5. Binom Açılımı
Binom Açılımı ve Pascal Üçgeni
🎯Kazanımlar
Bu bölümü tamamladığında;
- Pascal üçgeninin yapısını ve binom katsayılarıyla ilişkisini açıklayabilecek,
- $(x + y)^n$ ifadesinin açılımını yaparak terim sayısını, üsler toplamını ve katsayıları belirleyebilecek,
- Baştan $(r+1)$. terim formülünü ($\binom{n}{r} \cdot x^{n-r} \cdot y^r$) uygulayabilecek,
- Sondan $(r+1)$. terim formülünü ($\binom{n}{n-r} \cdot x^r \cdot y^{n-r}$) uygulayabilecek,
- $n$'nin tek/çift olmasına göre ortadaki terimi bulabilecek,
- Bir binom açılımında katsayılar toplamını, sabit terimi ve belirli bir değişken üssüne sahip terimin katsayısını hesaplayabileceksin.
📖Konu Anlatımı
1. Pascal Üçgeni ve Kombinasyon Karşılıkları
Binom açılımında terimlerin katsayılarını bulmak için kullanılan sayı piramididir. Pascal Üçgeni'ndeki her sayı aslında bir kombinasyon değerine karşılık gelir:
0. Satır: $\binom{0}{0} = 1 \longrightarrow (x+y)^0$ katsayısı
1. Satır: $\binom{1}{0} = 1 \quad \binom{1}{1} = 1 \longrightarrow (x+y)^1$ katsayıları
2. Satır: $\binom{2}{0} = 1 \quad \binom{2}{1} = 2 \quad \binom{2}{2} = 1 \longrightarrow (x+y)^2$ katsayıları
3. Satır: $\binom{3}{0} = 1 \quad \binom{3}{1} = 3 \quad \binom{3}{2} = 3 \quad \binom{3}{3} = 1 \longrightarrow (x+y)^3$ katsayıları
Temel Özellikleri:
- Tepe noktası 1'dir ($\binom{0}{0} = 1$).
- Her satır 1 ile başlar, 1 ile biter ($\binom{n}{0} = 1$ ve $\binom{n}{n} = 1$).
- Her satırdaki eleman sayısı bir önceki satırdan 1 fazladır.
- Yan yana iki sayının toplamı, bir alt satırdaki aralarındaki sayıyı verir: $\binom{n}{r} + \binom{n}{r+1} = \binom{n+1}{r+1}$.
2. Binom Teoremi Tanımı
$x, y \in \mathbb{R}$ ve $n \in \mathbb{N}$ olmak üzere $(x+y)^n$ ifadesinin açılımı:
$$(x + y)^n = \binom{n}{0} x^n y^0 + \binom{n}{1} x^{n-1} y^1 + \binom{n}{2} x^{n-2} y^2 + \dots + \binom{n}{n} x^0 y^n$$
Açılımın Kuralları
Özellik | Kural |
Terim Sayısı | $(x+y)^n$ açılımında $n + 1$ tane terim vardır. |
Üsler Toplamı | Her terimdeki değişkenlerin üsleri toplamı daima $n$'dir ($n-r + r = n$). |
Kuvvet Değişimi | Birinci değişken ($x$)'in kuvvetleri azalırken, ikinci değişken ($y$)'nin kuvvetleri artar. |
Katsayılar | Pascal üçgeninin $n$. satırındaki katsayılar: $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \dots, \binom{n}{n}$ |
3. Özel Terimleri Bulma Formülleri
$(x + y)^n$ açılımında $x$'in azalan kuvvetlerine göre:
İstenen Terim | Formül | Açıklama |
Baştan $(r+1)$. terim | $\binom{n}{r} \cdot x^{n-r} \cdot y^r$ | Baştan 5. terim için $r+1=5 \implies r=4$ alınır. |
Sondan $(r+1)$. terim | $\binom{n}{n-r} \cdot x^r \cdot y^{n-r}$ | Tersten sayma. |
Ortadaki terim ($n$ çift) | $r = \frac{n}{2}$ alınır. | Tek bir ortanca terim vardır. |
Ortadaki terim ($n$ tek) | Yoktur. | Terim sayısı çift olduğu için 2 ortanca terim vardır. |
4. Katsayılar Toplamı ve Sabit Terim
Katsayılar Toplamı: İfadedeki tüm değişkenlerin yerine 1 yazılarak hesaplanır ($x=1, y=1 \implies (1+1)^n = 2^n$).
Sabit Terim: Değişkenlerin yerine 0 yazılarak hesaplanır ($x=0, y=0$).
(Önemli İstisna: Eğer değişken paydada yer alıyorsa (örneğin $x + \frac{1}{x}$), $x=0$ ifadeyi tanımsız kıldığı için genel terim kurulup değişkenin üssü 0'a eşitlenir).
✏️ Çözümlü Örnekler
Örnek 1 (Açılım Yapma):
$(2x + 3y)^4$ ifadesinin açılımını yapınız.
Çözüm 1:
$n=4$ olduğu için $4+1 = 5$ terim vardır.
Genel terim: $\binom{4}{r} (2x)^{4-r} (3y)^r$
$r=0 \implies \binom{4}{0} (2x)^4 (3y)^0 = 1 \cdot 16x^4 \cdot 1 = 16x^4$
$r=1 \implies \binom{4}{1} (2x)^3 (3y)^1 = 4 \cdot 8x^3 \cdot 3y = 96x^3y$
$r=2 \implies \binom{4}{2} (2x)^2 (3y)^2 = 6 \cdot 4x^2 \cdot 9y^2 = 216x^2y^2$
$r=3 \implies \binom{4}{3} (2x)^1 (3y)^3 = 4 \cdot 2x \cdot 27y^3 = 216xy^3$
$r=4 \implies \binom{4}{4} (2x)^0 (3y)^4 = 1 \cdot 1 \cdot 81y^4 = 81y^4$
Sonuç: $16x^4 + 96x^3y + 216x^2y^2 + 216xy^3 + 81y^4$
Örnek 2 (Katsayılar Toplamı ve Sabit Terim):
$(3x - 2y + 1)^5$ ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamını ve $(x^2 - 2x + 3)^4$ ifadesinin sabit terimini bulunuz.
Çözüm 2:
- Katsayılar Toplamı: $x=1, y=1$ yazılır:
$$(3(1) - 2(1) + 1)^5 = (3 - 2 + 1)^5 = 2^5 = \mathbf{32}$$
- Sabit Terim: $x=0$ yazılır:
$$(0^2 - 2(0) + 3)^4 = 3^4 = \mathbf{81}$$
Örnek 3 (Baştan Belirli Bir Terim):
$(x - 2y)^7$ açılımında baştan 4. terimi bulunuz.
Çözüm 3:
Baştan $(r+1)$. terim $= 4 \implies r = 3$.
Formül: $\binom{7}{3} \cdot x^{7-3} \cdot (-2y)^3$
$\binom{7}{3} = 35$, $x^4$, $(-2y)^3 = -8y^3$
Çarpım: $35 \cdot (-8) \cdot x^4 y^3 = \mathbf{-280 x^4 y^3}$
Örnek 4 (Belirli Bir Değişken Üssüne Sahip Terimin Katsayısı - Özgün):
$$\left(x^2 - \frac{3}{x}\right)^5$$
açılımında $x^4$'lü terimin katsayısını bulunuz.
Çözüm 4:
Aradığımız terim genel terim formülü ile ifade edilir:
$$\text{Terim} = \binom{5}{r} \cdot (x^2)^{5-r} \cdot \left(-\frac{3}{x}\right)^r$$
Değişkenlerin üslerini düzenleyelim:
$$\text{Terim} = \binom{5}{r} \cdot x^{10-2r} \cdot (-3)^r \cdot x^{-r} = \binom{5}{r} \cdot (-3)^r \cdot x^{10-3r}$$
Bizden $x^4$'lü terim istendiği için $x$'in üssünü 4'e eşitleyelim:
$$10 - 3r = 4 \implies 3r = 6 \implies r = 2$$
$r = 2$ değerini formülde yerine yazarak katsayıyı hesaplayalım:
$$\text{Katsayı} = \binom{5}{2} \cdot (-3)^2 = 10 \cdot 9 = \mathbf{90}$$
Böylece $x^4$'lü terim $90x^4$ olarak bulunur, katsayısı ise 90'dır.
⚠️ Sık Yapılan Hatalar
🔴Terim Sayısını $n$ Sanmak: $(x+y)^n$ açılımındaki terim sayısı $n$ değil, $n+1$'dir.
🔴Baştan Terim Formülünde $r$'yi Yanlış Seçmek: Baştan 4. terim için $r=4$ değil, $r=3$'tür ($r+1=4 \implies r=3$).
🔴Paydada Değişken Varsa Sabit Terim İçin 0 Yazmak: Paydada değişken varken $x=0$ yazılamaz; üs $0$'a eşitlenerek $r$ bulunur.
Alıştırma Soruları
Bu konuyu ne kadar öğrendiğini test et!