1. Önermeler
1. Önermeler
🎯Kazanımlar
Bu bölümü tamamladığında;
- Önerme kavramını tanımlayabilecek ve verilen bir ifadenin önerme olup olmadığına kesin olarak karar verebilecek,
- Bir önermenin doğruluk değerini ($1$ veya $0$) belirleyebilecek ve doğruluk değerini matematiksel olarak ifade edebilecek,
- Denk (eşdeğer) önermeleri kavrayıp gösterimini ($p \equiv q$) kullanabilecek,
- Bir önermenin değilini (olumsuzunu) oluşturup çift değil kuralını ($(p')' \equiv p$) uygulayabilecek,
- $n$ tane önermenin $2^n$ tane olası doğruluk durumu olduğunu kavrayacak ve $1, 2, 3$ değişkenli doğruluk tablolarını hatasız çizebileceksin.
📖Konu Anlatımı
1. Önerme Kavramı ve Tanımı
Matematiksel mantığın en temel yapı taşı önermedir.
Tanım
Doğruluğu ya da yanlışlığı net bir şekilde saptanabilen, kesin bir yargı (hüküm) bildiren ifadelere önerme adı verilir. Önermeler matematiksel sembolizmde genellikle $p, q, r, s, t$ gibi küçük harflerle gösterilir.
⚠️En Kritik Kural: Bir ifadenin önerme olabilmesi için doğru ya da yanlış bir değer alması şarttır. Ancak ifadenin doğru mu yoksa yanlış mı olduğu kişiden kişiye değişmemeli, göreceli (öznel) olmamalıdır!
Önerme Olan ve Olmayan İfadeler
İfade | Türü | Doğruluk Durumu | Açıklama |
"Türkiye'nin başkenti Ankara'dır." | Önerme | Doğru (1) | Kesin bir coğrafi yargı bildirir. |
"En küçük asal sayı 2'dir." | Önerme | Doğru (1) | Kesin matematiksel bilgidir. |
"$7 + 5 = 10$" | Önerme | Yanlış (0) | Yanlış olsa da kesin bir matematiksel hükümdür. |
"Düzgün altıgenin iç açıları toplamı 720°'dir." | Önerme | Doğru (1) | Geometrik bir teoremdir. |
"Bugün hava çok güzel!" | Önerme Değil | - | Öznel (göreceli) bir duygusal ifadedir. |
"Lütfen kapıyı kapatır mısın?" | Önerme Değil | - | Rica / Soru cümlesidir. |
"Ödevlerini zamanında yap!" | Önerme Değil | - | Emir cümlesidir. |
"Yaşasın, sınavdan 100 aldım!" | Önerme Değil | - | Ünlem / Sevinç cümlesidir. |
"x + 4 = 9" | Önerme Değil | - | $x$'e bağlıdır (Açık önermedir, 5. bölümde işlenecektir). |
2. Bir Önermenin Doğruluk Değeri
Bir önerme doğru ise Doğru (D) veya 1 değeri alır. Yanlış ise Yanlış (Y) veya 0 değeri alır.
- $p$ önermesi doğru bir önerme ise: $p \equiv 1$ ("$p$ denktir 1" şeklinde okunur).
- $q$ önermesi yanlış bir önerme ise: $q \equiv 0$ ("$q$ denktir 0" şeklinde okunur).
3. Denk (Eşdeğer) Önermeler
Doğruluk değerleri birbiriyle birebir aynı olan önermelere denk önermeler denir.
- $p$ ile $q$ önermeleri denk ise: $p \equiv q$
- $p$ ile $q$ önermeleri denk değil ise: $p \not\equiv q$
Örnek:
- $p$: "Karesi 9 olan pozitif tam sayı 3'tür." ($p \equiv 1$)
- $q$: "En küçük çift asal sayı 2'dir." ($q \equiv 1$)
- Buradan $p$ ile $q$'nun doğruluk değerleri aynı olduğundan $p \equiv q$ yazılır.
4. Bir Önermenin Değili (Olumsuzu)
Bir önermenin bildirdiği hükmün olumsuz yapılmasıyla elde edilen yeni önermeye ilk önermenin değili (olumsuzu) denir.
- $p$ önermesinin değili $p'$ veya $\sim p$ sembolü ile gösterilir.
- $p \equiv 1$ ise $p' \equiv 0$ olur.
- $p \equiv 0$ ise $p' \equiv 1$ olur.
🔹 Çift Değil (Olumsuzun Olumsuzu) Kuralı
Bir önermenin değilinin değili, önermenin kendisine denktir:
$$(p')' \equiv p$$
5. Doğruluk Tablosu ve $2^n$ Kuralı
Önermelerin alabileceği tüm olası doğruluk durumlarının sistematik olarak gösterildiği ızgara yapısına doğruluk tablosu denir.
$2^n$ Kuralı
Birbirinden bağımsız (ayrık) $n$ tane önermenin birbiriyle oluşturabileceği tüm olası doğruluk durumlarının sayısı $2^n$ formülü ile bulunur.
- 1 Önerme için ($2^1 = 2$ durum):
$p$ |
1 |
0 |
- 2 Önerme için ($2^2 = 4$ durum):
$p$ | $q$ |
1 | 1 |
1 | 0 |
0 | 1 |
0 | 0 |
- 3 Önerme için ($2^3 = 8$ durum):
$p$ | $q$ | $r$ |
1 | 1 | 1 |
1 | 1 | 0 |
1 | 0 | 1 |
1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 |
0 | 1 | 0 |
0 | 0 | 1 |
0 | 0 | 0 |
💡Pratik Tablo Çizme Tüyosu: $n=3$ için 8 satır vardır. İlk sütuna ($p$) 4 tane 1, 4 tane 0 yazılır. İkinci sütuna ($q$) ikişerli (2 tane 1, 2 tane 0, 2 tane 1, 2 tane 0) yazılır. Üçüncü sütuna ($r$) ise birerli (1, 0, 1, 0...) yazılır. Böylece hiçbir durum atlanmaz!
✏️Çözümlü Örnekler
Örnek 1 (Önerme Tanıma)
Soru: Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir önermedir? Önerme olanların doğruluk değerlerini belirtiniz.
a) "2024 yılı bir artık yıldır."
b) "İki basamaklı en büyük negatif tam sayı -10'dur."
c) "Yarın akşam sinemaya gidelim mi?"
d) "3x - 5 = 10"
Çözüm:
- a) Kesin bir takvim yargısıdır $\rightarrow$ Önermedir ($1$).
- b) Kesin matematiksel ifadedir. En büyük iki basamaklı negatif tam sayı -10'dur $\rightarrow$ Önermedir ($1$).
- c) Soru cümlesidir, kesin yargı bildirmez $\rightarrow$ Önerme Değildir.
- d) Değişkene ($x$) bağlıdır, $x$ bilinmeden doğruluk değeri belirlenemez $\rightarrow$ Önerme Değildir (Açık önermedir).
Örnek 2 (Doğruluk Değeri ve Denk Önermeler)
Soru:
- $p$: "Üçgenin dış açıları toplamı 360°'dir."
- $q$: "En küçük doğal sayı 1'dir."
- $r$: "$\sqrt{16} = -4$'tür."
Önermelerinin doğruluk değerlerini bulunuz ve denk olan önermeleri yazınız.
Çözüm:
- $p$ önermesi doğru bir geometrik bilgidir $\Rightarrow p \equiv 1$.
- En küçük doğal sayı 0'dır, 1 değildir $\Rightarrow q \equiv 0$.
- Karekökün sonucu negatif olamaz ($\sqrt{16} = 4$) $\Rightarrow r \equiv 0$.
- Doğruluk değerleri eşit olanlar denk olduğundan: $q \equiv r$ ve $p \not\equiv q$ elde edilir.
Örnek 3 (Doğruluk Durum Sayısı Hesaplama)
Soru: Birbirinden bağımsız $(n + 2)$ tane önermenin doğruluk durumu sayısı 64 olduğuna göre, $n$ kaçtır?
Çözüm:
- Doğruluk durumu formülü $2^{\text{önerme sayısı}}$ şeklindedir.
- Önerme sayısı: $n + 2$
- $2^{n+2} = 64$
- $64 = 2^6$ olduğundan, üsler eşitlenir:
$$n + 2 = 6 \Rightarrow n = 4$$
- Cevap: $n = 4$
Örnek 4 (Önermenin Değilini Alma)
Soru: $p$: "5 + 3 > 7" önermesinin değilini ($p'$) yazınız ve doğruluk değerlerini inceleyiniz.
Çözüm:
- $p$ önermesi: "5 + 3 > 7" ($8 > 7$ olduğu için $p \equiv 1$).
- Değil alınırken karşılaştırma sembolünün değili alınır ($>$ sembolünün değili $\le$'dir).
- $p'$ önermesi: "5 + 3 $\le$ 7"
- $8 \le 7$ ifadesi yanlış olduğundan $p' \equiv 0$ olur.
- Kontrol: $p \equiv 1$ iken $p' \equiv 0$ olup kural doğrulanmıştır.
⚠️Sık Yapılan Hatalar
🔴Yanlış hükümleri önerme saymamak: "2 + 2 = 5" gibi yanlış ifadeler de kesin bir yargı bildirdiği için bal gibi önermedir! Doğruluk değeri sadece 0'dır.
🔴Açık önermeleri standart önerme ile karıştırmak: İçinde $x, y$ gibi değeri verilmeyen değişken bulunan eşitlikler (örn: $x+2=5$) değişken değeri belli olana kadar önerme kabul edilmez.
🔴Sembol olumsuzlarında hata yapmak: $>$ sembolünün değili sadece $<$ değildir, $\le$ (küçük veya eşit) sembolüdür!
Alıştırma Soruları
Bu konuyu ne kadar öğrendiğini test et!