6. Sayı Basamakları

 1.6 Sayı Basamakları

 🎯Kazanımlar

Bu bölümü tamamladığında:

• Bir sayının basamak adlarını, sayı değerini ve basamak değerini ayırt edebilecek,
• Sayıları basamak değerleri toplamı biçiminde çözümleyebilecek,
• İki basamaklı sayılarda rakamları yer değiştirme (ters çevirme) ile ilgili kısa yolları uygulayabilecek,
• Basamak sayısıyla ilgili kısıtları (baş basamağın $0$ olamaması gibi) sorularda doğru kullanabileceksin.

 📖Konu Anlatımı

 Basamak Kavramı

Bir sayıyı oluşturan rakamların, sayı içindeki konumuna basamak denir. Beş basamaklı bir $\overline{abcde}$ sayısında basamak adları sağdan sola şu şekildedir:

 Basamak şartı: Basamak sayısı belirli bir sayının en soldaki (baş) basamağı $0$ olamaz. Örneğin üç basamaklı bir $\overline{xyz}$ sayısında $x \neq 0$ olmalıdır; aksi hâlde sayı üç basamaklı olmaktan çıkar.

 Sayı Değeri ve Basamak Değeri

• Sayı değeri: Bir basamaktaki rakamın kendisidir.
• Basamak değeri: O rakamın, bulunduğu basamağın değeriyle (birler için $1$, onlar için $10$, yüzler için $100$, ...) çarpılmasıyla elde edilen değerdir.

$\overline{abcde}$ sayısı için:

 Sayıların Çözümlenmesi

Bir sayının basamak değerlerinin toplamı biçiminde yazılmasına çözümleme denir.

Beş basamaklı özel durum:

$$\overline{abcde} = 10000a + 1000b + 100c + 10d + e$$

$n$ basamaklı genel durum: Soldan sağa $a_1, a_2, \dots, a_n$ rakamlarından oluşan bir sayı için genel çözümleme:

$$\overline{a_1a_2a_3\dots a_n} = \sum_{i=1}^{n} a_i \cdot 10^{\,n-i} = a_1\cdot 10^{n-1} + a_2\cdot 10^{n-2} + \dots + a_n\cdot 10^{0}$$

Burada en soldaki rakam $10^{n-1}$ ile, en sağdaki rakam (birler basamağı) $10^0=1$ ile çarpılır.

 Parçalı Çözümleme

Beş basamaklı bir $\overline{ABCDE}$ sayısı, işlem kolaylığı için farklı biçimlerde de parçalanabilir:

$$\overline{ABCDE} = \overline{AB}\cdot 1000 + \overline{CDE}$$

$$\overline{ABCDE} = \overline{ABC}\cdot 100 + \overline{DE}$$

$$\overline{ABCDE} = \overline{ABCD}\cdot 10 + E$$

 Pratik Kurallar

Sonuna sıfır ekleme: Bir tam sayının sağına bir sıfır eklemek, sayıyı $10$ katına çıkarır (örn. $\overline{ABC} \to \overline{ABC0} = \overline{ABC}\cdot 10$). Bu kural yalnızca tam sayılar için geçerlidir; ondalıklı sayılarda sona sıfır eklemek sayının değerini değiştirmez.

İki basamaklı sayılarda rakam yer değiştirme: $\overline{AB}$ iki basamaklı bir sayı, $\overline{BA}$ ise rakamları yer değiştirilmiş hâli olmak üzere:

$$\overline{AB} + \overline{BA} = 11\cdot(A+B)$$

$$\overline{AB} - \overline{BA} = 9\cdot(A-B) \quad (A>B \text{ olmalıdır, aksi hâlde fark negatif çıkar})$$

İspat (toplama):

$$\overline{AB}+\overline{BA} = (10A+B)+(10B+A) = 11A+11B = 11(A+B)$$

 ✏️Örnekler

Örnek 1: $\overline{4x28}$ dört basamaklı sayısında $x$ basamağının basamak değeri $700$ olduğuna göre $x$ kaçtır?

Çözüm: $x$ rakamı yüzler basamağındadır, basamak değeri $x\cdot 100$'dür.

$$x\cdot 100 = 700 \ \Rightarrow \ x = 7$$

Örnek 2: $\overline{3ab5}$ dört basamaklı sayısı $3005 + 100a + 10b$ biçiminde çözümlendiğine göre bu çözümlemenin doğruluğunu genel formülle gösteriniz.

Çözüm: Genel çözümleme formülüne göre:

$$\overline{3ab5} = 3\cdot 1000 + a\cdot 100 + b\cdot 10 + 5\cdot 1 = 3000 + 100a + 10b + 5$$

$$= 3005 + 100a + 10b$$

Verilen ifadeyle birebir aynı olduğundan çözümleme doğrulanmış olur.

Örnek 3: İki basamaklı bir sayı ile bu sayının rakamları yer değiştirilmiş hâlinin toplamı $99$ olduğuna göre bu iki sayının basamaklarındaki rakamların toplamı ($A+B$) kaçtır?

Çözüm: $\overline{AB}+\overline{BA} = 11(A+B)$ kuralı kullanılır:

$$11(A+B) = 99 \ \Rightarrow \ A+B = 9$$

Örnek 4: İki basamaklı bir $\overline{AB}$ sayısı ile rakamları ters çevrilmiş $\overline{BA}$ sayısının farkı $27$'dir. Buna göre $A-B$ farkı kaçtır?

Çözüm:

$$\overline{AB}-\overline{BA} = 9(A-B) = 27 \ \Rightarrow \ A-B = 3$$

Örnek 5: Üç basamaklı bir $\overline{x00}$ sayısının sağına bir sıfır daha eklenirse dört basamaklı $\overline{x000}$ sayısı elde ediliyor. $\overline{x000}$ sayısının $\overline{x00}$ sayısının kaç katı olduğunu gösteriniz.

Çözüm: Sonuna sıfır eklenen bir tam sayı $10$ katına çıkar:

$$\overline{x000} = \overline{x00}\cdot 10$$

$\overline{x000}$, $\overline{x00}$'ün 10 katıdır.

Örnek 6: $\overline{7ABC}$ dört basamaklı sayısı, $\overline{7A}\cdot 100 + \overline{BC}$ biçiminde parçalı çözümlenebiliyor. $\overline{7A} = 75$ ve $\overline{BC} = 36$ olduğuna göre $\overline{7ABC}$ sayısını bulunuz.

Çözüm:

$$\overline{7ABC} = 75\cdot 100 + 36 = 7500+36 = 7536$$

Örnek 7: $A \neq 0$ olmak üzere iki basamaklı $\overline{AA}$ biçimindeki (rakamları aynı olan) bir sayının her zaman $11$'in katı olduğunu gösteriniz.

Çözüm: $\overline{AA} = 10A + A = 11A$ olarak çözümlenir. Bu ifade her zaman $11\cdot A$ biçiminde olduğundan, $\overline{AA}$ türündeki her sayı $11$'in tam katıdır.

Örnek 8: Beş basamaklı bir sayının baş basamağı ile birler basamağının toplamı, sayının kendisinin en fazla kaç basamaklı bir sayıya basamak değeri olarak katkı sağlayabileceğini karşılaştırmak için, $\overline{a0009}$ sayısında $a$'nın basamak değerini ve $9$'un basamak değerini karşılaştırınız.

Çözüm: $\overline{a0009}$ sayısında $a$ on binler basamağında, $9$ ise birler basamağındadır.

$$a\text{'nın basamak değeri} = a\cdot 10000$$

$$9\text{'un basamak değeri} = 9\cdot 1 = 9$$

$a$ en küçük değerini ($a=1$, çünkü baş basamak $0$ olamaz) aldığında bile basamak değeri $10000$'dir; bu, $9$'un basamak değerinden çok daha büyüktür. Bu örnek, aynı rakamın bulunduğu basamağa göre çok farklı basamak değerleri alabileceğini gösterir.

 ⚠️Sık Yapılan Hatalar

 🔴Sayı değeri ile basamak değerini karıştırmak: $\overline{4728}$ sayısında $7$ rakamının sayı değeri $7$'dir ama basamak değeri $700$'dür ($7\cdot 100$); bu iki kavram sıkça birbirine karıştırılır.

 🔴$\overline{AB}-\overline{BA}$ formülünü işaret kontrolü yapmadan kullanmak: $A<B$ olduğunda fark negatif çıkar; formül cebirsel olarak her zaman geçerlidir ama "pozitif fark" bekleyen sorularda $A>B$ şartı kontrol edilmelidir.

 🟡Baş basamağın $0$ olabileceğini varsaymak: $n$ basamaklı bir sayıda ilk basamak asla $0$ olamaz; bu kısıt özellikle "kaç farklı sayı yazılabilir" tarzı sayma sorularında gözden kaçırılır.

 🟡Sona sıfır ekleme kuralını ondalıklı sayılara da uygulamak: Bu kural yalnızca tam sayılar için geçerlidir; $3{,}50$ ile $3{,}5$ aynı değeri gösterir, $10$ kat büyümez.