11. Ebob-Ekok

1.11 EBOB-EKOK Kavramları, Özellikleri ve Periyodik Problemler

 🎯Kazanımlar

Bu bölümü tamamladığında:

• EBOB ve EKOK kavramlarını tanımlayabilecek, asal çarpanlara ayırma yoluyla hesaplayabilecek,
• İki sayı için geçerli olan $a\cdot b=\text{EBOB}(a,b)\cdot\text{EKOK}(a,b)$ bağıntısını ve bu bağıntının üç veya daha fazla sayıya genellenemeyeceğini fark edebilecek,
• Bir problemde EBOB mü yoksa EKOK mu kullanılacağına "bütünü en büyük parçalara ayırma" veya "parçalardan en küçük bütünü oluşturma" mantığıyla karar verebilecek,
• Belirli aralıklarla tekrar eden (periyodik) olaylarda birlikte gerçekleşme zamanını EKOK ile doğru şekilde hesaplayabileceksin.

 📖Konu Anlatımı

 Ortak Bölen ve Ortak Kat

Bir tam sayı, başka bir tam sayıyı kalansız bölüyorsa ona bölen; bölünen sayı da bölenin katı olarak adlandırılır. İki veya daha fazla sayıyı aynı anda bölen sayılara ortak bölen, bu sayıların hepsinin katı olan sayılara ise ortak kat denir.

 En Büyük Ortak Bölen (EBOB)

En az biri sıfırdan farklı iki veya daha fazla tam sayının pozitif ortak bölenleri arasındaki en büyük değere EBOB denir ve $\text{EBOB}(a,b)$ şeklinde yazılır.

 En Küçük Ortak Kat (EKOK)

Pozitif tam sayıların pozitif ortak katları arasındaki en küçük değere EKOK denir ve $\text{EKOK}(a,b)$ şeklinde yazılır.

 Not: EKOK yalnızca pozitif tam sayılar için anlamlıdır. Sıfırın her sayının katı olması nedeniyle sıfır içeren ifadelerde pozitif bir en küçük ortak kattan söz edilemez; bu yüzden TYT'de EKOK işlemleri daima pozitif tam sayılar arasında yapılır.

Asal Çarpanlara Ayırarak Hesaplama Yöntemi

Sayılar asal çarpanlarının kuvvetleri hâlinde yazıldığında:

• EBOB, ortak asal tabanlardan küçük üslü olanların çarpımıdır.
• EKOK, ortak asal tabanlardan büyük üslü olanlarla, sadece bir sayıda bulunan asal çarpanların tamamının çarpımıdır.
   

 Temel Özellikler

1. Çarpım bağıntısı (yalnızca iki sayı için):

$$a\cdot b = \text{EBOB}(a,b)\cdot \text{EKOK}(a,b)$$

 ⚠️ Bu eşitlik sadece iki sayı arasında geçerlidir. Üç veya daha fazla sayı söz konusu olduğunda $a\cdot b\cdot c = \text{EBOB}(a,b,c)\cdot \text{EKOK}(a,b,c)$ ifadesi doğru değildir; üç sayılı problemlerde sonuca asal çarpanlara ayırma yoluyla ulaşılmalıdır (bkz. Örnek 3).

2. Aralarında asallık: $\text{EBOB}(a,b)=1$ ise $a$ ve $b$ aralarında asaldır ve bu durumda:

$$\text{EKOK}(a,b) = a\cdot b$$

3. Tam kat ilişkisi: $b$ sayısı $a$ sayısının tam katıysa, $\text{EBOB}(a,b)=a$ ve $\text{EKOK}(a,b)=b$ olur.

4. Ortak bölen ve ortak kat kümesi: İki sayının bütün ortak bölenleri, bu sayıların EBOB'unun bölenleridir; bütün ortak katları ise EKOK'un katlarıdır.

 Problem Tipine Göre EBOB mü, EKOK mü?

EBOB — Bütünden parçaya: Bir bütün, eş büyüklükte en büyük parçalara ayrılarak elde edilebilecek en az sayıda parça isteniyorsa EBOB kullanılır.

EKOK — Parçadan bütüne: Eş büyüklükteki küçük parçalar birleştirilerek belirli bir bütün (kare, küp gibi) en az sayıda parçayla oluşturulmak isteniyorsa EKOK kullanılır.

 Periyodik Problemler ve "Kaçıncı Kez" Kuralı

Belirli zaman aralıklarında düzenli olarak tekrarlanan olaylara periyodik olaylar denir. İki veya daha fazla olay aynı anda başlayıp kendi periyotlarıyla tekrarlandığında, bu olayların yeniden birlikte gerçekleştiği anlar EKOK'un katlarına denk gelir.

 Kritik nokta — başlangıç anı bir "kez" midir? Bu sorunun cevabı, başlangıç anının kendisinin olayların birlikte gerçekleştiği bir an olup olmadığına bağlıdır:

• Başlangıç anı, olayların zaten birlikte gerçekleştiği bir an olarak tanımlanmışsa ("ilk kez birlikte yaptılar", "aynı anda buluştular" gibi), bu an 1. kez sayılır. $n$. kez için geriye $(n-1)$ periyot kalır:
• $$\text{Geçen süre} = \text{EKOK}\times(n-1)$$
• Başlangıç anı yalnızca olayların ayrı ayrı işlemeye/harekete başladığı an ise (henüz birlikte bir gerçekleşme yoktur), ilk birlikte gerçekleşme bir periyot sonra olur. $n$. kez için:

 $$\text{Geçen süre} = \text{EKOK}\times n$$

 Hangi durumun geçerli olduğu, problemin başlangıç anını nasıl tanımladığına bakılarak belirlenir, sabit bir formül yoktur.

 ✏️ Örnekler

Örnek 1: $150$ ve $225$ sayılarının EBOB ve EKOK'unu asal çarpanlarına ayırarak bulunuz.

Çözüm:

$$150 = 2\cdot 3\cdot 5^2 \qquad 225 = 3^2\cdot 5^2$$

Ortak asal tabanlar $3$ ve $5$'tir. Küçük üsleri çarparsak:

$$\text{EBOB}(150,225) = 3^1\cdot 5^2 = 75$$

Büyük üslerle birlikte yalnızca $150$'de bulunan $2$ çarpanını da eklersek:

$$\text{EKOK}(150,225) = 2^1\cdot 3^2\cdot 5^2 = 450$$

Kontrol: $150\times 225 = 33\,750$ ve $75\times 450 = 33\,750$ — eşitlik sağlanır.

Örnek 2: $\text{EBOB}(a,b)=8$ ve $a\cdot b=960$ olduğuna göre $\text{EKOK}(a,b)$ kaçtır?

Çözüm: Çarpım bağıntısından:

$$a\cdot b = \text{EBOB}(a,b)\cdot \text{EKOK}(a,b) \ \Rightarrow \ 960 = 8\cdot \text{EKOK}(a,b) \ \Rightarrow \ \text{EKOK}(a,b) = 120$$

Örnek 3: $a=6$, $b=12$, $c=180$ sayıları için $\text{EBOB}(a,b,c)$ ve $\text{EKOK}(a,b,c)$'yi bulup, $a\cdot b\cdot c$ çarpımının $\text{EBOB}(a,b,c)\cdot\text{EKOK}(a,b,c)$'ye eşit olup olmadığını gösteriniz.

Çözüm:

$$6=2\cdot 3 \qquad 12=2^2\cdot 3 \qquad 180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$$

$$\text{EBOB}(6,12,180)=2\cdot 3=6 \qquad \text{EKOK}(6,12,180)=2^2\cdot 3^2\cdot 5=180$$

Şimdi karşılaştıralım:

$$\text{EBOB}\cdot\text{EKOK} = 6\times 180 = 1080$$

$$a\cdot b\cdot c = 6\times 12\times 180 = 12\,960$$

$1080\neq 12\,960$ olduğundan, çarpım bağıntısı üç sayı için geçerli değildir. Bu bağıntı yalnızca iki sayı arasında kullanılabilir.

Örnek 4: $x$ ve $y$ aralarında asal iki pozitif tam sayıdır. $\text{EKOK}(x,y)=143$ olduğuna göre $x+y$ toplamının alabileceği bir değeri bulunuz.

Çözüm: Aralarında asal sayılarda $\text{EKOK}(x,y)=x\cdot y$ olduğundan:

$$x\cdot y = 143 = 11\times 13$$

$11$ ve $13$'ün ikisi de asal sayı olduğundan aralarında asaldırlar. $x=11,\ y=13$ alınırsa:

$$x+y = 11+13 = 24$$

Örnek 5: Kenar uzunlukları $210\text{ m}$ ve $294\text{ m}$ olan dikdörtgen biçimindeki bir arazi, mümkün olan en büyük eş kare parsellere ayrılmak isteniyor. Bir parselin kenarı kaç metredir ve toplam kaç parsel elde edilir?

Çözüm: "En büyük eş parça" ifadesi EBOB kullanılacağının işaretidir.

$$210 = 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7 \qquad 294 = 2\cdot 3\cdot 7^2$$

$$\text{EBOB}(210,294) = 2\cdot 3\cdot 7 = 42$$

Parsel kenarı $42\text{ m}$'dir. Parsel sayısı:

$$\dfrac{210}{42}\times \dfrac{294}{42} = 5\times 7 = 35$$

Örnek 6: Kenarları $16\text{ cm}$ ve $20\text{ cm}$ olan dikdörtgen biçimindeki fayanslarla, mümkün olan en küçük kare bir alan döşenmek isteniyor. Oluşacak karenin bir kenarı kaç santimetredir?

Çözüm: "En az sayıda parçayla bütün oluşturma" ifadesi EKOK kullanılacağının işaretidir.

$$16 = 2^4 \qquad 20 = 2^2\cdot 5$$

$$\text{EKOK}(16,20) = 2^4\cdot 5 = 80$$

Oluşacak en küçük karenin bir kenarı $80\text{ cm}$'dir.

Örnek 7: Saat $08.00$'de bir durak noktasından aynı anda hareket eden iki minibüsten biri $24$ dakikada, diğeri $36$ dakikada bir aynı noktaya dönüyor. İkisinin bu noktada $3$. kez birlikte bulunacağı saat kaçtır?

Çözüm:

$$24 = 2^3\cdot 3 \qquad 36 = 2^2\cdot 3^2$$

$$\text{EKOK}(24,36) = 2^3\cdot 3^2 = 72 \text{ dakika}$$

Minibüsler saat $08.00$'de aynı noktadan aynı anda hareket ettiğinden, bu an zaten iki minibüsün o noktada birlikte bulunduğu bir andır — yani $08.00$, $1$. kez sayılır. $3$. kez için geriye $3-1=2$ periyot kalır:

$$72\times 2 = 144 \text{ dakika} = 2 \text{ saat } 24 \text{ dakika}$$

$$08.00 + 02.24 = \mathbf{10.24}$$

 

Örnek 8: Üç arkadaş bir kütüphane etkinliğine sırasıyla $8$, $10$ ve $15$ günde bir katılıyor. Hepsi bugün (Pazartesi) ilk kez birlikte katıldığına göre, $2$. kez birlikte katılacakları gün haftanın hangi günüdür?

Çözüm:

$$8=2^3 \qquad 10=2\cdot 5 \qquad 15=3\cdot 5$$

$$\text{EKOK}(8,10,15) = 2^3\cdot 3\cdot 5 = 120$$

"İlk kez birlikte katıldığına göre" ifadesi, bugünün (Pazartesi) zaten $1$. kez olduğunu belirtir. $2$. kez için geriye $2-1=1$ periyot kalır:

$$120\times 1 = 120 \text{ gün}$$

$120$'nin $7$'ye bölümünden kalan: $120 = 7\times 17 + 1$, kalan $1$.

Pazartesi'den $1$ gün sonrası: Salı.

Örnek 9: $140$ ve $196$ sayılarının ortak bölenlerinin tamamını bulunuz.

Çözüm: İki sayının tüm ortak bölenleri, EBOB'un bölenlerine eşittir. Önce EBOB'u bulalım:

$$140 = 2^2\cdot 5\cdot 7 \qquad 196 = 2^2\cdot 7^2$$

$$\text{EBOB}(140,196) = 2^2\cdot 7 = 28$$

$28$'in bölen sayısı, $28=2^2\cdot 7^1$ olduğundan $(2+1)(1+1)=6$'dır. Bu $6$ bölen aynı zamanda $140$ ile $196$'nın tüm ortak bölenleridir:

$$1,\ 2,\ 4,\ 7,\ 14,\ 28$$

Örnek 10: $a$ ve $b$ pozitif tam sayılardır; $b$ sayısı $a$ sayısının tam katıdır. $\text{EBOB}(a,b)=15$ ve $\text{EKOK}(a,b)=180$ olduğuna göre $a$ ve $b$'yi bulunuz.

Çözüm: $b$, $a$'nın tam katı olduğundan tam kat ilişkisi gereği EBOB küçük sayıya ($a$'ya), EKOK ise büyük sayıya ($b$'ye) eşittir:

$$a = 15 \qquad b = 180$$

Kontrol: $180\div 15=12$ tam sayı olduğundan $b$ gerçekten $a$'nın tam katıdır; ayrıca $a\cdot b=15\times180=2700$ ve $\text{EBOB}\cdot\text{EKOK}=15\times180=2700$ eşitliği de sağlanır.

 ⚠️ Sık Yapılan Hatalar

 🔴Çarpım bağıntısını üçten fazla sayıya genellemek: $a\cdot b\cdot c=\text{EBOB}(a,b,c)\cdot\text{EKOK}(a,b,c)$ eşitliği yanlıştır; bu bağıntı yalnızca iki sayı için geçerlidir (bkz. Örnek 3).

 🔴"Kaçıncı kez" sorularında tek bir kuralı her duruma uygulamak: Başlangıç anı, olayların zaten birlikte gerçekleştiği bir an ise (örn. "ilk kez birlikte yaptılar") bu an $1$. kez sayılır ve $n$. kez için $(n-1)\times\text{EKOK}$ hesaplanır; başlangıç anı yalnızca işlemeye/harekete başlama anıysa (henüz birlikte gerçekleşme yoksa) $n$. kez için $n\times\text{EKOK}$ hesaplanır. Hangi durumun geçerli olduğunu kontrol etmeden tek bir formülü ezbere uygulamak yanlış sonuca götürür (bkz. Örnek 7, 8).

 🔴EBOB ve EKOK'u karıştırmak: "En büyük eş parçaya bölme" isteyen sorularda EBOB, "en küçük ortak bütünü oluşturma" isteyen sorularda EKOK kullanılır; bu yönü tersine çevirmek sık yapılan bir hatadır.

 🟡Ortak bölen/kat sayısını yanlış hesaplamak: İki sayının ortak bölen sayısı, EBOB'un bölen sayısı formülüyle bulunur; sayıların kendi bölen sayıları toplanıp çıkarılarak bulunamaz (bkz. Örnek 9).

 🟡Tam kat ilişkisinde EBOB ile EKOK'u ters atamak: Bir sayı diğerinin tam katıysa EBOB küçük sayıya, EKOK büyük sayıya eşittir; bu atamayı ters yapmak yanlış sonuca götürür (bkz. Örnek 10).