6. Özdeşlikler (Tam Kare, İki Kare Farkı, Küp)
6. ÖZDEŞLİKLER (TAM KARE, İKİ KARE FARKI, KÜP)
🎯Kazanımlar
Bu bölümü tamamladığında;
- Tam kare açılımlarını ($(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$) iki yönlü olarak uygulayabileceksin,
- İki kare farkı özdeşliğini ($a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$) cebirsel ve sayısal ifadelerde çarpanlara ayırmada kullanabileceksin,
- Üç terim toplamının karesi formülünü ($(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ac)$) denklem problemlerine tatbik edebileceksin,
- Tam küp açılımlarını ($(a \pm b)^3$) ve küpler toplamı/farkı formüllerini ($a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$) uygulayabileceksin,
- $x \pm 1/x$ tarzındaki rasyonel değişken dönüşümlerinde tam kare ve küp özdeşliklerini zincirleme hesaplayabileceksin.
📖Konu Anlatımı
6.1. Temel Özdeşlikler Listesi
Tam Kare Özdeşlikleri
İki terim toplamının karesi: $\mathbf{(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2}$
İki terim farkının karesi: $\mathbf{(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2}$
Üç terim toplamının karesi: $\mathbf{(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ac)}$
İki Kare Farkı Özdeşliği
$\mathbf{a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)}$
Tam Küp Özdeşlikleri
$\mathbf{(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)}$
$\mathbf{(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a - b)}$
İki Küp Toplamı ve Farkı Özdeşlikleri
Küpler Toplamı: $\mathbf{a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)}$
Küpler Farkı: $\mathbf{a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)}$
✏️Çözümlü Örnekler
Örnek 1 (🟢 Temel - Tam Kare Açılımı):
Aşağıdaki ifadelerin açılımlarını yazınız:
a) $(5x + 3)^2$
b) $(4x - 3)^2$
Çözüm:
a) $(5x + 3)^2 = (5x)^2 + 2(5x)(3) + 3^2 = \mathbf{25x^2 + 30x + 9}$
b) $(4x - 3)^2 = (4x)^2 - 2(4x)(3) + 3^2 = \mathbf{16x^2 - 24x + 9}$
Örnek 2
Aşağıdaki ifadeleri iki kare farkı özdeşliği ile çarpanlarına ayırınız:
a) $36x^2 - 121$
b) $49a^2 - 64b^2$
Çözüm:
a) $36x^2 - 121 = (6x)^2 - 11^2 = \mathbf{(6x - 11)(6x + 11)}$
b) $49a^2 - 64b^2 = (7a)^2 - (8b)^2 = \mathbf{(7a - 8b)(7a + 8b)}$
Örnek 3
$4x^2 - 12x + 9$
ifadesini tam kare biçiminde yazınız.
Çözüm:
Birinci terimin karekökü: $\sqrt{4x^2} = 2x$
Son terimin karekökü: $\sqrt{9} = 3$
Çarpımlarının iki katı: $2 \cdot (2x) \cdot (3) = 12x$ (ortadaki terimle eşleşti, işareti eksi).
İfade: $\mathbf{(2x - 3)^2}$.
Örnek 4
Aşağıdaki işlemleri özdeşlikler yardımıyla hesaplayınız:
a) $996^2 - 4^2$
b) $104^2$
Çözüm:
a) İki kare farkı: $996^2 - 4^2 = (996 - 4)(996 + 4) = 992 \cdot 1000 = \mathbf{992000}$.
b) Tam kare: $104^2 = (100 + 4)^2 = 100^2 + 2(100)(4) + 4^2 = 10000 + 800 + 16 = \mathbf{10816}$.
Örnek 5
$(2x - 1)^3\$
ifadesinin açılımını yazınız.
Çözüm:
Formül: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
$(2x - 1)^3 = (2x)^3 - 3(2x)^2(1) + 3(2x)(1)^2 - 1^3$
$= 8x^3 - 3(4x^2)(1) + 6x - 1 = \mathbf{8x^3 - 12x^2 + 6x - 1}$
Örnek 6
$8x^3 + 27$
ifadesini çarpanlarına ayırınız.
Çözüm:
$8x^3 + 27 = (2x)^3 + 3^3$ (Küpler toplamı: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$)
$(2x)^3 + 3^3 = (2x + 3)[(2x)^2 - (2x)(3) + 3^2] = \mathbf{(2x + 3)(4x^2 - 6x + 9)}$
Örnek 7
$a + b + c = 10$ ve $a^2 + b^2 + c^2 = 38$ olduğuna göre, $ab + bc + ac$ ikili çarpımlarının toplamı kaçtır?
Çözüm:
Formül: $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ac)$
Verilenleri yerine yazalım:
$10^2 = 38 + 2(ab + bc + ac)$
$100 = 38 + 2(ab + bc + ac) \implies 2(ab + bc + ac) = 62 \implies \mathbf{ab + bc + ac = 31}$
Örnek 8
$x > 0$ olmak üzere, $x - \frac{1}{x} = 4$ olduğuna göre;
a) $x^2 + \frac{1}{x^2}$
b) $x^3 - \frac{1}{x^3}$
değerlerini bulunuz.
Çözüm:
a) İki Tarafın Karesini Alalım:
$\left(x - \frac{1}{x}\right)^2 = 4^2 \implies x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 16$
$x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 16 \implies \mathbf{x^2 + \frac{1}{x^2} = 18}$
b) Küpler Farkı Formülünü Uygulayalım:
$x^3 - \frac{1}{x^3} = \left(x - \frac{1}{x}\right)\left(x^2 + x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right)$
$x^3 - \frac{1}{x^3} = \left(x - \frac{1}{x}\right)\left(x^2 + \frac{1}{x^2} + 1\right)$
Bulduğumuz değerleri yerleştirelim:
$x^3 - \frac{1}{x^3} = (4) \cdot (18 + 1) = 4 \cdot 19 = \mathbf{76}$
⚠️ Sık Yapılan Hatalar
🔴Tam Kare Açılımında Ortadaki Çarpımlarının İki Katını Unutmak: $(a+b)^2 = a^2 + b^2$ yazmak lise matematiğinin en yaygın hatasıdır! Doğrusu $a^2 + 2ab + b^2$'dir. Ortadaki $2ab$ terimi unutulmamalıdır.
🔴İki Kare Farkı İle Tam Kare Açılımını Karıştırmak: $(a - b)^2$ parantez karesi iken, $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ iki kare farkıdır. İki tanım birbirine karıştırılmamalıdır.
🔴Küpler Toplamı/Farkı Açılımındaki İşaret Tuzakları:
$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 \mathbf{-} ab + b^2)$ (çarpan artı iken parantez içi eksi olur).
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 \mathbf{+} ab + b^2)$ (çarpan eksi iken parantez içi artı olur). Ortadaki terimde tam kareden farklı olarak 2 katsayısı yoktur!
🔴Tam Küp Açılımındaki Katsayıları (3) Unutmak: $(a+b)^3 = a^3 + b^3$ veya $a^3 + a^2b + ab^2 + b^3$ yazmak hatalıdır; katsayılar Pascal üçgeninden $1, 3, 3, 1$ gelmelidir ($a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$).
Alıştırma Soruları
Bu konuyu ne kadar öğrendiğini test et!