5. Doğrusal - Parçalı Fonksiyon
Doğrusal ve Parçalı Fonksiyon
🎯Kazanımlar
Bu bölümü tamamladığında;
- Doğrusal fonksiyon kuralını $f(x) = mx + n$ olarak tanımlayıp $m$ (eğim) ve $n$ ($y$-ekseni kesişimi) parametrelerini grafik üzerinde yorumlayabilecek,
- Eksenleri kestiği noktaları kullanarak doğrusal fonksiyon grafiklerini çizebilecek,
- Tanım kümesinin alt aralıklarında farklı kurallarla şekillenen parçalı fonksiyonları ve kritik noktaları kavramsal olarak analiz edebilecek,
- Parçalı tanımlı fonksiyonlarda değer hesabı ve grafik okumalarını yapabileceksin.
📖Konu Anlatımı
1. Doğrusal Fonksiyon
Tanım: $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ve $m, n \in \mathbb{R}$ olmak üzere, $f(x) = mx + n$ şeklindeki fonksiyonlara doğrusal fonksiyon denir.
Katsayıların ve Grafik Elemanlarının Anlamı:
$f(x) = mx + n$ doğrusal fonksiyon ifadesinde $x$’in katsayısı ($m$) doğrunun eğimini gösterir.
İfadedeki sabit sayı ($n$) ise doğrunun $y$ eksenini kestiği noktayı gösterir.
Doğrusal fonksiyonların grafikleri analitik düzlemde her zaman bir doğru belirtir.
📌Eksenleri Kesen Noktaların Bulunması:
$f(x) = mx + n$ doğrusunun eksenleri kestiği noktaları bulmak için:
1. $x = 0$ yazılarak $y$-eksenini kestiği nokta $(0, n)$ bulunur.
2. $y = f(x) = 0$ eşitliği çözülerek $x$-eksenini kestiği nokta $(-\frac{n}{m}, 0)$ bulunur.
2. Parçalı Fonksiyon
Tanım: Tanım kümesinin alt aralıklarında farklı kurallarla tanımlanan fonksiyonlara parçalı tanımlı fonksiyon denir.
Genel Gösterim: $A \subseteq \mathbb{R}$, $f: A \to \mathbb{R}$ ve $c \in A$ olmak üzere parçalı fonksiyonlar;
$$f(x) = \begin{cases} g(x), & a \le x < c \\ h(x), & c \le x \le b \end{cases}$$
biçiminde alt parçalar halinde yazılabilir.
Kritik Noktalar: Tanım aralıklarının uç noktaları olan $a, b, c$ değerlerine kritik noktalar adı verilir.
✏️Çözümlü Örnekler
Örnek 1 (Doğrusal Grafik Eksen Kesişimleri):
$f(x) = 2x + 6$ doğrusal fonksiyonunun eksenleri kestiği noktaları bularak grafiğin eksen kesişimlerini inceleyiniz.
Çözüm:
$x = 0$ için: $y = f(0) = 2(0) + 6 = 6 \implies y$-eksenini $(0, 6)$ noktasında keser.
$y = 0$ için: $2x + 6 = 0 \implies 2x = -6 \implies x = -3 \implies x$-eksenini $(-3, 0)$ noktasında keser.
Bu iki nokta analitik düzlemde birleştirilerek $f(x) = 2x + 6$ doğrusu çizilir.
Örnek 2 (3 Kritik Aralıklı Parçalı Fonksiyon Değer Hesabı):
$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ olmak üzere;
$$f(x) = \begin{cases} 2, & x < 0 \\ 4, & 0 \le x < 3 \\ 9, & x \ge 3 \end{cases}$$
kuralı ile verilen fonksiyon için $f(-4) + f(0) + f(2) + f(3) + f(6)$ toplamı kaçtır?
Çözüm:
$x = -4 < 0 \implies f(-4) = 2$
$0 \le x = 0 < 3 \implies f(0) = 4$
$0 \le x = 2 < 3 \implies f(2) = 4$
$x = 3 \ge 3 \implies f(3) = 9$
$x = 6 \ge 3 \implies f(6) = 9$
$$\text{Toplam} = 2 + 4 + 4 + 9 + 9 = \mathbf{28}.$$
Örnek 3 (İki Noktası Verilen Doğrusal Fonksiyon):
$f(x)$ doğrusal fonksiyonu için $f(3) = 11$ ve $f(6) = 20$ olduğuna göre $f(9)$ kaçtır?
Çözüm:
Doğrusal fonksiyon kuralı $f(x) = mx + n$ olsun:
$f(3) = 11 \implies 3m + n = 11$
$f(6) = 20 \implies 6m + n = 20$
Taraf tarafa çıkarırsak: $3m = 9 \implies m = 3$.
$3(3) + n = 11 \implies n = 2$.
Kuralımız: $f(x) = 3x + 2$.
$$\implies f(9) = 3(9) + 2 = 27 + 2 = \mathbf{29}.$$
Örnek 4 (Doğrusal Fonksiyonda Katsayı Analizi):
$$f(x) = (a - 4)x^2 + (b + 2)x + c - 3$$
fonksiyonu doğrusal bir fonksiyon olup eğimi $4$ ve $y$-eksenini kestiği nokta $(0, 7)$ olduğuna göre $a + b + c$ toplamı kaçtır?
Çözüm:
Doğrusal fonksiyonda $x^2$ terimi bulunamaz:
$a - 4 = 0 \implies a = 4$
Eğim $x$'in katsayısıdır: $b + 2 = 4 \implies b = 2$
$y$-eksenini kestiği nokta sabit terimdir: $c - 3 = 7 \implies c = 10$
$$\implies a + b + c = 4 + 2 + 10 = \mathbf{16}.$$
Örnek 5 (Eksenleri Kestiği Noktalar Verilen Doğrusal Fonksiyon):
Analitik düzlemde $x$-eksenini $-4$ ve $y$-eksenini $8$ noktasında kesen doğrusal $f(x)$ fonksiyonunun denklemini kurup $f(5)$ değerini bulunuz.
Çözüm:
Eksenleri kestiği noktaları bilinen doğru denklemi:
$$\frac{x}{-4} + \frac{y}{8} = 1$$
Paydaları 8 ile genişletelim:
$$-2x + y = 8 \implies y = f(x) = 2x + 8$$
Şimdi $x = 5$ yazalım:
$$f(5) = 2(5) + 8 = 10 + 8 = \mathbf{18}.$$
Örnek 6 (Parçalı Fonksiyonda Denklem Çözümü):
$$f(x) = \begin{cases} 4x - 2, & x < 3 \text{ ise} \\ x^2 + 2, & x \ge 3 \text{ ise} \end{cases}$$
fonksiyonu için $f(k) = 18$ eşitliğini sağlayan $k$ gerçek sayılarını bulunuz.
Çözüm:
Her iki parçayı ayrı ayrı eşitleyip aralık şartını inceleyelim:
1. $x < 3$ bölgesi için: $4k - 2 = 18 \implies 4k = 20 \implies k = 5$.
Ancak $5 \nless 3$ olduğu için bu bölgeden çözüm gelmez.
2. $x \ge 3$ bölgesi için: $k^2 + 2 = 18 \implies k^2 = 16 \implies k = 4$ veya $k = -4$.
$k \ge 3$ şartına uyan tek değer $\mathbf{k = 4}$'tür.
Örnek 7 (Doğrusal Fonksiyon Bileşkesi):
$f(x) = 3x + 4$ doğrusal fonksiyonu veriliyor. $(f \circ f)(x) = 25$ eşitliğini sağlayan $x$ değerini bulunuz.
Çözüm:
Önce $(f \circ f)(x)$ kuralını bulalım:
$$(f \circ f)(x) = f(f(x)) = f(3x + 4) = 3(3x + 4) + 4 = 9x + 12 + 4 = 9x + 16$$
Eşitliği çözelim:
$$9x + 16 = 25 \implies 9x = 9 \implies \mathbf{x = 1}.$$
Örnek 8 (Hikâyeli Doğrusal Grafik Problemi):
Başlangıçta içinde $75 \text{ litre}$ su bulunan bir depodan her saat sabit $5 \text{ litre}$ su boşalmaktadır.
a) Geçen zamana ($t$ saat) bağlı depoda kalan su miktarının $V(t)$ doğrusal fonksiyon kuralını yazınız.
b) $8 \text{ saat}$ sonra depoda kaç litre su kalır?
Çözüm:
a) İlk miktar $V(0) = 75$. Birim azalış hızı (eğim) $-5 \text{ L/saat}$.
$$\mathbf{V(t) = 75 - 5t}$$
b) $t = 8$ için:
$$V(8) = 75 - 5(8) = 75 - 40 = \mathbf{35\text{ litre}}.$$
⚠️ Sık Yapılan Hatalar
🔴Parçalı Fonksiyonda Kritik Nokta Eşitsizliklerine Dikkat Etmemek: Sınır değerlerinin dahil ($<, \le, \ge$) olup olmadığı kontrol edilmeden yanlış kural çalıştırılmamalıdır.
🔴Doğrusal Fonksiyon Grafiğinde Eşitsizlik İşaretlerini Karıştırmak: $x$-eksenini kesen nokta için $y=0$, $y$-eksenini kesen nokta için $x=0$ verilmelidir.
Alıştırma Soruları
Bu konuyu ne kadar öğrendiğini test et!