçük değer $x_{\min} = 2$'dir. Grup genişliği $9$ olduğundan grupları kuralım:

      1. Grup: $2 - 10$ ($2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$ $\rightarrow$ Genişlik: $10-2+1=9$)

      2. Grup: $11 - 19$

      3. Grup: $20 - 28$

  2. 1. gruptaki veriler: $2, 5, 7, 9$ olmak üzere en az 4 elemandır ($x$ eğer $\le 10$ ise 5 eleman olabilir).

     Fakat 2. grupta $15, 18$ vardır. 3. grupta ise $22, 25, y$ vardır.

  3. 1. grup ile 3. grubun frekansları eşit olmalıdır:

      $x > 10$ olursa 1. grupta tam $4$ eleman ($2, 5, 7, 9$) olur.

      Bu durumda 3. grupta da $4$ eleman olmalıdır. Ancak 3. grupta sadece $22, 25$ ve $y$ (en fazla 3 eleman) kalır.

      Demek ki 1. grupta $x \le 10$ olamaz; veya tam tersi 1. grupta $x \le 10$ iken 5 eleman olamaz.

      O halde 1. grupta frekans $4$ ise 3. grupta da $4$ eleman olabilmesi için $y$'nin yanı sıra $20-28$ aralığına başka eleman gelmelidir.

      Veri adedi $n = 10$'dur. Frekanslar: $f_1 = f_3$.

      $f_1 + f_2 + f_3 = 10 \implies 2f_1 + f_2 = 10$.

      Eğer $f_1 = 3$ ise: 1. grupta zaten 4 eleman ($2, 5, 7, 9$) olduğu için $f_1 \ge 4$'tür!

      Dolayısıyla tek ihtimal $f_1 = 4$, $f_3 = 4$, $f_2 = 2$'dir.

  4. Analiz:

      1. Grup ($2-10$): $2, 5, 7, 9$ ($4$ eleman). Demek ki $x > 10$ olmalıdır.

      2. Grup ($11-19$): $x, 15, 18$ elemanlarından tam $2$ eleman yer almalıdır. Demek ki $x \in [11, 19]$ olamaz; $x$ 3. gruba geçmelidir! Yani $x \ge 20$.

       Bu durumda 2. grupta sadece $15$ ve $18$ ($2$ eleman) kalır.

      3. Grup ($20-28$): $x, 22, 25, y$ ($4$ eleman). Hepsi $20-28$ aralığında olmalıdır!

  5. Sınırlar:

      $x \ge 20$ ve $x \le 22$ (sıralı dizi gereği $x \le 22$) $\implies x_{\max} = 22$.

      $y \le 28$ (3. grup üst sınırı) $\implies y_{\max} = 28$.

  6. En büyük toplam:

     $$x + y = 22 + 28 = \mathbf{50}$$

 ⚠️Sık Yapılan Hatalar

 🔴Grup Genişliği Eşitliğinde $\ge$ Kullanmak: $\frac{\text{Açıklık}}{\text{Grup Sayısı}}$ tam sayı çıksa dahi (örneğin $\frac{35}{5}=7$), grup genişliği $7$ değil, $7$'den kesinlikle büyük en küçük tam sayı ($8$) alınmalıdır. Eşitlik durumunda son veri dışarıda kalır.

 🔴Grup Genişliğini Üst Sınırdan Alt Sınırı Çıkararak Bulmak: $10 - 14$ aralığının genişliği $14 - 10 = 4$ değildir! Aralıkta $10, 11, 12, 13, 14$ olmak üzere $5$ adet sayı vardır ($14 - 10 + 1 = 5$).

 🔴Histogram Sütunlarını Ayrık Çizmek: Histogram sürekli veya gruplanmış veriyi temsil ettiği için sütunlar arasında boşluk bırakılmaz; bitişik nizamda çizilir. Boşluklu sütunlar kesikli sütun grafiğine aittir.

 🔴Frekansı Grup Genişliği ile Karıştırmak: Grup genişliği X eksenindeki sınıf aralığının boyudur; frekans ise o aralığa kaç adet verinin düştüğünü gösteren Y ekseni değeridir.