3. Koşullu Önerme
3. Koşullu Önerme ("ise" Bağlacı) (Özgün ve Detaylı Ders Notu)
🎯Kazanımlar
Bu bölümü tamamladığında;
- Koşullu önerme kavramını tanımlayabilecek ve "ise" ($\Rightarrow$) bağlacının doğruluk kuralını kavrayabilecek,
- $p \Rightarrow q \equiv p' \lor q$ denklik dönüşümünü mantıksal sadeleştirmelerde kullanabilecek,
- Bir koşullu önermenin olumsuzunu (değilini) $(p \Rightarrow q)' \equiv p \land q'$ biçiminde yazabilecek,
- Bir koşullu önermenin karşıtını ($q \Rightarrow p$), tersini ($p' \Rightarrow q'$) ve karşıt tersini ($q' \Rightarrow p'$) oluşturabilecek,
- Bir koşullu önerme ile karşıt tersinin daima denk olduğunu ($p \Rightarrow q \equiv q' \Rightarrow p'$) doğruluk tablosuyla gösterebilecek,
- Koşullu önermede hipotez ($p$) ve hüküm ($q$) kavramlarını ayırt edebilecek,
- Doğruluk değeri daima 1 olan koşullu önermelerin gerektirme olduğunu kavrayacaksın.
📖Konu Anlatımı
1. Koşullu Önerme Nedir?
$p$ ile $q$ önermelerinin "ise" ($\Rightarrow$) bağlacı ile birleştirilmesiyle elde edilen bileşik önermeye koşullu önerme denir.
$$p \Rightarrow q \quad \text{("p ise q" şeklinde okunur)}$$
🔹 Çalışma Mantığı ve Doğruluk Kuralı
Koşullu önerme, yalnızca hipotezin ($p$) doğru ($1$) ve hükmün ($q$) yanlış ($0$) olduğu $1 \Rightarrow 0$ durumunda yanlış ($0$) değerini alır. Diğer 3 doğruluk durumunda sonuç doğru ($1$) olur.
Doğruluk Tablosu
$p$ | $q$ | $p \Rightarrow q$ | Mantıksal Açıklama |
1 | 1 | 1 | Söz verildi, şart sağlandı $\rightarrow$ Doğru |
1 | 0 | 0 | Söz verildi (1), şart yerine getirilmedi (0) $\rightarrow$ YANLIŞ |
0 | 1 | 1 | Öncül gerçekleşmedi (0) $\rightarrow$ Cümle boşa çıkar, doğru kabul edilir. |
0 | 0 | 1 | Öncül gerçekleşmedi (0) $\rightarrow$ Cümle boşa çıkar, doğru kabul edilir. |
💡Günlük Hayat Mantığı: Bir baba çocuğuna "Takdir alırsan ($p$) sana bisiklet alacağım ($q$)" derse:
- Çocuk takdir alır ($1$) ve baba bisiklet alırsa ($1$) $\rightarrow$ Söz tutulmuştur ($1$).
- Çocuk takdir alır ($1$) ama baba bisiklet almazsa ($0$) $\rightarrow$ Baba yalan söylemiştir ($0$).
- Çocuk takdir alamazsa ($0$), baba ister bisiklet alsın ($1$) ister almasın ($0$), babanın yalan söylediği iddia edilemez, sözü boşa çıkmış sayılır ve mantıkça doğru ($1$) kabul edilir!
2. "ise" ($\Rightarrow$) Bağlacının Cebirsel Özellikleri
🔹 En Önemli Denklik Dönüşümü
Koşullu önermeler üzerindeki işlemleri sadeleştirmenin en temel anahtarı "ise" bağlacını "veya" bağlacına dönüştürmektir:
$$p \Rightarrow q \equiv p' \lor q$$
🔹 Koşullu Önermenin Değili (Olumsuzu)
Koşullu önermenin olumsuzu alınırken önce $p' \lor q$ dönüşümü yapılır, ardından De Morgan kuralı uygulanır:
$$(p \Rightarrow q)' \equiv (p' \lor q)' \equiv (p')' \land q' \equiv p \land q'$$
$$(p \Rightarrow q)' \equiv p \land q'$$
🔹 İse İşleminin Temel Özellikleri
- Yansıma Özelliği: $p \Rightarrow p \equiv p' \lor p \equiv 1$
- Öncül 1 İse: $1 \Rightarrow p \equiv 1' \lor p \equiv 0 \lor p \equiv p$
- Öncül 0 İse: $0 \Rightarrow p \equiv 0' \lor p \equiv 1 \lor p \equiv 1$
- Sonuç 1 İse: $p \Rightarrow 1 \equiv p' \lor 1 \equiv 1$
- Sonuç 0 İse: $p \Rightarrow 0 \equiv p' \lor 0 \equiv p'$
- Kendinin Değiline Bağlanma: $p \Rightarrow p' \equiv p' \lor p' \equiv p'$
3. Koşullu Önermenin Karşıtı, Tersi ve Karşıt Tersi
$p \Rightarrow q$ koşullu önermesi için 3 farklı türev önerme yazılabilir:
İfade Türü | Sembolik Gösterim | Tanım / Değişim |
Orijinal Önerme | $p \Rightarrow q$ | $p$ ise $q$ |
Karşıtı | $q \Rightarrow p$ | Hipotez ile hüküm yer değiştirir. |
Tersi | $p' \Rightarrow q'$ | Hipotez ve hükmün değilleri alınır. |
Karşıt Tersi | $q' \Rightarrow p'$ | Hipotez ile hüküm yer değiştirip değilleri alınır. |
🔥En Kritik Mantık Kuralı: Karşıt Ters Denkliği
Bir koşullu önerme, kendi karşıt tersine daima denktir:
$$p \Rightarrow q \equiv q' \Rightarrow p'$$
Doğruluk Tablosu İspatı:
$p$ | $q$ | $p'$ | $q'$ | $p \Rightarrow q$ | $q' \Rightarrow p'$ |
1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Sütunlar birebir aynı olduğundan $p \Rightarrow q \equiv q' \Rightarrow p'$ olduğu ispatlanmış olur.
⚠️Uyarı: Bir önermenin karşıtı ($q \Rightarrow p$) ile tersi ($p' \Rightarrow q'$) de kendi arasında denktir ($q \Rightarrow p \equiv p' \Rightarrow q'$). Ancak orijinal önermeye denk değillerdir!
4. Hipotez, Hüküm ve Gerektirme
Hipotez ve Hüküm
$p \Rightarrow q$ biçimindeki bir teoremde:
- $p$ önermesine: Hipotez (Varsayım / Başlangıç koşulu)
- $q$ önermesine: Hüküm (Sonuç / Ulaşılmak istenen yargı) denir.
Gerektirme
Doğruluk değeri daima 1 olan (totolojik) koşullu önermelere gerektirme adı verilir.
- $p \Rightarrow q \equiv 1$ ise "$p$ önermesi $q$ önermesini gerektirir" denir.
✏️Çözümlü Örnekler
Örnek 1 (Denklik Dönüşümü)
Soru: $(p \Rightarrow q) \land (p \land q')$ ifadesinin en sade halini bulunuz.
Çözüm:
- "ise" bağlacını veya'ya dönüştürelim: $p \Rightarrow q \equiv p' \lor q$.
- İfade: $(p' \lor q) \land (p \land q')$
- De Morgan kuralı gereği $(p' \lor q)' \equiv p \land q'$ olduğunu biliyoruz.
- İkinci paranteze $A$ dersek, birinci parantez $A'$ olur.
- Yani ifade: $A' \land A$ biçimindedir.
- Bir önerme ile değilinin "ve" birleşimi daima 0'dır: $A' \land A \equiv 0$.
- Cevap: 0
Örnek 2 (Karşıt, Ters ve Karşıt Ters Yazma)
Soru: "Bir $x$ tam sayısı 6 ile tam bölünebiliyorsa, $x$ sayısı 3 ile de tam bölünür." önermesinin karşıtını, tersini ve karşıt tersini yazınız.
Çözüm:
- Hipotez ($p$): "x sayısı 6 ile tam bölünür."
- Hüküm ($q$): "x sayısı 3 ile tam bölünür."
- Karşıtı ($q \Rightarrow p$): "Bir $x$ tam sayısı 3 ile tam bölünebiliyorsa, 6 ile de tam bölünür."
- Tersi ($p' \Rightarrow q'$): "Bir $x$ tam sayısı 6 ile tam bölünemiyorsa, 3 ile de tam bölünemez."
- Karşıt Tersi ($q' \Rightarrow p'$): "Bir $x$ tam sayısı 3 ile tam bölünemiyorsa, 6 ile de tam bölünemez."
Örnek 3 (Gerektirme İncelemesi)
Soru: $(p \land q) \Rightarrow p$ bileşik önermesinin bir gerektirme olduğunu ispatlayınız.
Çözüm:
- "ise" dönüşüm kuralını uygulayalım: $A \Rightarrow B \equiv A' \lor B$
- $[(p \land q)]' \lor p$
- De Morgan kuralını uygulayalım: $(p' \lor q') \lor p$
- Birleşme ve değişme özellikleri ile $p'$ ile $p$'yi yan yana getirelim:
$$(p' \lor p) \lor q'$$
$p' \lor p \equiv 1$ olduğu için:
$$1 \lor q' \equiv 1$$
- Sonuç daima 1 çıktığı için bu önerme bir gerektirmedir.
⚠️ Sık Yapılan Hatalar
🔴$0 \Rightarrow p$ durumunu 0 sanmak: $0 \Rightarrow 1 \equiv 1$ ve $0 \Rightarrow 0 \equiv 1$'dir. Öncül 0 ise sonuç DAİMA 1'dir.
🔴Koşullu önermenin değilini tersi ile karıştırmak: $(p \Rightarrow q)' \equiv p \land q'$ iken tersi $p' \Rightarrow q'$'dir. Bu ikisi tamamen farklı şeylerdir!
🔴Karşıtının orijinale denk olduğunu sanmak: $p \Rightarrow q$ ile karşıtı $q \Rightarrow p$ denk olmak zorunda değildir! Yalnızca karşıt tersi ($q' \Rightarrow p'$) orijinale denktir.
Alıştırma Soruları
Bu konuyu ne kadar öğrendiğini test et!