5. Küme Problemleri

 5. KÜME PROBLEMLERİ VE MODELLEME TEKNİKLERİ

 🎯Kazanımlar

Bu bölümü tamamladığında;

• Gerçek yaşam sözel problemlerini Venn şeması bölgelerine aktarabileceksin,
• Sözel ifadelerdeki nitelendirmeleri ("en çok", "en az", "sadece") matematiksel küme bölgeleriyle eşleştirebileceksin,
• Ayrık nitelikli (kız/erkek, gözlüklü/gözlüksüz vb.) durumlarda Matris Tablo Modelini sorunsuz kurabileceksin.

 📖Konu Anlatımı

 1. Venn Şeması İle Sözel Modelleme

Bir grupta incelenen iki farklı etkinlik/özellik için küme bölgeleri harflendirilir:

• $A$ etkinliğini yapanlar $\rightarrow$ $(a + b)$
• $B$ etkinliğini yapanlar $\rightarrow$ $(b + c)$
• Dışarıda kalanlar (Hiç yapmayanlar) $\rightarrow$ $d$
• Grubun genel toplamı $\rightarrow$ $(a + b + c + d)$

 🔑 Sözel Kavramların Bölge Karşılıkları

• "Yalnız / Sadece A yapanlar": $a$ bölgesi ($A \setminus B$)
• "İki etkinliği de birlikte yapanlar": $b$ bölgesi ($A \cap B$)
• "En az bir etkinliği yapanlar": $a + b + c$ (Hiç yapmayan $d$ dışındakiler)
• "En çok bir etkinliği yapanlar": $a + c + d$ (İkisini aynı anda yapan $b$ dışındakiler)
• "Sadece bir etkinlik yapanlar": $a + c$

 2. İki Boyutlu Matris Tablo Yöntemi

Gruptaki ögeler birbiriyle çakışması mümkün olmayan iki zıt kritere ayrılıyorsa (örneğin: Kız / Erkek ve Gözlüklü / Gözlüksüz), tablo yöntemi kullanılır.

 ✏️Çözümlü Örnekler

 Örnek 1 (Venn Modellemesi)

43 kişilik bir grupta herkes A veya B kurslarından en az birine katılmaktadır.  

A kursuna katılanların sayısı, B kursuna katılanların sayısının 3 katıdır.  

Her iki kursa katılan 5 kişi olduğuna göre, sadece A kursuna katılan kaç kişi vardır?

Çözüm:  

Hiçbirine katılmayan yok ($d = 0$).  

Kesişim $b = 5$.  

Sadece B kursuna katılanlar $c = x$ olsun.  

B kursuna katılan toplam kişi = $5 + x$.  

A kursuna katılanlar B'nin 3 katı olduğuna göre:  

$$s(A) = 3(5 + x) = 15 + 3x$$

Grubun tamamı $s(A \cup B) = 43$:  

$$s(A) + s(B) - s(A \cap B) = 43$$  

$$(15 + 3x) + (5 + x) - 5 = 43$$  

$$15 + 4x = 43 \implies 4x = 28 \implies x = 7$$

$x = 7$ (Sadece B'ye katılanlar).  

A'ya katılan toplam kişi $s(A) = 15 + 3(7) = 36$.  

Sadece A'ya katılanlar = $s(A) - s(A \cap B) = 36 - 5 = 31$.  

Cevap: 31.

 Örnek 2 (Tablo Modellemesi)

Bir sınıftaki öğrencilerle ilgili:  

- Gözlüksüz erkek sayısı 4'tür.  

- Gözlüklü kız sayısı, gözlüksüz kız sayısının 2 katıdır.  

- Gözlüklü erkek sayısı, gözlüksüz kız sayısının 3 katıdır.  

- Gözlüksüz veya erkek öğrenci sayısı 24'tür.  

Buna göre sınıf mevcudu kaçtır?

Çözüm:  

Gözlüksüz kız öğrenci sayısına $x$ diyelim.

"Gözlüksüz VEYA erkek olan öğrenci sayısı = 24" koşulu:  

(Gözlüksüz kızlar + Gözlüksüz erkekler + Gözlüklü erkekler = 24)  

$$x + 4 + 3x = 24$$  

$$4x + 4 = 24 \implies 4x = 20 \implies x = 5$$

$x = 5$ değerini tablodaki hücrelerde yerine koyalım:  

- Gözlüklü kız = $2(5) = 10$  

- Gözlüksüz kız = $5$  

- Gözlüklü erkek = $3(5) = 15$  

- Gözlüksüz erkek = $4$  

Sınıf mevcudu = $10 + 5 + 15 + 4 = 34$.  

Cevap: 34.

 Örnek 3 (Dışarıda Kalanlar / Hiç Dili Bilmeyenler)

30 kişilik bir kafilede 18 kişi Türkçe, 14 kişi İngilizce konuşabilmektedir. 5 kişi ise bu iki dili de konuşamamaktadır.  

Buna göre her iki dili de konuşabilen kaç kişi vardır?

Çözüm:  

- Genel Toplam ($s(E)$) = 30  

- Dili konuşamayanlar ($d$) = 5  

- En az bir dili konuşanlar ($s(T \cup I)$) = $30 - 5 = 25$ kişi.  

Birleşim eleman sayısı formülünü uygulayalım:  

$$s(T \cup I) = s(T) + s(I) - s(T \cap I)$$  

$$25 = 18 + 14 - s(T \cap I)$$  

$$25 = 32 - s(T \cap I) \implies s(T \cap I) = 7$$  

Cevap: 7.

 Örnek 4 ("En Az Bir" ve "En Çok Bir" Koşulu)

40 kişilik bir grupta çay veya kahve ikram edilmektedir.  

- En az bir içecek alan 32 kişi,  

- En çok bir içecek alan 35 kişi vardır.  

Buna göre hiç içecek almayan ve her iki içeceği de alan kaç kişi vardır?

Çözüm:  

Bölgeler: Sadece çay ($a$), İkisi de ($b$), Sadece kahve ($c$), Hiçbiri ($d$).  

Genel Toplam: $a + b + c + d = 40$.  

- "En az bir" $\rightarrow a + b + c = 32$.  

  Buradan hiç almayanlar: $d = 40 - 32 = 8$ bulunur.  

- "En çok bir" $\rightarrow a + c + d = 35$.  

  $d = 8$ olduğuna göre $a + c + 8 = 35 \implies a + c = 27$ (Sadece bir içecek alanlar).  

Her iki içeceği de alanlar ($b$):  

$$a + b + c + d = 40 \implies 27 + b + 8 = 40 \implies 35 + b = 40 \implies b = 5$$  

Cevap: Hiç almayan 8 kişi, İkisini de alan 5 kişidir.

 Örnek 5 (Yüzdeli Küme Problemi - ÖSYM Tarzı)

Bir sitedeki dairelerin %70'inde kedi, %50'sinde köpek beslenmektedir.  

Her dairede en az bir evcil hayvan beslendiğine göre, hem kedi hem köpek beslenen dairelerin oranı yüzde kaçtır?

Çözüm:  

Sitedeki toplam daire sayısını %100 kabul edelim. Hiç beslemeyen yok ($d = 0$).  

• $s(K \cup P) = 100$  
  • $s(K) = 70$  
  • $s(P) = 50$  

Birleşim formülü:  

$$s(K \cup P) = s(K) + s(P) - s(K \cap P)$$  

$$100 = 70 + 50 - s(K \cap P)$$  

$$100 = 120 - s(K \cap P) \implies s(K \cap P) = 20$$  

Cevap: Dairelerin %20'sinde hem kedi hem köpek beslenmektedir.

 Örnek 6 (Üçlü Küme Problemi)

Futbol, basketbol ve voleybol sporlarının yapıldığı bir kulüpte herkes en az bir spor yapmaktadır.  

- Sadece bir sporu yapanlar toplam 18 kişi,  

- Yalnız iki sporu yapanlar toplam 9 kişi,  

- Her üç sporu da yapanlar 4 kişidir.  

Buna göre bu kulüpte toplam kaç sporcu vardır?

Çözüm:  

Üçlü Venn şeması bölgeleri:  

- Tek bölge alanları (sadece bir spor): $a + c + e = 18$  

- Çift bölge kesişimleri (yalnız iki spor): $x + y + z = 9$  

- Merkez kesişim (üç spor birden): 4  

Kulüpteki toplam kişi sayısı tüm bölgelerin toplamıdır:  

$$\text{Toplam} = (a + c + e) + (x + y + z) + \text{Merkez}$$  

$$\text{Toplam} = 18 + 9 + 4 = 31$$  

Cevap: 31.

 Örnek 7 (Yüzdeli Tablo Problemi)

Bir sınıftaki öğrencilerin %60'ı kızdır. Kız öğrencilerin %20'si, erkek öğrencilerin ise %50'si gözlüklüdür.  

Sınıfta gözlüksüz olan 34 öğrenci olduğuna göre sınıf mevcudu kaçtır?

Çözüm:  

Sınıf mevcuduna $100x$ diyelim.  

- Kız sayısı = $60x$  

- Erkek sayısı = $40x$  

Gözlük dağılımı:  

- Gözlüklü Kız = $60x \cdot \frac{20}{100} = 12x \implies$ Gözlüksüz Kız = $60x - 12x = 48x$  

- Gözlüklü Erkek = $40x \cdot \frac{50}{100} = 20x \implies$ Gözlüksüz Erkek = $40x - 20x = 20x$  

Gözlüksüz toplam öğrenci sayısı = $48x + 20x = 68x$.  

$$68x = 34 \implies x = \frac{34}{68} = \frac{1}{2}$$  

Sınıf mevcudu ($100x$) = $100 \cdot \frac{1}{2} = 50$.  

Cevap: 50.

 Örnek 8 (Denklemli Venn Modellemesi)

A ve B gazetelerinden en az birini okuyanların bulunduğu 42 kişilik bir grupta:  

- Sadece A gazetesini okuyanların sayısı, her iki gazeteyi okuyanların sayısının 3 katıdır.  

- Sadece B gazetesini okuyanların sayısı, her iki gazeteyi okuyanların sayısının 2 katıdır.  

Buna göre A gazetesini okuyan toplam kaç kişi vardır?

Çözüm:  

Kesişim bölgesine (her iki gazeteyi okuyanlara) $x$ diyelim ($b = x$).  

- Sadece A okuyanlar ($a$) = $3x$  

- Sadece B okuyanlar ($c$) = $2x$  

Hiç okumayan yok ($d = 0$).  

Toplam kişi sayısı = $a + b + c = 42$  

$$3x + x + 2x = 42 \implies 6x = 42 \implies x = 7$$  

A gazetesini okuyan toplam kişi ($a + b$):  

$$3x + x = 4x = 4(7) = 28$$  

Cevap: 28.

 ⚠️ Sık Yapılan Hatalar & ÖSYM Tuzakları

- ❌ Hata: "En çok bir" kalıbında hiç katılmayanları ($d$) hesaba katmamak.  

  ✅ Doğru: "En çok 1" demek 0 veya 1 demektir. Hiç katılmayanlar ($d$) mutlaka eklenmelidir.