3. Permütasyon
Permütasyon ve Tekrarlı Permütasyon
🎯Kazanımlar
Bu bölümü tamamladığında;
- Permütasyon kavramını (sıralama) tanımlayabilecek ve $P(n, r)$ gösterimini kullanabilecek,
- $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ formülünü uygulayabilecek,
- $P(n, 0) = 1$, $P(n, 1) = n$, $P(n, n) = n!$ özel durumlarını kavrayabilecek,
- Belirli elemanları içeren veya içermeyen permütasyon sayılarını hesaplayabilecek,
- Tekrarlı permütasyon formülünü ($\frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdots n_r!}$) kullanarak özdeş elemanlar içeren dizilişlerin sayısını bulabilecek,
- Permütasyon içeren denklemleri ve kelime dizilimi problemlerini çözebileceksin.
📖Konu Anlatımı
1. Permütasyon Nedir?
Tanım: $n$ elemanlı bir kümenin birbirinden farklı $r$ tane elemanından oluşan dizilişlerin her birine $n$'nin $r$'li permütasyonu denir.
Temel Mantık: Permütasyon sayısı, elemanların farklı sıralamalarının (dizilişlerinin) sayısıdır.
Örnek: $A = \{1, 2, 3\}$ kümesinin 2'li permütasyonları:
$(1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (2,3), (3,2)$ $\rightarrow$ Toplam 6 farklı sıralama.
💡Hatırlatma: Permütasyonda sıralama önemlidir! $(1,2)$ ile $(2,1)$ farklı durumlardır.
2. Permütasyon Formülü
$n$ elemanlı bir kümenin $r$'li permütasyonlarının sayısı:
$$P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$$
Pratik Yol: $n$'den başlayarak geriye doğru $r$ tane sayıyı çarpmaktır:
$$P(n, r) = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-r+1)$$
Örnek: $P(8, 3) = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$
Özel Durumlar:
- $P(n, 0) = 1$
- $P(n, 1) = n$
- $P(n, n) = n!$
3. Belirli Eleman İçeren / İçermeyen Permütasyonlar
- "Belirli eleman bulunmaz": O eleman kümeden tamamen atılır, kalan elemanlarla sıralama yapılır.
- "Belirli eleman bulunur": Tüm durumların sayısından, o elemanın bulunmadığı durumların sayısı çıkarılır (veya eleman sabit tutulup pozisyon analizi yapılır).
4. Tekrarlı Permütasyon
$n$ tane nesnenin $n_1$ tanesi kendi arasında özdeş, $n_2$ tanesi kendi arasında özdeş, ..., $n_r$ tanesi kendi arasında özdeş ise ($n_1 + n_2 + \dots + n_r = n$), bu nesnelerin farklı dizilişlerinin sayısı:
$$\frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdots n_r!}$$
Örnek: "KAPAK" kelimesinin harfleriyle anlamlı/anlamsız kelimeler:
Harf sayısı: 5
Tekrarlar: K $\rightarrow$ 2 tane, A $\rightarrow$ 2 tane
Diziliş sayısı: $\frac{5!}{2! \cdot 2!} = \frac{120}{4} = 30$
✏️Çözümlü Örnekler
A) Permütasyon Örnekleri
Örnek 1 (Temel Hesaplama):
$P(10, 3)$ değerini hesaplayınız.
Çözüm 1:
$P(10, 3) = 10 \cdot 9 \cdot 8 = \mathbf{720}$
Örnek 2 (Denklem Çözümü):
$P(n, 2) = 56$ denklemini sağlayan $n$ pozitif tam sayısını bulunuz.
Çözüm 2:
$P(n, 2) = n \cdot (n-1) = 56$
Ardışık iki tam sayının çarpımı 56'dır: $8 \cdot 7 = 56 \implies \mathbf{n = 8}$
Örnek 3 (Denklem Çözümü - Gelişmiş):
$3 \cdot P(6, 3) = 4 \cdot P(n, 2)$ denklemini sağlayan $n$ değerini bulunuz.
Çözüm 3:
Sol taraf: $P(6, 3) = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120 \implies 3 \cdot 120 = 360$
Sağ taraf: $4 \cdot P(n, 2) = 4 \cdot n \cdot (n-1)$
Denklem: $4 \cdot n \cdot (n-1) = 360 \implies n \cdot (n-1) = 90$
$10 \cdot 9 = 90 \implies \mathbf{n = 10}$
Örnek 4 (Belirli Eleman Koşullu Sıralama):
$A = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17\}$ kümesinin 4'lü permütasyonlarının:
a) Kaçında 5 elemanı bulunmaz?
b) Kaçında 5 elemanı bulunur?
Çözüm 4:
Kümenin eleman sayısı $s(A) = 7$'dir.
a) 5 Bulunmaz: 5 elemanı elenir. Kalan 6 elemandan 4'lü permütasyon yapılır:
$$P(6, 4) = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = \mathbf{360}$$
b) 5 Bulunur: Tüm 4'lü permütasyonların sayısından 5'in bulunmadığı durumlar çıkarılır:
$$P(7, 4) - P(6, 4) = (7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4) - 360 = 840 - 360 = \mathbf{480}$$
B) Tekrarlı Permütasyon Örnekleri
Örnek 5 (Kelime Sıralama):
"ANKARA" kelimesinin harfleriyle 4 harfli anlamlı ya da anlamsız kaç farklı kelime yazılabilir?
Çözüm 5:
Harfler: A (3 tane), N (1 tane), K (1 tane), R (1 tane). 4 harfli seçimleri durum durum inceleyelim:
1. 3 tane A ve 1 farklı harf (N, K veya R):
Seçilen harf için 3 durum var (A,A,A,N / A,A,A,K / A,A,A,R).
Her birinin dizilişi: $\frac{4!}{3!} = 4$ durum $\rightarrow 3 \cdot 4 = 12$
2. 2 tane A ve 2 farklı harf:
Farklı 2 harf seçimi için 3 durum var (NK, NR, KR).
Her birinin dizilişi: $\frac{4!}{2!} = 12$ durum $\rightarrow 3 \cdot 12 = 36$
3. 1 tane A ve 3 farklı harf (A, N, K, R):
Tüm harfler farklı: $4! = 24$ durum.
Toplam Sıralanış: $12 + 36 + 24 = \mathbf{72 \text{ farklı kelime}}$.
⚠️ Sık Yapılan Hatalar
🔴Permütasyon ile Kombinasyon Arasındaki Farkı Unutmak: Permütasyon diziliştir/sıralamadır (sıra önemlidir). Kombinasyon ise sadece gruptan eleman seçmektir (sıra önemsizdir).
🔴Tekrarlı Permütasyonda Tekrar Sayılarını Paydaya Yazmayı Unutmak: Aynı harften birden fazla varsa paydaya faktöriyel olarak yazılmalıdır.
Alıştırma Soruları
Bu konuyu ne kadar öğrendiğini test et!