5. Ortak Çarpan Parantezine Alma Ve Gruplandırma
5. ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALMA VE GRUPLANDIRMA
🎯Kazanımlar
Bu bölümü tamamladığında;
- Polinom terimlerindeki katsayıların EBOB'unu ve değişkenlerin en küçük üslülerini bularak ortak çarpan parantezine alabileceksin,
- Parantezli ifadelerin kendisinin ortak çarpan olduğu durumları tanıyan ve dışarı çekebileceksin,
- Zıt işaretli parantezli ifadelerde ($y - x = -(x - y)$) işaret dönüşümünü doğru uygulayabileceksin,
- 4 veya daha fazla terimli ifadelerde ikili/üçlü gruplandırma yöntemini kullanarak çarpanlara ayırabileceksin,
- Gruplandırma sonrasında oluşan iki kare farkı vb. ikincil çarpanları en sade hale getirebileceksin.
📖Konu Anlatımı
5.1. Ortak Çarpan Parantezine Alma
Bir polinomun her bir teriminde ortak olarak bulunan sayı, değişken veya parantezli ifadenin (EBOB'ünün) dışarı alınarak çarpım biçiminde yazılmasıdır.
$a \cdot x + a \cdot y - a \cdot z = \mathbf{a \cdot (x + y - z)}$
$6x^4 - 9x^3 + 3x^2 = \mathbf{3x^2 \cdot (2x^2 - 3x + 1)}$
5.2. Gruplandırma Yöntemi
Polinomun tüm terimlerinde aynı anda ortak bir çarpan bulunmuyorsa, terimler ikişerli, üçerli gibi gruplara ayrılarak her grup kendi içinde ortak çarpan parantezine alınır. Ardından ortak çıkan yeni grup parantezine geçilir.
$ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = \mathbf{(x + y)(a + b)}$
✏️Çözümlü Örnekler
Örnek 1
$15x^4 - 25x^3 + 10x^2$
ifadesini ortak çarpan parantezine alarak çarpanlarına ayırınız.
Çözüm:
1. Katsayıların (15, 25, 10) EBOB'u: 5.
2. Değişkenlerin ($x^4, x^3, x^2$) en küçük üslüsü: $x^2$.
3. Ortak çarpan: $5x^2$.
$15x^4 - 25x^3 + 10x^2 = \mathbf{5x^2 \cdot (3x^2 - 5x + 2)}$
Örnek 2
$x^4 y^2 - x^3 y^3 + x^2 y^4$
ifadesini çarpanlarına ayırınız.
Çözüm:
$x$'in en küçük üssü: $x^2$.
$y$'nin en küçük üssü: $y^2$.
Ortak çarpan: $x^2 y^2$.
$x^4 y^2 - x^3 y^3 + x^2 y^4 = \mathbf{x^2 y^2 \cdot (x^2 - xy + y^2)}$
Örnek 3
$5m(a + b) - 3n(a + b)$
ifadesini çarpanlarına ayırınız.
Çözüm:
Her iki terimde de ortak olan parantezli ifade $(a + b)$'dir.
$5m(a + b) - 3n(a + b) = \mathbf{(a + b) \cdot (5m - 3n)}$
Örnek 4
$a(x - y) + b(y - x)$
ifadesini çarpanlarına ayırınız.
Çözüm:
$(y - x) = -(x - y)$ eşitliğini kullanalım.
İkinci terim: $b(y - x) = -b(x - y)$ haline gelir.
İfade: $a(x - y) - b(x - y)$
Ortak $(x - y)$ parantezine alalım:
$\mathbf{(x - y)(a - b)}$
Örnek 5
$3ax + 5bx + 3ay + 5by$
ifadesini gruplandırarak çarpanlarına ayırınız.
Çözüm:
İlk iki terimi $x$, son iki terimi $y$ parantezine alalım:
$x(3a + 5b) + y(3a + 5b)$
Şimdi ortak olan $(3a + 5b)$ parantezine alalım:
$\mathbf{(3a + 5b)(x + y)}$
Örnek 6 (🟡 Orta - Küplü ve Kareli Gruplandırma):
$x^3 - x^2 y - xy^2 + y^3$
ifadesini en sade çarpanlarına ayırınız.
Çözüm:
1. İlk iki terimi $x^2$, son iki terimi $-y^2$ parantezine alalım:
$x^2(x - y) - y^2(x - y)$
2. Ortak $(x - y)$ parantezine alalım:
$(x - y)(x^2 - y^2)$
3. $x^2 - y^2$ iki kare farkı olduğundan açalım:
$(x - y)(x - y)(x + y) = \mathbf{(x - y)^2 (x + y)}$
Örnek 7
$ax + bx + cx + ay + by + cy$
ifadesini gruplandırarak çarpanlarına ayırınız.
Çözüm:
İlk 3 terimi $x$, son 3 terimi $y$ parantezine alalım:
$x(a + b + c) + y(a + b + c)$
Ortak $(a + b + c)$ parantezine alalım:
$\mathbf{(a + b + c)(x + y)}$
Örnek 8
$x^3 + 4x^2 - 9x – 36$
ifadesini en sade çarpanlarına ayırınız.
Çözüm:
1. İlk iki terim ve son iki terimi gruplandıralım:
$(x^3 + 4x^2) - (9x + 36)$
2. Grupları paranteze alalım:
Birinci grup $x^2$ parantezine: $x^2(x + 4)$
İkinci grup $9$ parantezine: $-9(x + 4)$
3. Ortak olan $(x + 4)$ parantezine alalım:
$(x + 4)(x^2 - 9)$
4. $x^2 - 9$ terimi iki kare farkı ($x^2 - 3^2$) olduğundan daha da açılır:
$\mathbf{(x + 4)(x - 3)(x + 3)}$
⚠️Sık Yapılan Hatalar
🔴Katsayılarda EBOB Yerine Herhangi Bir Bölen Parantezine Almak: $12x^3 - 18x^2 + 6x$ ifadesinde $2x$ veya $3x$ parantezine alıp bırakmak tam çarpanlarına ayırma değildir; katsayıların en büyük ortak böleni ($6x$) dışarı çekilmelidir.
🔴Zıt İşaretli İfadelerdeki Eksi İşaretini Karıştırmak: $(y - x) = -(x - y)$ dönüşümünü yaparken ortadaki arayüz işaretini değiştirmeyi unutmak.
🔴Çarpanlara Ayırmayı Yarıda Bırakmak: $(x+4)(x^2-9)$ aşamasına gelip $x^2-9$ iki kare farkını $(x-3)(x+3)$ olarak açmamak (ÖSYM şıklarında her zaman en sade hali yer alır).
🔴Gruplandırmada İki Gruba da Farklı Parantezler Çıktığında Zorlamak: Birinci gruptan $(2a+3b)$, ikinci gruptan $(2a-3b)$ çıkmışsa henüz ortak parantez aşamasına geçilemez; terim gruplandırma eşleşmesi değiştirilmelidir.
Alıştırma Soruları
Bu konuyu ne kadar öğrendiğini test et!