7. Dört İşlem, Grafik Çizimi

Fonksiyonlarda Dört İşlem, Grafik Çizimi ve Testler 

 🎯Kazanımlar

Bu bölümü tamamladığında;

• İki fonksiyon arasında toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini ortak tanım kümesinde ($A \cap B$) uygulayabilecek,
• Liste yöntemi ve cebirsel kurallarla tanımlanan fonksiyonlarda dört işlem sonuç kümelerini bulabilecek,
• Doğrusal fonksiyonların eksen kesişim noktalarını hesaplayıp grafiklerini çizebilecek,
• Düşey (dikey) doğru testi ile fonksiyonluk kontrolü yapabilecek,
• Yatay doğru testi ile grafikler üzerinde bire bir ve örtenlik analizlerini gerçekleştirebileceksin.

 📖Konu Anlatımı

 1. Fonksiyonlarda Dört İşlem

 Tanım ve Koşul: $f: A \to \mathbb{R}$ ve $g: B \to \mathbb{R}$ tanımlı iki fonksiyon olsun. Bu iki fonksiyon arasında toplama, çıkarma, çarpma veya bölme işlemlerinin tanımlanabilmesi için her iki fonksiyonun tanım kümelerinin kesişim kümesi boş kümeden farklı olmalıdır ($A \cap B \neq \emptyset$).

 Temel İlke: Fonksiyonlarda dört işlem, yalnızca her iki fonksiyonun da tanımlı olduğu ortak elemanlar (kesişim kümesi) üzerinden gerçekleştirilebilir. Ortak olmayan elemanlar işlem dışında tutulur.

 📌Dört İşlem Kuralları ($x \in A \cap B$ olmak üzere):

1. Toplama İşlemi:

   $$\mathbf{(f + g)(x) = f(x) + g(x) \quad (f + g: A \cap B \to \mathbb{R})}$$

2. Çıkarma İşlemi:

   $$\mathbf{(f - g)(x) = f(x) - g(x) \quad (f - g: A \cap B \to \mathbb{R})}$$

3. Çarpma İşlemi:

   $$\mathbf{(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x) \quad (f \cdot g: A \cap B \to \mathbb{R})}$$

4. Bölme İşlemi: (Paydayı sıfır yapan $g(x) = 0$ değerleri hariç)

   $$\mathbf{\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \quad \left(\frac{f}{g}: A \cap B \to \mathbb{R}, \ g(x) \neq 0\right)}$$

5. Sabit Sayı ile Çarpma: $c \in \mathbb{R}$ olmak üzere, $f$ fonksiyonunun bir sabit sayı ile çarpımı tanım kümesindeki her eleman için ayrı ayrı uygulanır:

   $$\mathbf{(c \cdot f)(x) = c \cdot f(x) \quad (c \cdot f: A \to \mathbb{R})}$$

 2. Fonksiyon Grafiklerini Çizme (Doğrusal Fonksiyonlar)

 Grafik Tanımı: $f: A \to B$, $y = f(x)$ fonksiyonunda, tanım kümesindeki elemanlar ile bu elemanların görüntülerinin oluşturduğu tüm $(x, f(x))$ sıralı ikililerinin dik koordinat düzlemindeki geometrik temsiline $f$ fonksiyonunun grafiği denir.

 Grafik Çiziminin Temel Aşamaları (Doğrusal Fonksiyonlar):

  1. $x = 0$ yazılarak fonksiyonun $y$ eksenini kestiği nokta olan $(0, f(0))$ bulunur.

  2. $y = 0$ (yani $f(x) = 0$) eşitliği çözülerek fonksiyonun $x$ eksenini kestiği nokta bulunur.

  3. Bulunan bu noktalar analitik düzlemde işaretlenir ve düz bir doğru ile birleştirilir.

 3. Grafik Testleri (Düşey ve Yatay Doğru Testleri)

a) Düşey (Dikey) Doğru Testi (Fonksiyonluk Kontrolü)

 Amacı: Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını belirlemek için kullanılır.

 Uygulanışı: Tanım aralığındaki her $x$ değerinden $y$ eksenine paralel (dikey) doğrular çizilir.

 Kriter:

   Çizilen dikey doğrular grafiği her seferinde yalnız bir noktada kesiyorsa bu bağıntı bir fonksiyondur.

   Doğrulardan en az biri grafiği birden fazla noktada kesiyorsa veya hiç kesmiyorsa bu bağıntı fonksiyon değildir.

b) Yatay Doğru Testi (Birebirlik ve Örtenlik Kontrolü)

 Amacı: Grafiği verilen bir fonksiyonun bire bir ve/veya örten olup olmadığını incelemek için kullanılır.

 Uygulanışı: Değer kümesindeki $y$ değerlerinden $x$ eksenine paralel (yatay) doğrular çizilir.

 Kriter:

   Örtenlik Testi: Çizilen yatay doğrular fonksiyonun grafiğini en az bir noktada kesiyorsa bu fonksiyon örtendir.

   Birebirlik Testi: Çizilen yatay doğrular fonksiyonun grafiğini en çok bir noktada kesiyorsa bu fonksiyon bire birdir.

   Bire Bir ve Örtenlik: Çizilen yatay doğrular grafiği her zaman tam olarak tek bir noktada kesiyorsa fonksiyon hem bire bir hem de örtendir.

 ✏️Çözümlü Örnekler 

Örnek 1 (Liste Yöntemiyle Dört İşlem):  

$f$ ve $g$ fonksiyonları liste yöntemiyle veriliyor:

$$f = \{(1, 4), (2, 6), (3, 8)\}$$

$$g = \{(2, 5), (3, 1), (4, 10)\}$$

Buna göre $f + g$ ve $3f - 2g$ fonksiyonlarını bulunuz.

Çözüm:  

 $f$'nin tanım kümesi $A = \{1, 2, 3\}$ ve $g$'nin tanım kümesi $B = \{2, 3, 4\}$.

 Ortak tanım kümesi: $A \cap B = \{2, 3\}$.

 $f + g$ İşlemi:

   $x = 2 \implies (f+g)(2) = f(2) + g(2) = 6 + 5 = 11$

   $x = 3 \implies (f+g)(3) = f(3) + g(3) = 8 + 1 = 9$  

  $\implies \mathbf{f + g = \{(2, 11), (3, 9)\}}$

 $3f - 2g$ İşlemi:

   $x = 2 \implies (3f - 2g)(2) = 3(6) - 2(5) = 18 - 10 = 8$

   $x = 3 \implies (3f - 2g)(3) = 3(8) - 2(1) = 24 - 2 = 22$  

  $\implies \mathbf{3f - 2g = \{(2, 8), (3, 22)\}}$

Örnek 2 (Doğrusal Grafik Çizim Aşamaları):  

$f(x) = 3x - 6$ fonksiyonunun eksenleri kestiği noktaları bularak grafiğini çizin.

Çözüm:  

 $x = 0$ için: $y = f(0) = 3(0) - 6 = -6 \implies \mathbf{(0, -6)}$ $y$-ekseni üzerinde işaretlenir.

 $y = 0$ için: $3x - 6 = 0 \implies 3x = 6 \implies x = 2 \implies \mathbf{(2, 0)}$ $x$-ekseni üzerinde işaretlenir.

 Analitik düzlemde $(2, 0)$ ve $(0, -6)$ noktalarından düz bir doğru geçirilerek grafik çizimi tamamlanır.

Örnek 3 (Fonksiyonlarda Çarpma ve Bölme İşlemi):  

$f(x) = 3x + 2$ ve $g(x) = x - 4$ kuralları veriliyor.  

 a) $(f \cdot g)(3)$ değerini bulunuz.

 b) $\left(\frac{f}{g}\right)(5)$ değerini bulunuz.

Çözüm:  

 a) $(f \cdot g)(3) = f(3) \cdot g(3) = (3(3) + 2) \cdot (3 - 4) = 11 \cdot (-1) = \mathbf{-11}$.

 b) $\left(\frac{f}{g}\right)(5) = \frac{f(5)}{g(5)} = \frac{3(5) + 2}{5 - 4} = \frac{17}{1} = \mathbf{17}$.

Örnek 4 (Aralık Tanımlı Fonksiyonlarda Dört İşlem Tanım Bölgesi):  

$f: [-3, 4) \to \mathbb{R}, f(x) = x^2 + 2$ ve $g: (0, 7] \to \mathbb{R}, g(x) = 4x - 1$ veriliyor. $(f - g)(x)$ işleminin tanımlı olduğu en geniş tanım aralığını ve bu aralıktaki $(f - g)(2)$ değerini bulunuz.

Çözüm:  

 $(f - g)(x)$ işleminin tanım aralığı iki aralığın kesişimidir:  

  $$\text{Tanım Aralığı} = [-3, 4) \cap (0, 7] = \mathbf{(0, 4)}$$

  $x = 2 \in (0, 4)$ olduğu için işlem yapılabilir:  

  $(f - g)(2) = f(2) - g(2) = (2^2 + 2) - (4(2) - 1) = 6 - 7 = \mathbf{-1}$.

Örnek 5 (Düşey Doğru Testi Analizi):  

$x^2 + y^2 = 16$ çember denklemi ile $y = x^3 - 4x$ eğrisinin dikey doğru testiyle fonksiyon olup olmadığını belirleyiniz.

Çözüm:  

 $x^2 + y^2 = 16$ çemberinde $x = 0$ dikey çizgisi çekildiğinde $y = 4$ ve $y = -4$ noktalarında (2 farklı noktada) keser. Tek girdinin 2 çıktısı olduğundan fonksiyon değildir.

 $y = x^3 - 4x$ eğrisinde çizilen tüm dikey çizgiler eğriyi daima tek 1 noktada keser. Bu nedenle fonksiyondur.

Örnek 6 (Yatay Doğru Testi İle Bire Birlik ve Örtenlik):  

 a) $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^5 + 2$

 b) $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x) = x^4 + 2$  

fonksiyonlarının yatay doğru testiyle niteliklerini inceleyiniz.

Çözüm:  

- a) $f(x) = x^5 + 2$ eğrisine çizilen tüm yatay çizgiler grafiği daima tam 1 noktada keser. Fonksiyon hem bire bir hem de örtendir.

- b) $g(x) = x^4 + 2$ parabolünde $y = 18$ yatay çizgisi grafiği $x = 2$ ve $x = -2$ olmak üzere 2 noktada keser (bire bir değil). $y = 0$ yatay çizgisi grafiği hiç kesmez (örten değil, içinedir).

Örnek 7 (Grafikten Dört İşlem Değer Okuma):  

$f$ ve $g$ fonksiyonlarının grafiklerinde $f(4) = 6, g(4) = -3$ ve $f(0) = 5, g(0) = 2$ olduğu biliniyor.  

$$(2f + 3g)(4) - (f \cdot g)(0)$$

ifadesinin değerini bulunuz.

Çözüm:  

- $(2f + 3g)(4) = 2f(4) + 3g(4) = 2(6) + 3(-3) = 12 - 9 = 3$.

- $(f \cdot g)(0) = f(0) \cdot g(0) = 5 \cdot 2 = 10$.

$$\text{Sonuç} = 3 - 10 = \mathbf{-7}.$$

Örnek 8 (Skaler Çarpım ve Görüntü Kümesi):  

$A = \{-2, 1, 3\}$ tanım kümesinde $f(x) = x^2 - 4$ fonksiyonu veriliyor. $(3f)(A)$ görüntü kümesini ve elemanları toplamını bulunuz.

Çözüm:  

Önce $f(A)$ elemanlarını bulalım:

- $f(-2) = (-2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0$

- $f(1) = 1^2 - 4 = 1 - 4 = -3$

- $f(3) = 3^2 - 4 = 9 - 4 = 5$  

$f(A) = \{-3, 0, 5\}$.

Şimdi $(3f)(x) = 3 \cdot f(x)$ kuralıyla 3 ile çarpalım:  

$$\mathbf{(3f)(A) = \{-9, 0, 15\}}$$

Elemanlar toplamı: $(-9) + 0 + 15 = \mathbf{6}$.

 ⚠️Sık Yapılan Hatalar

 🔴Kesişim Kümesi Dışındaki Elemanlarla İşlem Yapmak: $f$ ve $g$ tanım kümelerinin kesişiminde ($A \cap B$) yer almayan elemanlar için dört işlem hesaplanamaz.

 🔴Bölme İşleminde Paydayı Sıfır Yapan Elemanları Unutmak: $(f/g)(x)$ işleminde $g(x) = 0$ olan noktalar tanım kümesinden çıkarılmalıdır.

 🔴Düşey ve Yatay Doğru Testlerini Karıştırmak: Dikey doğrular fonksiyonluk; yatay doğrular bire birlik ve örtenlik testi içindir.