8. Rasyonel İfadelerin Sadeleştirilmesi
8. Rasyonel İfadelerin Sadeleştirilmesi
🎯Kazanımlar
Bu bölümü tamamladığında;
- Rasyonel ifade tanımını ($\frac{P(x)}{Q(x)}$, $Q(x) \ne 0$) ve pay/paydayı çarpanlarına ayırarak sadeleştirme ilkesini açıklayabileceksin,
- Rasyonel ifadelerde çarpma ve bölm
- e (ikinci ifadeyi ters çevirip çarpma) işlemlerini uygulayabileceksin,
- Rasyonel ifadelerde toplama ve çıkarma işlemlerini ortak payda bularak gerçekleştirebileceksin,
- Katlı / bileşik rasyonel ifadeleri (kesirli pay ve paydalar) sadeleştirebileceksin,
- İfadenin "sadeleşebilir bir rasyonel ifade olma" şartından faydalanarak meçhul katsayıları hesaplayabileceksin.
📖Konu Anlatımı
8.1. Rasyonel İfade Tanımı ve Sadeleştirme İlkesi
$P(x)$ ve $Q(x)$ birer polinom ve $Q(x) \ne 0$ olmak üzere $\frac{P(x)}{Q(x)}$ biçimindeki ifadelere rasyonel ifade denir.
Sadeleştirme Adımları:
1. Pay ve paydadaki ifadeler ayrı ayrı çarpanlarına ayrılır.
2. Pay ve paydada ortak olan çarpanlar sadeleştirilir (birbirini götürür).
3. Bölme işlemi varsa birinci ifade aynen yazılır, ikinci ifade ters çevrilip çarpılır.
4. Toplama/Çıkarma işlemi varsa paydalar eşitlenerek tek bir rasyonel ifade altında toplanır.
✏️Çözümlü Örnekler
Örnek 1
$$\frac{x^2 - 25}{x + 5}$$
ifadesinin en sade halini bulunuz.
Çözüm:
Payı iki kare farkı olarak açalım: $x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$.
İfadede yazalım:
$$\frac{(x - 5)(x + 5)}{x + 5} = \mathbf{x - 5}$$
Örnek 2
$$\frac{x^2 - 4}{x + 5} \cdot \frac{2x + 10}{x - 2}$$
ifadesinin en sade halini bulunuz.
Çözüm:
1. $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$
2. $2x + 10 = 2(x + 5)$
3. İşlemde yerlerine koyalım:
$$\frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 5} \cdot \frac{2(x + 5)}{x - 2}$$
4. Ortak olan $(x - 2)$ ve $(x + 5)$ ifadelerini sadeleştirelim:
$$2(x + 2) = \mathbf{2x + 4}$$
Örnek 3
$$\frac{x^2 - 16}{x + 3} \div \frac{x - 4}{x^2 + 5x + 6}$$
ifadesinin en sade halini bulunuz.
Çözüm:
1. Bölme kuralı: Birinci aynen yazılır, ikinci ters çevrilip çarpılır.
$$\frac{x^2 - 16}{x + 3} \cdot \frac{x^2 + 5x + 6}{x - 4}$$
2. Çarpanlara ayıralım:
$x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$
$x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$
3. Yerine koyup sadeleştirelim:
$$\frac{(x - 4)(x + 4)}{x + 3} \cdot \frac{(x + 2)(x + 3)}{x - 4} = (x + 4)(x + 2) = \mathbf{x^2 + 6x + 8}$$
Örnek 4
$$\frac{3}{x - 1} + \frac{2}{x + 2}$$
işleminin sonucunu tek bir rasyonel ifade biçiminde yazınız.
Çözüm:
Paydaları eşitleyelim (birinciyi $x+2$, ikinciyi $x-1$ ile genişletelim):
$$\frac{3(x + 2) + 2(x - 1)}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{3x + 6 + 2x - 2}{x^2 + x - 2} = \mathbf{\frac{5x + 4}{x^2 + x - 2}}$$
Örnek 5
$$\frac{x^2 + 5}{x^2 - 4} - \frac{x + 3}{x^2 - 4}$$
işleminin en sade halini bulunuz.
Çözüm:
Paydalar aynı olduğundan payları çıkaralım (eksi işaretini 2. paya dağıtmaya dikkat!):
$$\frac{(x^2 + 5) - (x + 3)}{x^2 - 4} = \frac{x^2 - x + 2}{x^2 - 4}$$
(Not: Pay çarpanlarına ayrılmadığı için en sade hali bu şekildedir).
Örnek 6
$$\frac{1 - \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x}}$$
ifadesinin en sade halini bulunuz.
Çözüm:
1. Payda düzenlemesi yapalım:
Pay: $1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2}$
Payda: $1 + \frac{1}{x} = \frac{x + 1}{x}$
2. Bölme işlemini uygulayalım:
$$\frac{\frac{x^2 - 1}{x^2}}{\frac{x + 1}{x}} = \frac{x^2 - 1}{x^2} \cdot \frac{x}{x + 1}$$
3. $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ açıp sadeleştirelim:
$$\frac{(x - 1)(x + 1)}{x \cdot x} \cdot \frac{x}{x + 1} = \mathbf{\frac{x - 1}{x}}$$
Örnek 7
$$\frac{x^3 - 8}{x^2 + 2x + 4} \cdot \frac{x^2 - 1}{x^2 - 3x + 2}$$
ifadesinin en sade halini bulunuz.
Çözüm:
Tüm parçaları ayrı ayrı çarpanlarına ayıralım:
1. $x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$ (Küpler farkı)
2. $x^2 + 2x + 4 \rightarrow$ Çarpanlarına ayrılmaz (aynen kalır).
3. $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ (İki kare farkı)
4. $x^2 - 3x + 2 = (x - 2)(x - 1)$ (Üç terimli)
İfadeleri ana çarpmada yerlerine koyalım:
$$\frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{x^2 + 2x + 4} \cdot \frac{(x - 1)(x + 1)}{(x - 2)(x - 1)}$$
Ortak olan $(x - 2)$, $(x^2 + 2x + 4)$ ve $(x - 1)$ terimlerini sadeleştirelim:
$$\mathbf{x + 1}$$
İfadenin en sade hali $x + 1$ olarak bulunur.
Örnek 8
$$\frac{x^2 + ax - 12}{x^2 - 9}$$
ifadesi sadeleşebilir bir rasyonel ifade olduğuna göre, $a$'nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözüm:
1. Payda: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.
2. İfadenin sadeleşebilmesi için payın çarpanlarından en az biri $(x - 3)$ veya $(x + 3)$ olmalıdır.
3. Durum 1: Payın bir çarpanı $(x - 3)$ ise, $x = 3$ payı sıfır yapmalıdır.
$$3^2 + a(3) - 12 = 0 \implies 9 + 3a - 12 = 0 \implies 3a = 3 \implies \mathbf{a = 1}$$
4. Durum 2: Payın bir çarpanı $(x + 3)$ ise, $x = -3$ payı sıfır yapmalıdır.
$$(-3)^2 + a(-3) - 12 = 0 \implies 9 - 3a - 12 = 0 \implies -3a = 3 \implies \mathbf{a = -1}$$
5. $a$'nın alabileceği değerler toplamı:
$$1 + (-1) = \mathbf{0}$$
⚠️Sık Yapılan Hatalar
🔴Toplama veya Çıkarma Halindeki Terimleri Çapraz Sadeleştirmek: $\frac{x^2 + 5}{x + 5}$ ifadesinde $5$'leri veya $x$'leri sadeleştirip $x + 1$ yazmak en büyük matematik hatasıdır! Sadeleştirme sadece çarpım halindeki ifadeler arasında yapılır.
🔴Rasyonel Çıkarmada Eksi İşaretini Payın Tamamına Dağıtmamak: $\frac{A}{C} - \frac{B+D}{C} = \frac{A - B - D}{C}$ olmalıdır; eksi işareti sadece $B$'ye verilip $+D$ olarak bırakılırsa işlem hatası yapılır.
🔴Bölme İşleminde İkinci İfadeyi Ters Çevirmeyi Unutmak: $\frac{P}{Q} \div \frac{R}{S}$ işleminde ikinci kesir ters çevrilmeden düz çarpılırsa sonuç tamamen yanlış çıkar.
🔴Paydayı Sıfır Yapan Değerleri Unutmak: Rasyonel ifadelerde sadeleştirme yapıldıktan sonra bile orijinal paydanın kökleri tanım kümesinden çıkarılmalıdır ($x \ne \text{köker}$).
Alıştırma Soruları
Bu konuyu ne kadar öğrendiğini test et!