8. Bileşke Fonksiyon
İki Fonksiyonun Bileşkesi
🎯 Kazanımlar
Bu bölümü tamamladığında;
- Bileşke fonksiyon tanımını ve zincirleme geçiş şemasını açıklayabilecek,
- $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ kuralında sağdan sola (içten dışa) işlem sırasını uygulayabilecek,
- Bileşke işleminin temel özelliklerini (değişme özelliğinin olmaması, birleşme özelliği, birim fonksiyon etkisi, bire birlik ve örtenliğin korunumu) cebirsel olarak sınayabilecek,
- Liste metodu, şemalar ve denklem kurguları üzerinde bileşke hesaplamalarını yapabileceksin.
📖Konu Anlatımı
1. Bileşke Fonksiyon Kavramı ve Tanımı
Tanım: $A, B, C$ boş kümeden farklı birer küme olmak üzere, $f: A \to B$ ve $g: B \to C$ fonksiyonları verilsin. $A$ kümesinin elemanlarını, $f$ ve $g$ fonksiyonları aracılığıyla doğrudan $C$ kümesinin elemanları ile eşleyen yeni fonksiyona bileşke fonksiyon denir.
Matematiksel Gösterim: $\forall x \in A$ için $h(x) = g[f(x)]$ şeklinde tanımlanan $h: A \to C$ fonksiyonu, $f$ ve $g$ fonksiyonlarının bileşkesidir. Bu durum sembolik olarak $g \circ f$ şeklinde gösterilir ve "g bileşke f" olarak okunur:
$$\mathbf{(g \circ f)(x) = g[f(x)]}$$
İşlem Yönü (Sağdan Sola): Bileşke fonksiyonlarda işlemler her zaman sağdan sola doğru sırayla yapılır. Yani $(g \circ f)(x)$ işleminde önce en sağdaki $x$ elemanının $f$ altındaki görüntüsü ($f(x)$) hesaplanır; ardından bulunan bu değer, $g$ fonksiyonunda bağımsız değişken yerine yazılarak $g[f(x)]$ sonucu elde edilir.
2. Bileşke İşleminin Özellikleri
1. Değişme Özelliği Yoktur: Genel olarak, fonksiyonlarda bileşke işleminin değişme özelliği bulunmaz. Yani $f \circ g$ ile $g \circ f$ fonksiyonları birbirine eşit değildir:
$$\mathbf{f \circ g \neq g \circ f}$$
2. Birim Fonksiyon Özelliği: Bir $f$ fonksiyonunun birim fonksiyon ($I(x) = x$) ile bileşkesi yine fonksiyonun kendisine eşittir:
$$\mathbf{f \circ I = I \circ f = f}$$
3. Birleşme Özelliği Vardır: Üç veya daha fazla fonksiyonun bileşkesi alınırken gruplandırma sırası sonucu değiştirmez:
$$\mathbf{f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h = f \circ g \circ h}$$
4. Birebirlik ve Örtenlik Korunumu:
$f: A \to B$ ve $g: B \to C$ fonksiyonları bire bir ise, $g \circ f: A \to C$ fonksiyonu da bire birdir.
$f: A \to B$ ve $g: B \to C$ fonksiyonları örten ise, $g \circ f: A \to C$ fonksiyonu da örtendir.
✏️Çözümlü Örnekler
Örnek 1 (Temel Bileşke Hesaplama):
$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 3x + 2$ ve $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(x) = x^2 - 4$ fonksiyonları tanımlanıyor.
a) $(g \circ f)(x)$ kuralını bulunuz.
b) $(f \circ g)(x)$ kuralını bulunuz.
c) $(g \circ f)(1)$ değerini hesaplayınız.
Çözüm:
a) $(g \circ f)(x) = g[f(x)] = g[3x + 2] = (3x + 2)^2 - 4 = 9x^2 + 12x + 4 - 4 = \mathbf{9x^2 + 12x}$.
b) $(f \circ g)(x) = f[g(x)] = f[x^2 - 4] = 3(x^2 - 4) + 2 = 3x^2 - 12 + 2 = \mathbf{3x^2 - 10}$.
(Görüldüğü üzere $9x^2 + 12x \neq 3x^2 - 10$ olup değişme özelliğinin olmadığı doğrulanır).
c) Önce içteki $f(1)$ değerini buluruz: $f(1) = 3(1) + 2 = 5$.
Bulunan 5 değerini $g$'de yerine yazarız: $(g \circ f)(1) = g(5) = 5^2 - 4 = 25 - 4 = \mathbf{21}$.
Örnek 2 (Bilinmeyen Fonksiyon Kuralı Bulma):
$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 4x - 2$ ve $(g \circ f)(x) = 8x + 3$ olduğuna göre $g(x)$ kuralını bulunuz.
Çözüm:
$g[f(x)] = 8x + 3 \implies g(4x - 2) = 8x + 3$.
Eşitliğin sağını parantez içine benzetelim: $8x + 3 = 2 \cdot (4x - 2) + 7$.
Burada $(4x - 2)$ yerine genel değişken $x$ yazdığımızda:
$$\mathbf{g(x) = 2x + 7}.$$
Örnek 3 (Liste Yöntemi ve Şema Bileşkesi):
$A = \{-2, -1, 1, 3\}$, $B = \{-3, 0, 2, 4\}$ ve $C = \{-1, 1, 3, 5\}$ olmak üzere;
$f = \{(-2, -3), (-1, 0), (1, 2), (3, 4)\}$
$g = \{(-3, 1), (0, -1), (2, 3), (4, 5)\}$
$g \circ f$ bileşke fonksiyonunu sıralı ikililer biçiminde yazınız.
Çözüm:
Sağdan sola geçişleri sırasıyla yapalım:
1. $x = -2 \implies (g \circ f)(-2) = g(f(-2)) = g(-3) = 1 \implies (-2, 1)$
2. $x = -1 \implies (g \circ f)(-1) = g(f(-1)) = g(0) = -1 \implies (-1, -1)$
3. $x = 1 \implies (g \circ f)(1) = g(f(1)) = g(2) = 3 \implies (1, 3)$
4. $x = 3 \implies (g \circ f)(3) = g(f(3)) = g(4) = 5 \implies (3, 5)$
$$\mathbf{g \circ f = \{(-2, 1), (-1, -1), (1, 3), (3, 5)\}}.$$
Örnek 4 (Üçlü Bileşke İşlemi):
$f(x) = x + 4$, $g(x) = 3x$ ve $h(x) = x^2$ olduğuna göre $(f \circ g \circ h)(2)$ değerini bulunuz.
Çözüm:
İşlemi en sağdaki $h$ fonksiyonundan başlatıp sola doğru adım adım yapalım:
1. $h(2) = 2^2 = 4$
2. $g(h(2)) = g(4) = 3(4) = 12$
3. $f(g(4)) = f(12) = 12 + 4 = \mathbf{16}$.
Örnek 5 (Bileşke Denklemi Çözümü):
$f(x) = 4x + 3$ ve $g(x) = 2x - 5$ fonksiyonları için $(f \circ g)(a) = 17$ eşitliğini sağlayan $a$ gerçek sayısını bulunuz.
Çözüm:
$(f \circ g)(a) = f(g(a)) = f(2a - 5) = 4(2a - 5) + 3 = 8a - 20 + 3 = 8a - 17$.
Eşitliği çözelim:
$$8a - 17 = 17 \implies 8a = 34 \implies a = \frac{34}{8} = \mathbf{\frac{17}{4}}.$$
Örnek 6 (Birim Fonksiyon Bileşke Özelliği):
$I(x) = x$ birim fonksiyon olmak üzere $f(x) = 3x + 2$ ve $g(x) = x^2$ için:
$$(f \circ I)(4) + (I \circ g)(3)$$
toplamını bulunuz.
Çözüm:
- $f \circ I = f$ olduğundan $(f \circ I)(4) = f(4) = 3(4) + 2 = 14$.
- $I \circ g = g$ olduğundan $(I \circ g)(3) = g(3) = 3^2 = 9$.
$$\text{Toplam} = 14 + 9 = \mathbf{23}.$$
Örnek 7 (Doğrusal Fonksiyon Öz-Bileşkesi):
$f(x) = ax + b$ doğrusal fonksiyonu için $(f \circ f)(x) = 16x + 15$ ve $a > 0$ olduğuna göre $a + b$ toplamını bulunuz.
Çözüm:
$(f \circ f)(x) = f(f(x)) = f(ax + b) = a(ax + b) + b = a^2x + ab + b$.
$a^2x + (ab + b) = 16x + 15$
$x$'li terim: $a^2 = 16 \implies a = 4$ ($a > 0$ olduğu için).
Sabit terim: $4b + b = 15 \implies 5b = 15 \implies b = 3$.
$$\implies a + b = 4 + 3 = \mathbf{7}.$$
Örnek 8 (Parçalı Fonksiyonda Bileşke):
$$f(x) = \begin{cases} x + 5, & x \ge 2 \text{ ise} \\ 3x - 1, & x < 2 \text{ ise} \end{cases} \quad \text{ve} \quad g(x) = 2x - 3$$
olduğuna göre $(f \circ g)(3)$ kaçtır?
Çözüm:
Önce sağdaki $g(3)$ değerini bulalım: $g(3) = 2(3) - 3 = 6 - 3 = 3$.
Şimdi $f(3)$ değerini hesaplayalım. $x = 3 \ge 2$ bölgesine uyduğu için 1. kural kullanılır:
$$f(3) = 3 + 5 = \mathbf{8}.$$
⚠️Sık Yapılan Hatalar
🔴İşlem Sırasını Soldan Sağa Yapmak: $(g \circ f)(x)$ bileşkesinde ilk işlem $g$'ye değil, sağdaki $f$'ye uygulanmalıdır.
🔴Değişme Özelliği Var Sanmak: $f \circ g$ ile $g \circ f$ kuralları ve sonuçları genel olarak birbirine eşit değildir.
🔴Bileşkeyi Çarpma İşlemiyle Karıştırmak: $(f \circ g)(x) \neq f(x) \cdot g(x)$ dir. Bileşke, bir fonksiyonun çıktısını diğerine girdi yapmaktır.
Alıştırma Soruları
Bu konuyu ne kadar öğrendiğini test et!