7. Asal Sayılar

1.7 Asal ve Aralarında Asal Sayılar

 🎯Kazanımlar

Bu bölümü tamamladığında:

• Asal sayı tanımını ve temel özelliklerini (en küçük asal, çift asal, ardışık asal) uygulayabilecek,
• Aralarında asal sayı kavramını tanımlayabilecek ve ilgili kuralları (ardışık tam sayılar, ardışık tek/çift sayılar) kullanabilecek,
• Bir sayının asal çarpanlarına ayrılmış hâlinden yararlanarak kuvvet ve denklem içeren problemleri çözebileceksin.

 📖Konu Anlatımı

 Asal Sayılar

1'den büyük, 1 ve kendisinden başka pozitif böleni olmayan tam sayılara asal sayı denir.

$$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, \dots$$

Temel özellikler:

• En küçük asal sayı $2$'dir ve $2$ dışında hiçbir çift sayı asal değildir — çünkü $2$'den büyük her çift sayı, $2$'ye bölünebildiği için en az üç pozitif böleni ($1$, $2$, kendisi) olur.
• Negatif asal sayı yoktur; asallık tanımı yalnızca $1$'den büyük pozitif tam sayılar için yapılır.
• Ardışık iki tam sayının ikisi de asal olduğu tek durum $2$ ve $3$'tür. Bunun nedeni: $2$'den büyük ardışık iki tam sayıdan biri mutlaka çift olur; $2$ dışında çift asal olmadığından bu çift sayı asal olamaz. Dolayısıyla $2,3$ dışında ardışık iki asal sayı bulunamaz.

 Aralarında Asal Sayılar

Ortak pozitif böleni yalnızca $1$ olan iki (veya daha çok) pozitif tam sayıya aralarında asal sayılar denir; yani $\text{OBEB}(a,b)=1$'dir.

Temel özellikler:

• $1$, her pozitif tam sayı ile aralarında asaldır — çünkü $1$'in tek pozitif böleni kendisidir.
• Aralarında asal olan sayıların kendilerinin asal olması gerekmez. Örneğin $8$ ve $9$ aralarında asaldır ($\text{OBEB}=1$) ama ikisi de asal değildir.
• Ardışık iki tam sayı daima aralarında asaldır. ($n$ ve $n+1$'in ortak böleni, aralarındaki farkı ($1$) da bölmek zorundadır; $1$'i bölen tek pozitif sayı $1$ olduğundan $\text{OBEB}(n,n+1)=1$'dir.)
• Ardışık iki tek sayı daima aralarında asaldır. (Aralarındaki fark $2$'dir; ortak bölen bu farkı da bölmelidir, ama iki sayı da tek olduğundan ortak bölen $2$ olamaz — geriye yalnızca $1$ kalır.)
• Ardışık iki çift sayı aralarında asal değildir, çünkü ikisi de $2$'ye bölünür; ortak bölen en az $2$'dir.

 Asal Çarpanlara Ayırma ile Denklem Çözme

Bir sayı $p^k$ (p asal) biçiminde asal çarpanlarına ayrıldığında, bu ayrışım tektir (Aritmetiğin Temel Teoremi). Bu nedenle $a^{m}=p^{k}$ biçimindeki bir denklemde, $a$ asal olmak koşuluyla, $a=p$ ve $m=k$ eşitlikleri aynı anda sağlanmalıdır. Ayrışımın tekliği başka bir $(a,m)$ çiftine izin vermez.

 ✏️ Örnekler

Örnek 1: $x$ bir asal sayı olmak üzere $x^3 = 125$ eşitliğini sağlayan $x$ değerini bulunuz.

Çözüm: $125 = 5^3$ olduğundan, asal çarpanlara ayrışımın tekliği gereği $x=5$'tir. ($5$ asal olduğundan koşul da sağlanır.)

Örnek 2: $a$ bir asal sayı ve $a^{4} = 16$ olduğuna göre $a$'yı bulunuz.

Çözüm: $16 = 2^4$ olduğundan $a=2$'dir. $2$ asal olduğundan bu çözüm geçerlidir.

Örnek 3: $p$ ve $q$ birer asal sayı olmak üzere $p - q = 1$ eşitliğini sağlayan $(p,q)$ ikilisini bulunuz.

Çözüm: İki asal sayı arasındaki fark $1$ olduğuna göre, bu sayılar ardışık tam sayılardır. Daha önce gösterildiği gibi, ardışık iki tam sayının ikisinin birden asal olduğu tek durum $2$ ve $3$'tür. $p>q$ olduğundan:

$$p=3, \quad q=2$$

Örnek 4: $a,b,c$ birer asal sayı olmak üzere $a^{3b-3c}=8$ eşitliği veriliyor. $a+b\cdot c$ ifadesinin değerini bulunuz.

Çözüm: $8=2^3$ olduğundan tabanda $a=2$ bulunur. Üs kısmında:

$$3b-3c = 3 \ \Rightarrow \ b-c=1$$

Farkı $1$ olan asal sayı ikilisi yalnızca $3$ ve $2$'dir; $b>c$ olduğundan $b=3$, $c=2$.

$$a+b\cdot c = 2 + 3\cdot 2 = 8$$

Örnek 5: $18$ ile $35$ sayılarının aralarında asal olup olmadığını inceleyiniz.

Çözüm: Asal çarpanlarına ayıralım:

$$18 = 2\cdot 3^2 \qquad 35 = 5\cdot 7$$

İki sayının ortak asal çarpanı bulunmadığından $\text{OBEB}(18,35)=1$'dir. $18$ ve $35$ aralarında asaldır (ikisi de asal sayı olmadığı hâlde).

Örnek 6: $n$ bir tek tam sayı olmak üzere $n$ ile $n+2$ sayılarının her zaman aralarında asal olduğunu gösteriniz.

Çözüm: $n$ tek olduğundan $n+2$ de tektir; yani bu iki sayı ardışık tek sayılardır. Ortak bir $d$ böleni olsaydı, bu bölen farklarını da ($ (n+2)-n=2$) bölmek zorunda kalırdı. Ancak $n$ ve $n+2$ tek olduğundan $2$'ye bölünmezler; dolayısıyla ortak bölen $2$ olamaz, geriye yalnızca $d=1$ kalır. $n$ ile $n+2$ her zaman aralarında asaldır.

Örnek 7: $3a+2b$ ile $3a-2b$ ifadeleri aralarında asal sayılardır. $15\cdot(3a-2b) = 9\cdot(3a+2b)$ eşitliği veriliyor. Buna göre $a$ değerini bulunuz.

Çözüm: Eşitlik oran biçiminde yazılırsa:

$$\dfrac{3a+2b}{3a-2b} = \dfrac{15}{9} = \dfrac{5}{3}$$

$3a+2b$ ile $3a-2b$ aralarında asal olduğundan, bu oran zaten en sade hâldedir; dolayısıyla pay ve payda doğrudan $5$ ve $3$'e eşitlenebilir (aksi hâlde $\dfrac{5}{3}$ oranı sadeleşebilir bir ortak çarpanla büyütülmüş olurdu, bu da aralarında asallık şartını bozardı):

$$3a+2b = 5 \qquad 3a-2b = 3$$

Taraf tarafa toplanırsa:

$$6a = 8 \ \Rightarrow \ a = \dfrac{4}{3}$$

Örnek 8: $2$'den büyük bir asal sayı olan $p$ için, $p$'nin her zaman tek sayı olduğunu gösteriniz.

Çözüm: $2$ dışındaki her çift sayı, $2$'ye bölündüğü için en az üç pozitif bölene ($1$, $2$, kendisi) sahiptir; bu da asal sayı tanımına aykırıdır. Dolayısıyla $2$'den büyük bir asal sayı çift olamaz, yani her zaman tektir.

 ⚠️ Sık Yapılan Hatalar

 🔴$a^{m}=p^{k}$ tipi denklemlerde tabanın tek olasılığını atlamak: $a$'nın asal olma şartı verildiğinde, $a=p$ dışında bir taban değeri (örneğin sayının kendisi, üssü $1$ alınarak) matematiksel olarak mümkün görünse de, bu taban çoğu zaman asal olmadığından elenir. Bu eleme adımı çözümde açıkça belirtilmelidir (bkz. Örnek 1-2, 4).

 🔴Aralarında asal iki ifadeyi oran sadeleştirmesi olmadan doğrudan payda/paya eşitlemek: Bu kısayol yalnızca ifadelerin aralarında asal olduğu belirtildiğinde geçerlidir; aksi hâlde oranın sadeleşmemiş hâli farklı bir ortak çarpanla büyütülmüş olabilir (bkz. Örnek 7).

 🟡"Aralarında asal" ile "asal sayı" kavramlarını karıştırmak: Aralarında asal olan iki sayının kendilerinin asal olması gerekmez (bkz. Örnek 5); bu, en sık karıştırılan iki kavramdan biridir.

 🟡Ardışık çift sayıları da ardışık tam sayı kuralına dâhil etmek: "Ardışık tam sayılar aralarında asaldır" kuralı, ardışık çift sayılar için geçerli değildir ikisi de $2$'ye bölündüğünden OBEB en az $2$'dir.