2. Sayı, Kesir, Yaş, İşçi, Yüzde, Kâr-Zarar, Karışım Hareket Problemleri

1.2 Problemler 

 🎯Kazanımlar

Bu bölümü tamamladığında;

• Sözel ifadeleri matematiksel denklemlere dönüştürebilecek,
• Sayı, kesir, yaş, işçi, yüzde, kâr-zarar, karışım ve hareket problemlerini sistematik yöntemlerle çözebilecek,
• Problem çözümünde değişken atama, denklem kurma ve sağlama adımlarını hatasız uygulayabilecek,
• Orantı, yüzde ve hız-formülü ilişkilerini problemlere uyarlayabileceksin.

 📖 Konu Anlatımı

 1. Sayı Problemleri

Sözel ifadeleri cebirsel denklemlere dönüştürme sanatıdır.

Strateji:

1. İstenen bilinmeyene uygun değişken atayın (x, y, n vb.).

2. Verilen bilgileri denklem olarak yazın.

3. Denklemi çözüp sonucu yorumlayın.

Sık Kullanılan İfadeler:

• Bir sayının 5 fazlası: $x + 5$
• Bir sayının 3 katının 7 eksiği: $3x - 7$
• Bir sayının yarısının 4 fazlası: $\frac{x}{2} + 4$
• Ardışık sayılar: $x, x+1, x+2$
• Ardışık çift sayılar: $x, x+2, x+4$

1. ÇÖZÜMLÜ SAYI PROBLEMLERİ 

Soru 1: Bir okulun konferans salonundaki koltukların bir kısmı 4 kişilik, diğerleri 6 kişiliktir. Toplam 28 koltuk vardır ve salonun kapasitesi 132 kişidir. Buna göre 4 kişilik koltuk sayısı kaçtır?

Çözüm:

• 4 kişilik koltuk sayısı $x$ olsun.
• 6 kişilik koltuk sayısı $28 - x$ olur.
• Kapasite: $4x + 6(28 - x) = 132$
• $4x + 168 - 6x = 132 \Rightarrow -2x = -36 \Rightarrow x = 18$
• Cevap: 18

Soru 2: Bir manav, elmaların tanesini 3 TL'den alıp 5 TL'den satmaktadır. Bir günde 120 TL kâr eden manav, kaç kg elma satmıştır?

Çözüm:

• Bir elmadan kâr: $5 - 3 = 2$ TL
• Satılan elma sayısı: $120 / 2 = 60$
• Cevap: 60

Soru 3: Bir sayının 5 katının 12 eksiği, aynı sayının 3 katının 18 fazlasına eşittir. Bu sayı kaçtır?

Çözüm:

• $5x - 12 = 3x + 18$
• $2x = 30 \Rightarrow x = 15$
• Cevap: 15

Soru 4: Ardışık 5 çift sayının toplamı 120'dir. Bu sayıların en büyüğü kaçtır?

Çözüm:

• Sayılar: $x, x+2, x+4, x+6, x+8$
• Toplam: $5x + 20 = 120 \Rightarrow 5x = 100 \Rightarrow x = 20$
• En büyük: $20 + 8 = 28$
• Cevap: 28

 2. Kesir Problemleri

Strateji: "Bir sayının $\frac{a}{b}$'sinin $\frac{c}{d}$'si" gibi ifadelerde, sayıya paydaların EKOK'u cinsinden bir değer verin.

Örnek: Bir sayının $\frac{2}{3}$'ünün $\frac{3}{5}$'i = $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$'i

2.1        ÇÖZÜMLÜ KESİR PROBLEMLERİ 

Soru 1: Bir sınıftaki öğrencilerin $\frac{2}{5}$'si kızdır. Kızların $\frac{3}{4}$'ü gözlüklüdür. Sınıfta 18 gözlüklü kız olduğuna göre sınıf mevcudu kaçtır?

Çözüm:

• Sınıf mevcudu $x$ olsun.
• Kız sayısı: $\frac{2x}{5}$
• Gözlüklü kız: $\frac{2x}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3x}{10} = 18 \Rightarrow 3x = 180 \Rightarrow x = 60$
• Cevap: 60

Soru 2: Bir telin ucundan $\frac{1}{5}$'i kesilince orta noktası 12 cm kayıyor. Telin ilk boyu kaç cm'dir?

Çözüm:

• Orta nokta, kesilen miktarın yarısı kadar kayar.
• $\frac{x/5}{2} = 12 \Rightarrow \frac{x}{10} = 12 \Rightarrow x = 120$
• Cevap: 120 cm

Soru 3: Bir aracın deposunun $\frac{3}{7}$'si doludur. Depoya 36 litre benzin eklenince deponun $\frac{5}{7}$'si doluyor. Depo kaç litreliktir?

Çözüm:

• Depo kapasitesi $x$ olsun.
• $\frac{3x}{7} + 36 = \frac{5x}{7} \Rightarrow 36 = \frac{2x}{7} \Rightarrow 2x = 252 \Rightarrow x = 126$
• Cevap: 126 litre

Soru 4: Bir sayının $\frac{1}{4}$'ü ile $\frac{2}{5}$'i arasındaki fark 9'dur. Bu sayı kaçtır?

Çözüm:

• $\frac{2x}{5} - \frac{x}{4} = 9$
• Payda eşitleme: $\frac{8x - 5x}{20} = 9 \Rightarrow \frac{3x}{20} = 9 \Rightarrow 3x = 180 \Rightarrow x = 60$
• Cevap: 60

3. Yaş Problemleri

Kurallar:

• İki kişi arasındaki yaş farkı sabittir.
• $n$ kişinin $t$ yıl sonraki yaşları toplamı: Eski toplam + $n \cdot t$
• $t$ yıl önceki yaşları toplamı: Eski toplam - $n \cdot t$

1. ÇÖZÜMLÜ YAŞ PROBLEMLERİ 

Soru 1: Bir annenin yaşı, kızının yaşının 3 katıdır. 6 yıl sonra annenin yaşı, kızının yaşının 2 katı olacağına göre, anne şimdi kaç yaşındadır?

Çözüm:

• Kız $x$, anne $3x$ olsun.
• 6 yıl sonra: $3x + 6 = 2(x + 6) \Rightarrow 3x + 6 = 2x + 12 \Rightarrow x = 6$
• Anne: $3 \cdot 6 = 18$
• Cevap: 18

Soru 2: Ayşe ile Fatma'nın yaşları toplamı 44'tür. Ayşe, Fatma'nın yaşındayken Fatma 12 yaşındaydı. Buna göre Ayşe şimdi kaç yaşındadır?

Çözüm:

• Aradaki yaş farkı $k$ olsun.
• Fatma $x$, Ayşe $x + k$ olsun.
• Toplam: $2x + k = 44$
• Ayşe, Fatma'nın yaşındayken (yani $k$ yıl önce): Fatma $x - k = 12 \Rightarrow x = 12 + k$
• $2(12 + k) + k = 44 \Rightarrow 24 + 3k = 44 \Rightarrow 3k = 20 \Rightarrow k = \frac{20}{3}$
• Ayşe: $x + k = (12 + \frac{20}{3}) + \frac{20}{3} = 12 + \frac{40}{3} = \frac{76}{3}$ (Bu sonuç kesirli çıktı, bir kontrol yapalım; belki daha düzgün sayılarla başka bir örnek vermek daha iyi.)

Soru 2 (Düzeltilmiş): Ali ile Veli'nin yaşları toplamı 52'dir. Ali, Veli'nin yaşındayken Veli 16 yaşındaydı. Buna göre Ali şimdi kaç yaşındadır?

Çözüm:

• Yaş farkı $k$ olsun. Veli $x$, Ali $x + k$ olsun.
• $2x + k = 52$
• Ali, Veli'nin yaşındayken ($k$ yıl önce): Veli $x - k = 16 \Rightarrow x = 16 + k$
• $2(16 + k) + k = 52 \Rightarrow 32 + 3k = 52 \Rightarrow 3k = 20 \Rightarrow k = \frac{20}{3}$ (Yine kesirli. Demek ki fark tam sayı olmayabilir, sorun yok. Ama öğrenci için daha anlaşılır olması için tam sayı çıkacak bir örnek verelim.)

Soru 2 (Tekrar Düzeltilmiş): Ali ile Veli'nin yaşları toplamı 48'dir. Ali, Veli'nin yaşındayken Veli 18 yaşındaydı. Buna göre Ali şimdi kaç yaşındadır?

Çözüm:

• Yaş farkı $k$ olsun. Veli $x$, Ali $x + k$ olsun.
• $2x + k = 48$
• Ali, Veli'nin yaşındayken ($k$ yıl önce): Veli $x - k = 18 \Rightarrow x = 18 + k$
• $2(18 + k) + k = 48 \Rightarrow 36 + 3k = 48 \Rightarrow 3k = 12 \Rightarrow k = 4$
• Ali: $x + k = (18 + 4) + 4 = 26$
• Cevap: 26

Soru 3: 3 kişilik bir ailenin yaşları toplamı 72'dir. 5 yıl sonra yaşları toplamı kaç olur?

Çözüm:

• 3 kişi, 5 yıl sonra: $72 + 3 \cdot 5 = 72 + 15 = 87$
• Cevap: 87

Soru 4: Bir babanın yaşı, oğlunun yaşının 4 katıdır. 8 yıl sonra babanın yaşı, oğlunun yaşının 3 katı olacağına göre, baba şimdi kaç yaşındadır?

Çözüm:

• Oğul $x$, baba $4x$
• $4x + 8 = 3(x + 8) \Rightarrow 4x + 8 = 3x + 24 \Rightarrow x = 16$
• Baba: $4 \cdot 16 = 64$
• Cevap: 64

 4. İşçi Problemleri

Temel Mantık: Bir işçi işin tamamını $x$ günde bitiriyorsa, 1 günde $\frac{1}{x}$'ini yapar.

• Birlikte çalışma: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{t}$
• Ters orantılıdır (işçi sayısı arttıkça süre azalır).

4.1         ÇÖZÜMLÜ İŞÇİ PROBLEMLERİ 

Soru 1: Bir işi Ali tek başına 10 günde, Veli tek başına 15 günde bitirebilmektedir. İkisi birlikte çalışarak bu işi kaç günde bitirir?

Çözüm:

• $\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{1}{t} \Rightarrow \frac{3+2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$
• $t = 6$
• Cevap: 6 gün

Soru 2: 5 işçi bir işi 18 günde bitirebiliyor. Aynı işi 6 işçi kaç günde bitirir?

Çözüm:

• Ters orantı: $5 \cdot 18 = 6 \cdot x \Rightarrow 90 = 6x \Rightarrow x = 15$
• Cevap: 15 gün

Soru 3: Bir işi Ahmet 12 günde, Mehmet 18 günde bitiriyor. Ahmet 4 gün, Mehmet 6 gün çalışırsa işin kaçta kaçı biter?

Çözüm:

• Ahmet 1 günde $\frac{1}{12}$, 4 günde $\frac{4}{12} = \frac{1}{3}$
• Mehmet 1 günde $\frac{1}{18}$, 6 günde $\frac{6}{18} = \frac{1}{3}$
• Toplam: $\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
• Cevap: $\frac{2}{3}$

Soru 4: Bir musluk boş havuzu 8 saatte dolduruyor, havuzun altındaki delik ise dolu havuzu 12 saatte boşaltıyor. Musluk açıkken delik de açık olursa havuz kaç saatte dolar?

Çözüm:

• Musluk saatte $\frac{1}{8}$, delik saatte $\frac{1}{12}$ boşaltır.
• Net dolum: $\frac{1}{8} - \frac{1}{12} = \frac{3-2}{24} = \frac{1}{24}$
• $t = 24$
• Cevap: 24 saat

 5. Yüzde Problemleri

Strateji: Başlangıç değerine $100x$ deyin.

• $A$'nın %$p$'si: $A \cdot \frac{p}{100}$
• $A$'nın %$p$'sinin %$q$'su: $A \cdot \frac{p}{100} \cdot \frac{q}{100}$

5.1        ÇÖZÜMLÜ YÜZDE PROBLEMLERİ 

Soru 1: Bir ürünün fiyatı 200 TL'dir. Fiyatına %25 zam yapılırsa yeni fiyatı kaç TL olur?

Çözüm:

• $200 \cdot \frac{125}{100} = 200 \cdot 1,25 = 250$
• Cevap: 250 TL

Soru 2: 300 kişilik bir okulun %60'ı kız öğrencidir. Kız öğrencilerin %25'i gözlüklüdür. Okulda kaç gözlüklü kız öğrenci vardır?

Çözüm:

• Kız sayısı: $300 \cdot \frac{60}{100} = 180$
• Gözlüklü kız: $180 \cdot \frac{25}{100} = 45$
• Cevap: 45

Soru 3: Bir sayının %15'i 36 ise bu sayı kaçtır?

Çözüm:

• $x \cdot \frac{15}{100} = 36 \Rightarrow x = 36 \cdot \frac{100}{15} = 36 \cdot \frac{20}{3} = 240$
• Cevap: 240

Soru 4: Bir ürün, maliyet fiyatı üzerinden %40 kârla satılırken, satış fiyatı üzerinden %20 indirim yapılıyor. Son durumda kâr veya zarar yüzdesi nedir?

Çözüm:

• Maliyet: 100 TL olsun.
• Satış: $100 \cdot 1,4 = 140$ TL
• İndirimli satış: $140 \cdot 0,8 = 112$ TL
• Kâr: $112 - 100 = 12$ TL, yani %12 kâr
• Cevap: %12 kâr

 6. Kâr-Zarar Problemleri

• Kâr = Satış - Maliyet
• Zarar = Maliyet - Satış
• Kâr/Zarar: Maliyet fiyatı üzerinden hesaplanır.
• Zam/İndirim: Satış fiyatı üzerinden hesaplanır.
• Zamlı fiyat: $A \cdot (1 + \frac{p}{100})$
• İndirimli fiyat: $A \cdot (1 - \frac{p}{100})$

6.1        ÇÖZÜMLÜ KÂR-ZARAR PROBLEMLERİ 

Soru 1: Bir mal, 240 TL'ye alınıp 300 TL'ye satılıyor. Kâr yüzdesi kaçtır?

Çözüm:

• Kâr: $300 - 240 = 60$
• Kâr %: $\frac{60}{240} \cdot 100 = 25\%$
• Cevap: %25

Soru 2: Bir ürün, maliyetinin %20 eksiğine satılıyor. Satış fiyatı 160 TL ise maliyet kaç TL'dir?

Çözüm:

• Maliyet $x$ olsun.
• $x \cdot 0,8 = 160 \Rightarrow x = 160 / 0,8 = 200$
• Cevap: 200 TL

Soru 3: Bir tüccar, iki ürünü toplam 1000 TL'ye alıyor. Birincisini %30 kârla, ikincisini %20 zararla satıyor. Toplam kâr 40 TL ise birinci ürünün maliyeti kaç TL'dir?

Çözüm:

• Birinci $x$, ikinci $1000 - x$ olsun.
• Kâr: $0,3x - 0,2(1000 - x) = 40$
• $0,3x - 200 + 0,2x = 40 \Rightarrow 0,5x = 240 \Rightarrow x = 480$
• Cevap: 480 TL

Soru 4: Bir ürün, maliyetine %25 kâr eklenerek etiketleniyor. Etiket fiyatı üzerinden %20 indirim yapılırsa son durumda kâr/zarar durumu nedir?

Çözüm:

• Maliyet: 100 TL
• Etiket: $100 \cdot 1,25 = 125$ TL
• İndirimli: $125 \cdot 0,8 = 100$ TL
• Ne kâr ne zarar (başabaş)
• Cevap: Başabaş

 7. Karışım Problemleri

• Saf madde oranı = $\frac{\text{Saf Madde}}{\text{Karışım}}$
• Karışım denklemi: $A \cdot x + B \cdot y = (A+B) \cdot z$
• Su ekleme/buharlaştırmada tuz/şeker miktarı sabit kalır, suyun oranı değişir.

7.1        ÇÖZÜMLÜ KARIŞIM PROBLEMLERİ 

Soru 1: Tuz oranı %20 olan 80 litrelik tuzlu su karışımına 20 litre su eklenirse yeni tuz oranı yüzde kaç olur?

Çözüm:

• Tuz miktarı: $80 \cdot 0,2 = 16$ litre
• Toplam karışım: $80 + 20 = 100$ litre
• Yeni oran: $\frac{16}{100} \cdot 100 = 16\%$
• Cevap: %16

Soru 2: Şeker oranı %30 olan 200 gram şekerli su ile şeker oranı %50 olan 300 gram şekerli su karıştırılıyor. Yeni karışımın şeker oranı yüzde kaçtır?

Çözüm:

• Şeker miktarı: $200 \cdot 0,3 + 300 \cdot 0,5 = 60 + 150 = 210$ gram
• Toplam karışım: $200 + 300 = 500$ gram
• Oran: $\frac{210}{500} \cdot 100 = 42\%$
• Cevap: %42

Soru 3: %25'lik alkol çözeltisinden 40 litre, %45'lik alkol çözeltisinden 60 litre karıştırılıyor. Yeni karışımın alkol oranı yüzde kaçtır?

Çözüm:

• Alkol miktarı: $40 \cdot 0,25 + 60 \cdot 0,45 = 10 + 27 = 37$ litre
• Toplam: $100$ litre
• Oran: $37\%$
• Cevap: %37

Soru 4: Tuz oranı %10 olan 120 litre tuzlu suyun bir kısmı buharlaştırılarak tuz oranı %30'a çıkarılıyor. Kaç litre su buharlaştırılmıştır?

Çözüm:

• Tuz miktarı değişmez: $120 \cdot 0,1 = 12$ litre
• Yeni karışım miktarı $x$ olsun: $\frac{12}{x} = 0,3 \Rightarrow x = 40$ litre
• Buharlaşan su: $120 - 40 = 80$ litre
• Cevap: 80 litre

 8. Hareket Problemleri

Temel Formül: $Yol = Hız \cdot Zaman$ ($x = v \cdot t$)

• Zıt yön: $x = (v_1 + v_2) \cdot t$
• Aynı yön: $x = (v_1 - v_2) \cdot t$ ($v_1 > v_2$)
• Ortalama hız: $\frac{\text{Toplam yol}}{\text{Toplam zaman}}$
• Gidiş-dönüş: $V_{ort} = \frac{2 \cdot v_1 \cdot v_2}{v_1 + v_2}$

 8.1        HAREKET PROBLEMLERİ 

Soru 1: Bir araç, 60 km/sa hızla 3 saat, 80 km/sa hızla 2 saat yol alıyor. Aracın ortalama hızı kaç km/sa'dir?

Çözüm:

• Toplam yol: $60 \cdot 3 + 80 \cdot 2 = 180 + 160 = 340$ km
• Toplam zaman: $3 + 2 = 5$ saat
• Ortalama hız: $340 / 5 = 68$ km/sa
• Cevap: 68 km/sa

Soru 2: A şehrinden B şehrine giden bir araç, gidişte 90 km/sa, dönüşte 60 km/sa hız yapıyor. Gidiş-dönüş ortalama hızı kaç km/sa'dir?

Çözüm:

• $V_{ort} = \frac{2 \cdot 90 \cdot 60}{90 + 60} = \frac{10800}{150} = 72$ km/sa
• Cevap: 72 km/sa

Soru 3: İki araç aynı anda, aralarında 480 km olan A ve B şehirlerinden birbirlerine doğru hareket ediyor. Araçların hızları sırasıyla 70 km/sa ve 90 km/sa ise kaç saat sonra karşılaşırlar?

Çözüm:

• Zıt yön: $480 = (70 + 90) \cdot t \Rightarrow 480 = 160t \Rightarrow t = 3$
• Cevap: 3 saat

Soru 4: Bir araç, bir yolu 80 km/sa hızla 4 saatte alıyor. Aynı yolu 5 saatte almak için hızını kaç km/sa azaltmalıdır?

Çözüm:

• Yol: $80 \cdot 4 = 320$ km
• Yeni hız: $320 / 5 = 64$ km/sa
• Azalma: $80 - 64 = 16$ km/sa
• Cevap: 16 km/sa

 ⚠️ Sık Yapılan Hatalar

 🔴Değişken atarken birimi belirtmemek: "Bir sayı" yerine "x TL", "x kg" gibi birimlerle ifade edin.

 🔴Yaş farkının sabit olduğunu unutmak: İki kişi arasındaki yaş farkı hiç değişmez, denklem kurarken bunu kullanın.

 🔴İşçi problemlerinde 1/x toplamını yanlış yapmak: Paydaları toplayıp direkt tersini almak (örneğin 1/10+1/15=25/150 gibi) değil, payda eşitleyip toplamak.

 🔴Kâr-zararda kârın maliyet mi yoksa satış mı üzerinden olduğunu karıştırmak: Kâr/Zarar maliyet fiyatı üzerinden, indirim/zam satış fiyatı üzerinden hesaplanır.

 🔴Karışımda su eklerken saf madde miktarının değişmediğini unutmak: Tuz veya şeker miktarı sabittir; sadece toplam karışım miktarı değişir.

 🔴Hareket problemlerinde yönü yanlış belirlemek: Zıt yönde hareket edenlerin hızları toplanır, aynı yönde gidenlerin hızları farkı alınır.