8. Kalanlı Bölme

1.8  Tam Sayılarda Kalanlı Bölme İşlemi

 🎯Kazanımlar

Bu bölümü tamamladığında;

• Bölme işleminin temel bileşenlerini (bölünen, bölen, bölüm, kalan) tanımlayabilecek,
• $A = B \cdot C + K$ eşitliğini ve kalanın sınır koşulunu ($0 \le K < B$) her durumda uygulayabilecek,
• Bölünen, bölen, bölüm ve kalan arasındaki ilişkileri (kat ilişkisi, yer değiştirme) kullanarak bilinmeyenleri bulabilecek,
• Birden fazla bölme işlemini denklem sistemi olarak çözebilecek,
• Bir sayının bir bölene göre kalanını kullanarak, toplam, fark, çarpım ve kuvvet işlemlerinin kalanlarını kalanlar aritmetiği ile hesaplayabileceksin.

 📖Konu Anlatımı

 Temel Tanımlar

Bir bölme işleminde, $B \neq 0$ olmak üzere $A, B, C, K \in \mathbb{N}$ (doğal sayılar) ise:

• $A$ : Bölünen (bölünen sayı)
• $B$ : Bölen (bölen sayı)
• $C$ : Bölüm (sonuç)
• $K$ : Kalan (artık)

Temel bağıntı:

$$A = B \cdot C + K$$

Kalanın sınırı: Kalan, her zaman bölenden küçük ve sıfıra eşit veya büyük olmalıdır:

$$0 \le K < B$$

Eğer $K = 0$ ise, bu işleme "tam bölünme" denir (A sayısı B'ye kalansız bölünür).

 Özel Durumlar ve İpuçları

 1. Bölen ile Bölümün Yer Değiştirmesi

Bölen ile bölümün yerini değiştirmek her zaman mümkün değildir; bunun için kalanın, bölümün konumuna geçecek olan sayıdan küçük kalması gerekir. $K < C$ şartı sağlandığında $B$ ile $C$ birbirinin yerini alsa da eşitlik bozulmaz:

$$A = B \cdot C + K = C \cdot B + K \quad (\text{eğer } K < C)$$

 Örnek: $23 = 5 \cdot 4 + 3$ (K=3, C=4, 3<4 olduğu için) $\Rightarrow 23 = 4 \cdot 5 + 3$ de geçerlidir.

 2. Kat İlişkisi

Bölünen ile bölenin ortak bir $k$ çarpanı taşıması ($A = k \cdot A'$, $B = k \cdot B'$), kalanın da bu çarpana sahip olmasını zorunlu kılar. 

Çünkü $kA' = kB' \cdot C + K \Rightarrow K = k(A' - B'C)$.

 3. Ardışık Bölme İşlemleri

Aynı sayıya birden fazla bölme işlemi uygulanabilir. Örneğin:

• $A = B \cdot C + K$
• $B = D \cdot E + F$

Bu durumda $A$'yı doğrudan $C, D, E, F$ cinsinden yazmak için yerine koyma yapılır.

 Kalanlar Aritmetiği (Modüler Aritmetik Temeli)

Bir $x$ pozitif tam sayısına bölündüğünde $M$ sayısı $m$ kalanını, $N$ sayısı $n$ kalanını versin. O zaman:

• Toplam: $M$ ile $N$'yi toplamadan önce ayrı ayrı kalanlarını ($m$ ve $n$) bulup toplamak, sonucu doğrudan $x$'e bölmekle aynı kalanı verir.
• Fark: $M-N$ farkının $x$'e bölümünden kalanını bulmak için $m-n$ işlemi yeterlidir; bu fark negatif çıkarsa, pozitif bir kalan elde etmek üzere sonuca $x$ eklenir.
• Çarpım: Aynı mantık çarpma için de geçerlidir: $M \cdot N$ çarpımının $x$'e bölümünden kalanı, doğrudan $m \cdot n$'nin $x$'e bölümünden kalanıyla aynıdır.
• Kuvvet: Bu durum kuvvet almaya da genişletilebilir: $M^a$'nın $x$'e bölümünden kalanı, $m^a$'nın $x$'e bölümünden kalanıyla aynıdır.

 ⚠️ Bu kurallar, işlem yapmadan büyük sayıların kalanını bulmak için çok pratiktir. Sadece kalanları kullanarak işlem yapıp, sonucu tekrar bölene böleriz.

 ✏️Çözümlü Örnekler 

Örnek 1: Bir bölme işleminde bölünen 159, bölen 12 ve bölüm 13'tür. Kalanı bulunuz ve sağlamasını yapınız.

Çözüm:

• $159 = 12 \cdot 13 + K \Rightarrow 159 = 156 + K \Rightarrow K = 3$'tür.
• Sağlama: $12 \cdot 13 + 3 = 156 + 3 = 159$ doğru. Kalan $0 \le 3 < 12$ koşulunu sağlar.

Örnek 2: Bir bölme işleminde bölünen 245, bölüm 15 ve kalan 5 ise böleni bulunuz.

Çözüm:

• $245 = B \cdot 15 + 5 \Rightarrow 245 - 5 = 15B \Rightarrow 240 = 15B \Rightarrow B = 16$ olur.
  • Kalan $5 < 16$ olduğundan geçerlidir.

Örnek 3: $A = 8 \cdot C + 3$ ve $C = 5 \cdot D + 2$ olarak veriliyor. $A$'yı $D$ cinsinden yazın.

Çözüm:

• $C = 5D + 2$'yi $A$'daki yerine koyalım:
  • $A = 8(5D + 2) + 3 = 40D + 16 + 3 = 40D + 19$ olur.

Örnek 4: Bir bölme işleminde bölen, bölümün 3 katıdır. Bölünen 118, kalan 10 ise bölen ve bölüm kaçtır?

Çözüm:

- $B = 3C$, $118 = 3C \cdot C + 10 = 3C^2 + 10 \Rightarrow 3C^2 = 108 \Rightarrow C^2 = 36 \Rightarrow C = 6$ (pozitif).

- $B = 3 \cdot 6 = 18$'dir.

Örnek 5: $M$ ve $N$ sayılarının 9 ile bölümünden kalanlar sırasıyla 7 ve 4'tür. Buna göre $M^2 - 2MN + N^2$ ifadesinin 9 ile bölümünden kalanı bulunuz.

Çözüm:

• İfade $(M - N)^2$'ye eşittir. Kalanlarla işlem yapalım:
  • $M$ yerine 7, $N$ yerine 4 koyalım: $(7 - 4)^2 = 3^2 = 9$.
  • 9'un 9 ile bölümünden kalan 0'dır. (Doğrudan kalanlar aritmetiği ile de: $m=7, n=4$, $(m-n)^2 = 3^2=9$, kalan 0.)
  • Cevap: 0.

Örnek 6: Bir sayının 15 ile bölümünden kalan 8'dir. Bu sayının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm:

• Sayı $A = 15C + 8$ olsun. 5 ile bölümünü bulmak için:
  • $A = 5(3C) + 8$ ⇒ $A = 5 \cdot (3C) + 5 + 3$ ⇒ $A = 5(3C+1) + 3$.
  • Kalan 3'tür. (Çünkü 8'in 5 ile bölümünden kalan 3'tür.)

Örnek 7: $a$ ve $b$ pozitif tam sayılar. $a$ sayısının 7 ile bölümünden kalan 3, $b$ sayısının 7 ile bölümünden kalan 5'tir. $a \cdot b$ çarpımının 7 ile bölümünden kalanı bulunuz.

Çözüm:

• Kalanlarla çarp: $3 \cdot 5 = 15$. 15'in 7 ile bölümünden kalan 1'dir (15 = 72 + 1). Cevap: 1.

 ⚠️Sık Yapılan Hatalar

 🔴Kalanın bölenden büyük olması: Özellikle sağlama yaparken bulunan kalanı bölenle karşılaştırmamak. Her zaman $0 \le K < B$ kontrolü yapılmalıdır. Örneğin $A = B \cdot C + K$'da $K = B$ çıkarsa, aslında bölüm 1 artırılmalıdır.

 🔴Kalanlar aritmetiğinde sonucu tekrar bölmeyi unutmak: $m+n$ veya $m \cdot n$ doğrudan bölenden büyük olabilir. Örneğin 7 ile bölümde kalanlar 5 ve 4, çarpım 20, 20'yi tekrar 7'ye bölüp kalan 6 alınmalıdır. Doğrudan 20 yazmak yanlıştır.

 🔴"Yer değiştirme" kuralını koşulsuz uygulamak: Sadece $K < C$ olduğunda bölen ile bölüm yer değiştirebilir. Bu şart kontrol edilmezse hatalı sonuç çıkar.

 🔴Birden fazla bölme işleminde hangi değişkenin hangisi olduğunu karıştırmak: Örneğin $A = B \cdot C + K$ ve $B = D \cdot E + F$ verilmiş; $A$'yı $D$ cinsinden yazarken $B$'nin yerine $D \cdot E + F$'yi doğru koymak gerekir, $B$ ile $D$'yi karıştırmayın.

 🟡Negatif sayılarda kalan tanımı: Bu notta sadece doğal sayılar ele alınmıştır. Tam sayılarda kalan tanımı farklı olabilir (bazı kaynaklar negatif kalan da kabul eder). TYT müfredatı genelde doğal sayılarla sınırlıdır, bu yüzden negatif kalanla ilgili endişeye gerek yok.