7. Üç Terimli İfadeler Ve Değişken Değiştirme
7. ÜÇ TERİMLİ İFADELER VE DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME
🎯Kazanımlar
Bu bölümü tamamladığında;
- Baş katsayısı 1 olan $x^2 + bx + c$ biçimindeki üç terimlileri çarpımları $c$, toplamları $b$ olan iki sayı bularak çarpanlarına ayırabileceksin,
- Baş katsayısı $a \ne 1$ olan $ax^2 + bx + c$ ifadelerinde çapraz çarpım kontrolü ($px \cdot n + tx \cdot m = bx$) yapıp yatay birleştirme kuralını uygulayabileceksin,
- Çift değişkenli üç terimlileri ($x^2 - 5xy + 6y^2$) çarpanlarına ayırabileceksin,
- Karmaşık veya yüksek dereceli ifadelerde değişken değiştirme ($x^2 - 3x = t$) yöntemini uygulayarak çözüme ulaşabileceksin,
- "Hangi Yöntemi Kullanmalıyım?" karar ağacını izleyerek terim sayısına göre en uygun çarpanlara ayırma stratejisini belirleyebileceksin.
📖Konu Anlatımı
7.1. $ax^2 + bx + c$ Biçimindeki İfadelerin Çarpanlara Ayrılması
$ax^2$ terimi $px \cdot tx$, $c$ terimi $m \cdot n$ şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Çapraz Çarpım Kontrolü: $(px \cdot n) + (tx \cdot m) = bx$ (ortanca terimi) vermelidir.
Yazım: Şart sağlandığında çarpanlar karşılıklı (yan yana / yatay) olarak yazılır:
$$ax^2 + bx + c = (px + m)(tx + n)$$
7.2. Değişken Değiştirme Yöntemi
Yüksek dereceli veya karmaşık görünen ifadelerde, tekrar eden terim gruplarına geçici bir değişken (örneğin $t$ veya $u$) atanarak ifade 2. dereceden basit bir üç terimliye dönüştürülür. Çarpanlara ayrıldıktan sonra eski değişken yerine yazılır.
✏️ Çözümlü Örnekler
Örnek 1
$$x^2 - 11x + 28$$
ifadesini çarpanlarına ayırınız.
Çözüm:
Çarpanlarına ayrılmış hali: $\mathbf{(x - 4)(x - 7)}$.
Örnek 2
$$x^2 + 3x - 18$$
ifadesini çarpanlarına ayırınız.
Çözüm:
Çarpanlarına ayrılmış hali: $\mathbf{(x + 6)(x - 3)}$.
Örnek 3
$$2x^2 + 7x + 3$$
ifadesini çarpanlarına ayırınız.
Çözüm:
Yatay birleştirme: $\mathbf{(2x + 1)(x + 3)}$.
Örnek 4
$$x^2 - 5xy + 6y^2$$
ifadesini çarpanlarına ayırınız.
Çözüm:
Çarpanlarına ayrılmış hali: $\mathbf{(x - 2y)(x - 3y)}$.
Örnek 5
$$x^4 + 4$$
ifadesini çarpanlarına ayırınız.
Çözüm:
İfadenin tam kare olabilmesi için $4x^2$ terimine ihtiyaç vardır. $4x^2$ ekleyip çıkaralım:
$$x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2$$
İlk üç terim tam karedir: $(x^2 + 2)^2 - (2x)^2$
Şimdi iki kare farkı uygulayalım:
$$[(x^2 + 2) - 2x][(x^2 + 2) + 2x] = \mathbf{(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)}$$
Örnek 6
$$(x + 2)^2 - 5(x + 2) + 6$$
ifadesini çarpanlarına ayırınız.
Çözüm:
1. $x + 2 = t$ olsun.
2. Yeni ifade: $t^2 - 5t + 6 = (t - 2)(t - 3)$.
3. $t$ yerine tekrar $x + 2$ yazalım:
$$((x + 2) - 2)((x + 2) - 3) = \mathbf{x(x - 1)}$$
Örnek 7
$$5x^2 - 13x - 6$$
ifadesini çarpanlarına ayırınız.
Çözüm:
$5x^2 = 5x \cdot x$
$-6 = 2 \cdot (-3)$
Çapraz kontrol yapalım:
$$(5x) \cdot (-3) + (x) \cdot (2) = -15x + 2x = -13x \text{ (Ortadaki terimi verdi!)}$$
Yazarken karşılıklı yatay yazıyoruz:
$$\mathbf{5x^2 - 13x - 6 = (5x + 2)(x - 3)}$$
Örnek 8
$$(x^2 - 3x)^2 - 2(x^2 - 3x) - 8$$
ifadesini en sade çarpanlarına ayırınız.
Çözüm:
1. $x^2 - 3x = t$ dönüşümü yapalım.
2. Yeni ifade: $t^2 - 2t - 8 = (t - 4)(t + 2)$.
3. $t$ yerine tekrar $x^2 - 3x$ yazalım:
$$(x^2 - 3x - 4)(x^2 - 3x + 2)$$
4. Her iki çarpanı da 2. dereceden çarpanlarına ayıralım:
$x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1)$
$x^2 - 3x + 2 = (x - 2)(x - 1)$
5. En sade hali:
$$\mathbf{(x - 4)(x + 1)(x - 2)(x - 1)}$$
⚠️ Sık Yapılan Hatalar
🔴Çapraz Kontrolden Sonra Çapraz Yazmak: $ax^2+bx+c$ ayrıştırılırken çapraz çarpımla ortadaki terim $bx$ kontrol edilir, ancak parantezler yazılırken yatay (karşılıklı) elemanlar eşleştirilir. Çapraz yazmak katsayıları birbirine karıştırır.
🔴İşaret Kontrolünü İhmal Etmek: $x^2 - 7x + 12$ ifadesinde çarpımları $+12$, toplamları $-7$ olan sayılar $-3$ ve $-4$'tür. $+3$ ve $+4$ alınırsa toplam $+7$ olacağından işaret hatası yapılır.
🔴Değişken Değiştirdikten Sonra Eski Değişkene Dönmeyi Unutmak: $t^2 - 2t - 8 = (t-4)(t+2)$ bulup soruyu burada bırakmak hatadır; $t$ yerine yazılan orijinal ifade ($x^2-3x$) tekrar yazılmalı ve gerekirse bir tur daha çarpanlarına ayrılmalıdır.
🔴En Sade Çarpanlara Kadar İnmeyip Durmak: Elde edilen ikinci dereceden çarpanlar tekrar çarpanlarına ayrılabiliyorsa ayrılmalıdır (örneğin $(x^2-3x-4)$ çarpanı $(x-4)(x+1)$ olarak açılmaya devam eder).
Alıştırma Soruları
Bu konuyu ne kadar öğrendiğini test et!