4. Birim-Sabit Fonksiyon

 Birim ve Sabit Fonksiyon 

 🎯 Kazanımlar

Bu bölümü tamamladığında;

• Girdiyi aynen dışarı aktaran birim (özdeşlik) fonksiyon kuralını $I(x) = x$ olarak uygulayabilecek,
• Birinci Açıortay Doğrusu ($y = x$) grafik özelliklerini kavrayabilecek,
• Katsayı eşitleme ve terim yok etme yöntemleriyle birim ve sabit fonksiyon problemlerini çözebilecek,
• Rasyonel sabit fonksiyonlarda katsayılar oranı eşitliğini ($\frac{c}{a} = \frac{d}{b}$) kullanabileceksin.

 📖Konu Anlatımı

 1. Birim (Özdeşlik) Fonksiyon

 Tanım: $A$ boş kümeden farklı bir küme ve $f: A \to A$ tanımlı bir fonksiyon olmak üzere; $\forall x \in A$ için $f(x) = x$ oluyorsa $f$ fonksiyonuna birim (özdeşlik) fonksiyon denir.

 Gösterim: Birim fonksiyon matematikte genellikle $I$ sembolüyle gösterilir.

 Temel Özellikleri:

  - Birim fonksiyonda tanım kümesine ait her eleman, görüntü kümesinde yine kendisi ile eşlenir. Yani fonksiyonun içine ne girerse, dışına da aynen o çıkar ($f(\text{girdi}) = \text{girdi}$).

  - Birim fonksiyonun grafiğinde $I(x) = x$ kuralı geçerli olduğu için, grafiği oluşturan tüm sıralı ikili elemanlar $(x, x)$ biçimindedir.

  - Analitik düzlemde $y = x$ doğrusu olarak çizilen bu grafiğe "Birinci Açıortay Doğrusu" da denir.

 2. Sabit Fonksiyon

 Tanım: $f: A \to B$ bir fonksiyon olmak üzere, tanım kümesindeki bütün elemanlar değer kümesinde bulunan yalnız tek bir eleman ile eşleniyorsa $f$ fonksiyonuna sabit fonksiyon denir.

 Gösterim: Sabit fonksiyon, $a \in B$ olmak üzere $f(x) = a$ şeklinde gösterilir.

 Temel Özellikleri:

   Sabit fonksiyonun kuralında değişken ($x$) bulunmaz.

 Rasyonel Sabit Fonksiyon Kuralı: Tanımlı olduğu aralıkta;

    $$f(x) = \frac{cx + d}{ax + b}$$

    biçiminde rasyonel (kesirli) olarak verilen bir fonksiyonun sabit fonksiyon olabilmesi için pay ve paydadaki katsayılar oranının eşit olması gerekir:

    $$\mathbf{\frac{c}{a} = \frac{d}{b}}$$

    (Not: Bu oran sağlandığında pay ve payda birbirini sadeleştirir ve değişken tamamen yok olarak geriye sabit bir sayı kalır).

 ✏️Çözümlü Örnekler 

Örnek 1 (Birim Fonksiyonda Katsayı Eşitleme):  

$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tanımlı $f(x)$ birim fonksiyondur.

$$f(x) = (a - 4)x^2 + (b + 3)x + c - 2$$

olduğuna göre $a$, $b$ ve $c$ gerçel sayılarının değerlerini bularak çarpımını hesaplayınız.

Çözüm:  

$f(x)$ birim fonksiyon olduğuna göre $f(x) = x$ kuralını sağlamalıdır. Eşitliğin sağında sadece $1 \cdot x$ terimi bulunmalı, $x^2$ ve sabit sayı gibi diğer terimler bulunmamalıdır:

1. $x^2$'li terimin katsayısı sıfır olmalıdır: $a - 4 = 0 \implies \mathbf{a = 4}$

2. $x$'li terimin katsayısı 1 olmalıdır: $b + 3 = 1 \implies \mathbf{b = -2}$

3. Sabit terim sıfır olmalıdır: $c - 2 = 0 \implies \mathbf{c = 2}$

$$\text{Çarpım Sonucu:} \ a \cdot b \cdot c = 4 \cdot (-2) \cdot 2 = \mathbf{-16}.$$

Örnek 2 (Sabit Fonksiyonda Değişken Terimleri Yok Etme):  

$g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tanımlı $g(x)$ sabit fonksiyondur.

$$g(x) = (3m - 12)x^3 + (n + 5)x + m \cdot n$$

olduğuna göre $g(50)$ değerini bulunuz.

Çözüm:  

$g(x)$ sabit fonksiyon olduğuna göre kuralında değişken ($x$) bulunmamalıdır:

1. $x^3$'ün katsayısı sıfır olmalıdır: $3m - 12 = 0 \implies 3m = 12 \implies \mathbf{m = 4}$

2. $x$'in katsayısı sıfır olmalıdır: $n + 5 = 0 \implies \mathbf{n = -5}$

Katsayıları fonksiyonda yerine yazalım:

$$g(x) = 0 \cdot x^3 + 0 \cdot x + (4) \cdot (-5) \implies g(x) = -20$$

Fonksiyon sabit olduğundan tanım kümesindeki her elemanın görüntüsü $-20$'ye eşittir:

$$\mathbf{g(50) = -20}.$$

Örnek 3 (Rasyonel Sabit Fonksiyonda Katsayı Oranı):  

$$f(x) = \frac{ax + 15}{3x + 9}$$

fonksiyonu tanımlı olduğu aralıkta bir sabit fonksiyon olduğuna göre $a$ gerçek sayısını ve $f(7)$ değerini bulunuz.

Çözüm:  

Rasyonel fonksiyonun sabit fonksiyon olabilmesi için katsayılar oranı eşit olmalıdır:

$$\frac{a}{3} = \frac{15}{9} \implies 9a = 45 \implies \mathbf{a = 5}$$

Bulduğumuz $a = 5$ değerini yerine yazarak sabit değeri görelim:

$$f(x) = \frac{5x + 15}{3x + 9} = \frac{5(x + 3)}{3(x + 3)} = \frac{5}{3}$$

Fonksiyonumuz $f(x) = \frac{5}{3}$ sabit fonksiyonudur. Bu durumda:

$$\mathbf{f(7) = \frac{5}{3}}.$$

Örnek 4 (İçi Cebirsel İfade Olan Birim Fonksiyon):  

$f$ birim fonksiyon olmak üzere;

$$f(3x + 2) = (p - 2)x^2 + (q + 1)x + r - 4$$

olduğuna göre $p + q + r$ toplamı kaçtır?

Çözüm:  

Birim fonksiyonda içine girilen kural dışına aynen çıkmalıdır:

$$f(3x + 2) = 3x + 2 \implies (p - 2)x^2 + (q + 1)x + r - 4 = 3x + 2$$

Katsayıları eşitleyelim:

 $x^2$'li terim katsayısı: $p - 2 = 0 \implies p = 2$

 $x$'li terim katsayısı: $q + 1 = 3 \implies q = 2$

 Sabit terim: $r - 4 = 2 \implies r = 6$

$$\implies p + q + r = 2 + 2 + 6 = \mathbf{10}.$$

Örnek 5 (Birim ve Sabit Fonksiyon Denklemi):  

$f(x)$ birim fonksiyon ve $g(x)$ sabit fonksiyon olmak üzere;

$$f(6) + g(8) = 15$$

olduğuna göre $g(2026)$ değeri kaçtır?

Çözüm:  

 $f(x)$ birim fonksiyon olduğu için $f(6) = 6$'dır.

 Denklemde yerine yazalım: $6 + g(8) = 15 \implies g(8) = 9$.

 $g(x)$ sabit fonksiyon olduğundan tüm girdiler için sonucu $9$'dur ($g(x) = 9$).

$$\implies \mathbf{g(2026) = 9}.$$

Örnek 6 (İkinci Dereceden Rasyonel Sabit Fonksiyon):  

$$f(x) = \frac{ax^2 + 8x + b}{3x^2 + 4x + 5}$$

fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre $a \cdot b$ çarpımı kaçtır?

Çözüm:  

Aynı dereceli terimlerin katsayıları oranı eşit olmalıdır:

$$\frac{a}{3} = \frac{8}{4} = \frac{b}{5}$$

Burada $\frac{8}{4} = 2$ sabit oranımızdır.

 $\frac{a}{3} = 2 \implies a = 6$

 $\frac{b}{5} = 2 \implies b = 10$

$$\implies a \cdot b = 6 \cdot 10 = \mathbf{60}.$$

Örnek 7 (Sıralı İkililerle Birim Fonksiyon):  

$A = \{2, 4, 6\}$ kümesinde tanımlı $f = \{(2, a + 1), (4, b - 2), (c, 6)\}$ bağıntısı birim fonksiyon olduğuna göre $a + b + c$ toplamı kaçtır?

Çözüm:  

Birim fonksiyonda elemanlar kendisiyle eşlenir: $(x, x) \in f$.

 $(2, a + 1) \implies a + 1 = 2 \implies a = 1$

 $(4, b - 2) \implies b - 2 = 4 \implies b = 6$

 $(c, 6) \implies c = 6$

$$\implies a + b + c = 1 + 6 + 6 = \mathbf{13}.$$

Örnek 8 (Sabit Fonksiyon Grafik Noktası):  

$y = f(x)$ sabit fonksiyonunun grafiği $(4, -9)$ noktasından geçmektedir.  

$$f(-8) + f(0) + f(15)$$

toplamı kaçtır?

Çözüm:  

Grafiğin $(4, -9)$ noktasından geçmesi $f(4) = -9$ demektir.  

$f$ sabit fonksiyon olduğundan her girdi için çıktı $-9$'dur: $f(x) = -9$.

 $f(-8) = -9$

 $f(0) = -9$

 $f(15) = -9$

$$\text{Toplam} = (-9) + (-9) + (-9) = \mathbf{-27}.$$

 ⚠️Sık Yapılan Hatalar

 🔴Birim Fonksiyonda İçerideki Yapıyı Unutmak: $f(3x+2)$ birim fonksiyon ise eşitliğin sağ tarafı $x$ değil, $(3x+2)$ olmalıdır.

 🔴Sabit Fonksiyonda $f(x) = 0$ Şartı Koymak: Sabit fonksiyon her zaman sıfıra eşit olmak zorunda değildir; her gerçel sayıya ($c \in \mathbb{R}$) eşit olabilir.

 🔴Rasyonel Sabit Fonksiyonda Çapraz Çarpmada Hata Yapmak: $\frac{c}{a} = \frac{d}{b}$ oranında katsayıların derecelerine dikkat edilmeli, zıt dereceli terimler oranlanmamalıdır.