12. Rasyonel Sayılarda İşlemler

 1.12 Rasyonel Sayılarda İşlemler

 🎯Kazanımlar

Bu bölümü tamamladığında:

• Rasyonel sayılarda toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini doğru sırayla yapabilecek,
• Sadeleştirme ve ortak payda bulma gibi işlem kolaylıklarını kullanabilecek,
• Pozitif ve negatif rasyonel sayıları büyüklüklerine göre sıralayabileceksin.

 📖Konu Anlatımı

 Toplama ve Çıkarma İşlemi

Paydaları farklı iki kesri toplamak veya çıkarmak için önce bu kesirleri ortak bir paydada buluşturmak gerekir, çünkü farklı büyüklükteki dilimler doğrudan toplanamaz. Bu ortak paydayı seçerken paydaların EKOK'unu almak, sayıları gereksiz yere büyütmeden en küçük ortak zemini bulmayı sağlar:

$$\dfrac{a}{b} \pm \dfrac{c}{d} = \dfrac{a\cdot d \pm b\cdot c}{b\cdot d}$$

 Çarpma İşlemi

İki kesri çarparken paylar kendi aralarında, paydalar kendi aralarında birleşir, sonucun payı iki payın çarpımı, paydası iki paydanın çarpımıdır:

$$\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d} = \dfrac{a\cdot c}{b\cdot d}$$

Çarpmaya başlamadan önce varsa tam sayılı kesirleri bileşik kesre çevirmek gerekir; aksi hâlde formül doğrudan uygulanamaz. Ayrıca büyük sayılarla uğraşmamak için, çarpma işleminden önce (aynı taraftaki veya çapraz) ortak çarpanları sadeleştirmek işlemi hızlandırır.

 Bölme İşlemi

Bir kesri başka bir kesre bölmek, aslında o kesrin tersiyle çarpmakla aynı şeydir. Bunun nedenini şöyle görebiliriz: $\dfrac{c}{d}$ kesrini kendi tersi $\dfrac{d}{c}$ ile çarparsak $\dfrac{c}{d}\cdot\dfrac{d}{c}=1$ elde ederiz, yani bir kesri tersiyle çarpmak, o kesri "etkisiz hâle getirir". Bu yüzden $\dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d}$ işleminde, bölen kesrin etkisini iptal edip onun yerine payda tarafına taşımak için bölen tersine çevrilip çarpılır:

$$\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{d}{c} = \dfrac{a\cdot d}{b\cdot c}$$

Bölünen kesir (birinci kesir) bu işlemden etkilenmez, olduğu gibi kalır, yalnızca bölen (ikinci kesir) ters çevrilir. Bölme işleminden önce de, çarpmada olduğu gibi, tam sayılı kesirler bileşik kesre çevrilmelidir.

 Rasyonel Sayılarda Sıralama

İki kesri karşılaştırmanın en pratik yolu, ortak bir referans yakalamaktır:

• Paydalar aynıysa, kesirler eşit büyüklükteki dilimlere bölünmüş demektir; bu durumda kimin payı fazlaysa o kesir daha büyüktür.
• Paylar aynıysa, aynı sayıda dilim söz konusudur; paydası küçük olan kesirde her dilim daha büyük olduğundan, paydası küçük olan kesir daha büyüktür.
• Ne pay ne payda eşit ama aradaki fark eşitse, kesri $1$'e göre konumlandırmak yardımcı olur: basit kesirlerde ($pay<payda$) payı büyük olan $1$'e daha yakındır ve daha büyüktür; bileşik kesirlerde ($pay>payda$) ise tam tersine payı küçük olan $1$'e daha yakındır ve daha büyüktür.
• Negatif kesirlerde önce mutlak değerlere göre (pozitifmiş gibi) sıralama yapılır, sonra bu sıralama baştan sona tersine çevrilir, çünkü sıfırdan uzaklaştıkça negatif bir sayının değeri küçülür.

 Ardışık Sayılarla Kurulan Oranlarda Sıralama

$a,b,c,d$ pozitif ardışık tam sayılar ve $a<b<c<d$ olmak üzere:

$$\dfrac{b}{a} > \dfrac{c}{b} > \dfrac{d}{c}$$

Bu bağıntının nedeni: ardışık iki sayının oranı $\dfrac{n+1}{n} = 1+\dfrac{1}{n}$ biçiminde yazılabilir. $n$ büyüdükçe $\dfrac{1}{n}$ küçüleceğinden, taban büyüdükçe bu tür ardışık oranlar küçülür — yani sıralama artan değil azalandır.

 ✏️ Örnekler

Örnek 1: $\dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{4}$ işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm: Paydaların EKOK'u $20$'dir.

$$\dfrac{2}{5} = \dfrac{8}{20} \qquad \dfrac{3}{4} = \dfrac{15}{20}$$

$$\dfrac{8}{20}+\dfrac{15}{20} = \dfrac{23}{20}$$

Örnek 2: $\dfrac{7}{9} - \dfrac{5}{6}$ işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm: Paydaların EKOK'u $18$'dir.

$$\dfrac{7}{9}=\dfrac{14}{18} \qquad \dfrac{5}{6}=\dfrac{15}{18}$$

$$\dfrac{14}{18}-\dfrac{15}{18} = -\dfrac{1}{18}$$

Örnek 3: $\dfrac{4}{15}\cdot\dfrac{25}{8}$ işleminin sonucunu, sadeleştirme kullanarak bulunuz.

Çözüm: Çarpmadan önce çapraz sadeleştirme yapılır: $4$ ile $8$ sadeleşir ($1$ ve $2$ kalır), $15$ ile $25$ sadeleşir ($3$ ve $5$ kalır):

$$\dfrac{4}{15}\cdot\dfrac{25}{8} = \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{5}{2} = \dfrac{5}{6}$$

Örnek 4: $2\dfrac{1}{3} \div 1\dfrac{2}{5}$ işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm: Önce bileşik kesre çevrilir:

$$2\dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{3} \qquad 1\dfrac{2}{5} = \dfrac{7}{5}$$

Bölme, ikinci kesrin tersiyle çarpmaya dönüştürülür:

$$\dfrac{7}{3}\div\dfrac{7}{5} = \dfrac{7}{3}\cdot\dfrac{5}{7} = \dfrac{5}{3}$$

Örnek 5: $\dfrac{5}{7}$, $\dfrac{5}{9}$ ve $\dfrac{5}{4}$ kesirlerini küçükten büyüğe sıralayınız.

Çözüm: Üç kesrin de payı eşit ($5$) olduğundan, sıralama kuralı gereği paydası büyük olan kesir daha küçüktür:

$$\dfrac{5}{9} < \dfrac{5}{7} < \dfrac{5}{4}$$

Örnek 6: $-\dfrac{3}{8}$ ve $-\dfrac{2}{5}$ kesirlerinden hangisi daha büyüktür?

Çözüm: Önce mutlak değerlerini pozitifmiş gibi karşılaştıralım. Paydaların EKOK'u $40$:

$$\dfrac{3}{8}=\dfrac{15}{40} \qquad \dfrac{2}{5}=\dfrac{16}{40}$$

Pozitif hâlde $\dfrac{2}{5} > \dfrac{3}{8}$'dir. Negatif işaretlerine dönüldüğünde sıralama tersine döner:

$$-\dfrac{3}{8} > -\dfrac{2}{5}$$

($-\dfrac{3}{8}$ daha büyüktür, çünkü sıfıra daha yakındır.)

Örnek 7: $a=6, b=7, c=8, d=9$ ardışık pozitif tam sayıları için $\dfrac{b}{a}$, $\dfrac{c}{b}$, $\dfrac{d}{c}$ değerlerini hesaplayıp sıralamanın kuralla uyumlu olduğunu gösteriniz.

Çözüm:

$$\dfrac{b}{a}=\dfrac{7}{6}\approx1{,}1\overline{6} \qquad \dfrac{c}{b}=\dfrac{8}{7}\approx1{,}142\overline{857} \qquad \dfrac{d}{c}=\dfrac{9}{8}=1{,}125$$

Sayısal değerler karşılaştırıldığında:

$$\dfrac{b}{a} > \dfrac{c}{b} > \dfrac{d}{c}$$

elde edilir; bu da kuralla (azalan sıralama) birebir uyumludur.

Örnek 8: $\left[\left(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{6}\right)\div\dfrac{5}{4}\right]\cdot\dfrac{15}{8}$ işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm: Parantez içi işlem, paydalar $6$'da eşitlenerek yapılır:

$$\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{6} = \dfrac{4}{6}-\dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$$

Bölme işlemi çarpmaya çevrilir:

$$\dfrac{1}{2}\div\dfrac{5}{4} = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{4}{5} = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}$$

Son çarpma işlemi, sadeleştirme ile yapılır ($5$ ile $15$ sadeleşir, $2$ ile $8$ sadeleşir):

$$\dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{15}{8} = \dfrac{1}{1}\cdot\dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{4}$$

 ⚠️ Sık Yapılan Hatalar

 🔴Ardışık sayı oranlarında sıralama yönünü tersine almak: $\dfrac{b}{a}<\dfrac{c}{b}<\dfrac{d}{c}$ biçiminde artan bir sıralama olduğu düşünülmemelidir; doğrusu azalan yöndedir (bkz. Konu Anlatımı ve Örnek 7).

 🔴Negatif kesirleri sıralarken işareti eklemeyi unutmak: Mutlak değerlere göre yapılan sıralama, işaretler eklenmeden önce mutlaka ters çevrilmelidir — aksi hâlde sonuç yanlış çıkar (bkz. Örnek 6).

 🟡Bölme işleminde birinci kesri de ters çevirmek: Yalnızca ikinci kesrin (bölen kesrin) payı ve paydası yer değiştirilir; birinci kesir aynen kalır.

 🟡Tam sayılı kesirlerle doğrudan işlem yapmaya çalışmak: Çarpma ve bölme işlemlerinden önce tam sayılı kesirler mutlaka bileşik kesre çevrilmelidir; aksi hâlde formüller doğrudan uygulanamaz.