3. Bölme İşlemi
3. POLİNOMLARDA BÖLME İŞLEMİ
🎯Kazanımlar
Bu bölümü tamamladığında;
- Polinom bölme eşitliğini ($P(x) = Q(x) \cdot B(x) + K(x)$) kurabileceksin,
- Bölmenin 2 altın kuralını ($\text{der}[K] < \text{der}[Q]$ ve $\text{der}[B] = \text{der}[P] - \text{der}[Q]$) uygulayabileceksin,
- Klasik bakkal bölmesi algoritmasını azalan kuvvetlere göre sıralayarak adım adım yürütebileceksin,
- Eksik terimli polinomlarda sıfır katsayılı terim yazma kuralını uygulayabileceksin,
- $(x - c)$ biçimindeki bölenler için Horner (Sentetik) bölme yöntemini zaman kazandırıcı kısayol olarak kullanabileceksin.
📖Konu Anlatımı
3.1. Bölme Eşitliği ve Temel Kurallar
$\text{der}[P(x)] \ge \text{der}[Q(x)]$ olmak üzere, $P(x)$ polinomunun $Q(x)$ polinomuna bölünmesi işleminde:
\[\mathbf{P(x) = Q(x) \cdot B(x) + K(x)}\]
$P(x)$: Bölünen Polinom
$Q(x)$: Bölen Polinom ($Q(x) \ne 0$)
$B(x)$: Bölüm Polinomu
$K(x)$: Kalan Polinom
💡Önemli Hatırlatma (Bölmenin 2 Altın Kuralı):
Kalanın derecesi bölenin derecesinden kesinlikle küçük olmalıdır: $\mathbf{\text{der}[K(x)] < \text{der}[Q(x)]}$. Kalanın derecesi bölenin derecesine eşit veya büyük kaldığı sürece bölme işlemi bitmiş sayılmaz!
- Bölümün derecesi: $\mathbf{\text{der}[B(x)] = \text{der}[P(x)] - \text{der}[Q(x)]}$.
3. $K(x) = 0$ ise $P(x)$ polinomu $Q(x)$ polinomuna tam (kalansız) bölünüyor denir.
3.2. Klasik Polinom Bölmesi (Bakkal Bölmesi) Algoritması
1. Bölünen ve bölen polinomlar değişkenin azalan kuvvetlerine göre sıralanır.
2. Bölünenin en büyük dereceli terimi, bölenin en büyük dereceli terimine bölünerek bölüm hanesine yazılır.
3. Bölüme yazılan bu terim bölenin tüm terimleriyle çarpılarak bölünenin altına yazılır ve çıkarılır.
4. Kalanın derecesi bölenin derecesinden küçük olana kadar bu adımlar tekrarlanır.
✏️Çözümlü Örnekler
Örnek 1 (🟢 Temel - Basit Bölme İşlemi):
$P(x) = 2x^2 + 5x + 7$ polinomunun $Q(x) = x + 2$ polinomuna bölünmesinden elde edilen bölüm ve kalanı bulunuz.
Çözüm:
$2x^2$'yi $x$'e bölelim $\rightarrow 2x$. Bölüm hanesine $2x$ yazıp bölenle çarpalım:
\[2x \cdot (x + 2) = 2x^2 + 4x\]
Çıkaralım: $(2x^2 + 5x + 7) - (2x^2 + 4x) = x + 7$.
$x$'i $x$'e bölelim $\rightarrow 1$. Bölüme $1$ ekleyelim:
\[1 \cdot (x + 2) = x + 2\]
Çıkaralım: $(x + 7) - (x + 2) = 5$.
Bölüm: $B(x) = \mathbf{2x + 1}$, Kalan: $K(x) = \mathbf{5}$.
Örnek 2 (🟢 Temel - Bölme Eşitliğinden Bölüneni Bulma):
Bir $P(x)$ polinomu $(x^2 - 3)$ polinomuna bölündüğünde bölüm $(2x + 1)$ ve kalan $(4x - 2)$ olmaktadır.
$P(x)$ polinomunu bulunuz.
Çözüm:
Bölme eşitliği: $P(x) = Q(x) \cdot B(x) + K(x)$
\[P(x) = (x^2 - 3) \cdot (2x + 1) + (4x - 2)\]
Dağıtalım:
\[P(x) = (2x^3 + x^2 - 6x - 3) + (4x - 2)\]
\[\mathbf{P(x) = 2x^3 + x^2 - 2x - 5}\]
Örnek 3 (🟡 Orta - Eksik Terimli Polinom Bölmesi):
$P(x) = x^4 - 5x + 3$ polinomunun $Q(x) = x^2 - 1$ polinomuna bölünmesinden elde edilen kalanı bulunuz.
Çözüm:
Bölünen polinomda bulunmayan $x^3$ ve $x^2$ terimlerini katsayıları 0 kabul ederek bölmeyi yapalım:
1. $x^4 \div x^2 = x^2 \implies x^2(x^2 - 1) = x^4 - x^2$.
Çıkaralım: $(x^4 + 0x^3 + 0x^2 - 5x + 3) - (x^4 - x^2) = x^2 - 5x + 3$.
2. $x^2 \div x^2 = 1 \implies 1(x^2 - 1) = x^2 - 1$.
Çıkaralım: $(x^2 - 5x + 3) - (x^2 - 1) = \mathbf{-5x + 4}$.
Kalan: $\mathbf{K(x) = -5x + 4}$ (Derece 1 < Bölenin derecesi 2).
Örnek 4 (🟡 Orta - Derece Koşulundan Bölünen Derecesini Bulma):
$\text{der}[B(x)] = 4$ ve bölme işleminde bölen polinom $Q(x) = 3x^3 - 5x + 1$ olduğuna göre, $P(x)$ bölünen polinomunun derecesi kaçtır?
Çözüm:
Bölenin derecesi: $\text{der}[Q(x)] = 3$.
Bölümün derecesi kuralı: $\text{der}[B(x)] = \text{der}[P(x)] - \text{der}[Q(x)]$.
$4 = \text{der}[P(x)] - 3 \implies \mathbf{\text{der}[P(x)] = 7}$.
Örnek 5
$P(x)$ polinomunun $(x^3 + 4)$ ile bölümünde kalan $K(x) = (a - 2)x^3 + 5x^2 - b x + 1$'dir.
Bölme işlemi tamamlandığına göre $a$ kaçtır?
Çözüm:
Bölmenin altın kuralı: $\text{der}[K(x)] < \text{der}[Q(x)]$.
Bölen $(x^3 + 4)$ 3. dereceden olduğuna göre kalanın derecesi en fazla 2 olmalıdır!
Dolayısıyla $K(x)$'teki $x^3$'lü terim bulunmamalıdır:
\[a - 2 = 0 \implies \mathbf{a = 2}\]
Örnek 6
$P(x) = x^3 - 4x^2 + 2x + 5$ polinomunun $(x - 3)$ ile bölümünden elde edilen bölüm ve kalanı Horner yöntemi ile bulunuz.
Çözüm:
1. Bölenin kökü: $x - 3 = 0 \implies x = 3$.
2. Katsayıları sırayla yazalım: $1, -4, 2, 5$.
$1$ aşağı iner.
$1 \cdot 3 = 3 \implies -4 + 3 = -1$.
$-1 \cdot 3 = -3 \implies 2 + (-3) = -1$.
$-1 \cdot 3 = -3 \implies 5 + (-3) = \mathbf{2}$ (Kalan).
3. Bölüm katsayıları: $1, -1, -1 \implies \mathbf{B(x) = x^2 - x - 1}$.
4. Kalan: $\mathbf{K = 2}$.
Örnek 7
$P(x) = x^3 - 3x^2 + ax + 6$ polinomu $(x + 2)$ ile kalansız (tam) bölündüğüne göre $a$ kaçtır?
Çözüm:
Tam bölünüyorsa kalan 0'dır: $x + 2 = 0 \implies x = -2 \implies P(-2) = 0$.
$P(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 + a(-2) + 6 = 0$
$-8 - 12 - 2a + 6 = 0 \implies -14 - 2a = 0 \implies 2a = -14 \implies \mathbf{a = -7}$.
Örnek 8
$P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 4x + 1$ polinomunun $Q(x) = x^2 - 2x + 3$ polinomuna bölünmesinden elde edilen bölüm $B(x)$ ve kalan $K(x)$ polinomlarını bulunuz.
Çözüm:
1. Adım: $2x^3 \div x^2 = \mathbf{2x}$. Bölüm hanesine $2x$ yazalım:
\[2x \cdot (x^2 - 2x + 3) = 2x^3 - 4x^2 + 6x\]
Çıkaralım: $(2x^3 - 5x^2 + 4x + 1) - (2x^3 - 4x^2 + 6x) = -x^2 - 2x + 1$.
2. Adım: $-x^2 \div x^2 = \mathbf{-1}$. Bölüm hanesine $-1$ ekleyelim:
\[-1 \cdot (x^2 - 2x + 3) = -x^2 + 2x - 3\]
Çıkaralım: $(-x^2 - 2x + 1) - (-x^2 + 2x - 3) = \mathbf{-4x + 4}$.
Sonuç: Bölüm $\mathbf{B(x) = 2x - 1}$, Kalan $\mathbf{K(x) = -4x + 4}$.
⚠️Sık Yapılan Hatalar
🔴Kalanın Derece Şartını Unutup Bölmeyi Erken/Geç Bitirmek: $\text{der}[K(x)] < \text{der}[Q(x)]$ olmadıkça bölme işlemi bitmez. Kalan derece böleninkiyle aynı ise bölmeye devam edilmelidir.
🔴Eksik Terimli Polinomlarda Sıfır Katsayıyı Unutmak: $x^4 - 5x + 3$ bölmesini yaparken bulunmayan $x^3$ ve $x^2$ terimlerinin yerine $0x^3$ ve $0x^2$ yazılmazsa terim basamakları kayar ve yanlış sonuç çıkar.
🔴Çıkarma Adımında İşaret Hataları: Bölüm terimi bölenle çarpılıp bölünenin altına yazıldıktan sonra çıkarma yapıldığı unutulup toplanırsa katsayılar yanlış bulunur.
Alıştırma Soruları
Bu konuyu ne kadar öğrendiğini test et!