10. Grafik Uygulamaları
Fonksiyon Grafikleri ile İlgili Uygulamalar
🎯Kazanımlar
Bu bölümü tamamladığında;
- Grafik üzerindeki $(x, y)$ ikililerini $y = f(x)$ ve $x = f^{-1}(y)$ bağıntılarıyla ilişkilendirip değer okuması yapabilecek,
- İki noktası verilen doğrusal grafiklerde ortalama değişim hızını ($m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$) hesaplayabilecek,
- Grafik üzerinde $f(x) > 0$ (pozitif) ve $f(x) < 0$ (negatif) bölgeleri ile kökleri ($f(x) = 0$) ayırabilecek,
- Gerçek yaşam senaryolarını (fidan uzaması, yakıt tüketimi, mum erimesi vb.) bağımlı/bağımsız değişken ilişkileriyle doğrusal fonksiyon denklemine dönüştürebileceksin.
📖Konu Anlatımı
1. Grafik Üzerinde Değer Okuma, Bileşke ve Ters Analizi
Grafik üzerinde değer bulma, bileşke ve ters fonksiyon işlemlerinde aranan değerin ait olduğu kümeye bağlı olarak eksen kontrolü doğru yapılmalıdır:
$f(a) = b$ Değeri: Yatay eksendeki ($x$) $a$ noktası bulunur ve düşey eksendeki ($y$) karşılığı $b$ okunur.
$f^{-1}(b) = a$ Değeri: Düşey eksendeki ($y$) $b$ noktası bulunur ve yatay eksendeki ($x$) karşılığı $a$ okunur.
$x$-Ekseni Üzerindeki Noktalar ($f(x) = 0$): Grafiğin $x$-eksenine dokunduğu veya kestiği noktalardır. Bu noktaların $x$ değerlerine fonksiyonun kökleri (sıfırları) denir.
$y$-Ekseni Üzerindeki Nokta ($f(0) = c$): Grafiğin $y$-eksenini kestiği başlangıç noktasıdır ($x = 0$).
2. Doğrusal Fonksiyon Kuralını Bulma ve Değişim Hızı
Doğrusal Denklem Kurma: Grafik üzerindeki belirgin noktalardan yararlanılarak genel $f(x) = mx + n$ denklemi oluşturulur.
Değişim Hızı (Eğim - $m$): Bir doğrunun eğimini hesaplamak, o doğrunun temsil ettiği fonksiyonun birim zamandaki değişim hızını bulmak anlamına gelir.
Grafik üzerinde belirlenen $A(x_1, y_1)$ ve $B(x_2, y_2)$ noktaları için değişim hızı (eğim):
$$\mathbf{m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}}$$
3. Grafiklerde İşaret ve Eşitsizlik Analizi
$f(x) > 0$ (Pozitif Bölgeler): Grafiğin $x$-ekseninin ÜSTÜNDE kalan kısımlarıdır.
$f(x) < 0$ (Negatif Bölgeler): Grafiğin $x$-ekseninin ALTINDA kalan kısımlarıdır.
$f(x) = 0$: Tam $x$-ekseni üzerindeki kök noktalarıdır.
4. Doğrusal Fonksiyon Hikâyeleri (Gerçek Hayat Modellemesi)
Girdi elemanları arasındaki değişim sabitken, çıktı elemanları arasındaki değişim de sabit ise bu durum doğrusal fonksiyon modelleri ile ifade edilir.
📌Günlük Hayattan Doğrusal İlişki Modelleri:
Bağımsız Değişken ($x$) | Bağımlı Değişken ($y = f(x)$) | İlişkinin Türü ve Değişim Mantığı |
Zaman | Alınan Yol | Zaman ilerledikçe alınan toplam yol sabit hızla artar. |
Gidilen Yol | Tüketilen Yakıt | Mesafe arttıkça harcanan yakıt miktarı doğrusal artar. |
Zaman | Bitki Boyu | Zaman geçtikçe bitkinin boyu başlangıç boyundan itibaren sabit hızla uzar. |
Çalışma Süresi | Çözülen Soru | Süre arttıkça çözülen toplam soru sayısı doğrusal olarak birikir. |
Yanma Süresi | Kalan Mum Boyu | Zaman geçtikçe mumun boyu başlangıç uzunluğundan azalarak eksilir. |
✏️Çözümlü Örnekler
Örnek 1 (Grafik Üzerinden Nokta Okuma ve İşlem):
$y = f(x)$ fonksiyonunun grafiği $A(-5, 0)$, $B(0, 4)$, $C(2, 7)$ ve $D(6, 0)$ noktalarından geçmektedir.
$$\frac{f(0) + f^{-1}(7)}{f(6) + 2}$$
ifadesinin değerini bulunuz.
Çözüm:
$A(-5, 0) \implies f(-5) = 0$
$B(0, 4) \implies f(0) = 4$
$C(2, 7) \implies f(2) = 7 \implies f^{-1}(7) = 2$
$D(6, 0) \implies f(6) = 0$
İfadeyi hesaplayalım:
$$\frac{4 + 2}{0 + 2} = \frac{6}{2} = \mathbf{3}.$$
Örnek 2 (İki Noktada Ortalama Değişim Hızı):
$f(x) = 2x^2 + 3x - 1$ fonksiyonunun $[1, 4]$ aralığındaki ortalama değişim hızını bulunuz.
Çözüm:
$x_1 = 1 \implies f(1) = 2(1)^2 + 3(1) - 1 = 2 + 3 - 1 = 4$
$x_2 = 4 \implies f(4) = 2(4)^2 + 3(4) - 1 = 32 + 12 - 1 = 43$
Ortalama değişim hızı formülü:
$$\text{Değişim Hızı} = \frac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \frac{43 - 4}{3} = \frac{39}{3} = \mathbf{13}.$$
Örnek 3 (Grafikten İşaret ve Eşitsizlik Analizi):
$y = f(x)$ fonksiyonunun $x$-eksenini kestiği noktalar $x = -4$, $x = 1$ ve $x = 5$'tir.
Grafik $(-4, 1)$ aralığında $x$-ekseninin üstünde, $(1, 5)$ aralığında $x$-ekseninin altında kaldığına göre $f(x) > 0$ eşitsizliğinin bu aralıktaki çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
$f(x) > 0$ olması grafiğin $x$-ekseninin üstünde kaldığı bölgedir. Kökler $x$-ekseni üzerinde $f(x) = 0$ yaptığı için açık aralık alınır:
$$\mathbf{\text{Çözüm Kümesi} = (-4, 1)}.$$
Örnek 4 (Hikâyeli Fidan Boyu Uzama Problemi - Özgün Soru):
Dikildiğinde 15 cm boyunda olan bir fidanın boyunun zamana göre değişimi doğrusal bir grafik belirtmektedir. Fidan dikildikten 5 ay sonra boyu 35 cm olduğuna göre:
a) Fidanın boyunun zamana bağlı değişimini gösteren $f(x)$ fonksiyon kuralını yazınız.
b) Fidan dikildikten kaç ay sonra boyunun 75 cm olacağını bulunuz.
Çözüm:
a) Bağımsız değişken zaman ($x$), bağımlı değişken fidanın boyudur ($y = f(x)$).
Başlangıçta ($x = 0$): $f(0) = 15 \implies (0, 15)$ noktası.
5 ay sonra ($x = 5$): $f(5) = 35 \implies (5, 35)$ noktası.
Değişim hızı (eğim):
$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{35 - 15}{5 - 0} = \frac{20}{5} = 4\text{ cm/ay}$$
$f(x) = mx + n$ kuralında başlangıç $n = 15$ ve eğim $m = 4$ yerine yazılır:
$$\mathbf{f(x) = 4x + 15}$$
b) $f(x) = 75 \implies 4x + 15 = 75 \implies 4x = 60 \implies \mathbf{x = 15\text{. ay}}.$
Örnek 5 (Grafikte Bileşke Değer Okuma):
$y = f(x)$ grafiğinde $f(-2) = 3$, $f(3) = 5$ ve $f(5) = 0$ olduğu biliniyor.
$$(f \circ f)(-2)$$
ifadesinin değerini bulunuz.
Çözüm:
Sağdan sola uygulayalım: $(f \circ f)(-2) = f(f(-2))$.
$f(-2) = 3$
$f(3) = 5$
$$\implies (f \circ f)(-2) = \mathbf{5}.$$
Örnek 6 (Ters Fonksiyon Grafikten Okuma):
$y = f(x)$ grafiğinin eksenleri kestiği noktalar $(0, -3)$, $(2, 0)$ ve üzerindeki bir nokta $(4, 5)$'tir.
$$f^{-1}(-3) + f^{-1}(0) + f^{-1}(5)$$
toplamını bulunuz.
Çözüm:
$(0, -3) \implies f(0) = -3 \implies f^{-1}(-3) = 0$
$(2, 0) \implies f(2) = 0 \implies f^{-1}(0) = 2$
$(4, 5) \implies f(4) = 5 \implies f^{-1}(5) = 4$
$$\text{Toplam} = 0 + 2 + 4 = \mathbf{6}.$$
Örnek 7 (Grafikle Denklem Çözümü $f(x) = k$):
$y = f(x)$ fonksiyonunun grafiği $y = 3$ yatay doğrusunu $x = -1$, $x = 2$ ve $x = 6$ olmak üzere 3 noktada kesmektedir.
$f(x) = 3$ denkleminin kökleri toplamı kaçtır?
Çözüm:
Grafik ile $y = 3$ doğrusunun kesişim noktalarının $x$-koordinatları $f(x) = 3$ denkleminin kökleridir:
Kökler: $x_1 = -1, x_2 = 2, x_3 = 6$.
$$\text{Kökler Toplamı} = (-1) + 2 + 6 = \mathbf{7}.$$
Örnek 8 (Doğrusal Grafik Denklemi Kurup Değer Bulma):
Analitik düzlemde $(0, 6)$ ve $(3, 0)$ noktalarından geçen $y = f(x)$ doğrusu veriliyor. $f(5)$ değerini bulunuz.
Çözüm:
Eksen kesişimlerinden doğru denklemi:
$$\frac{x}{3} + \frac{y}{6} = 1 \implies 2x + y = 6 \implies f(x) = -2x + 6$$
$x = 5$ yazalım:
$$f(5) = -2(5) + 6 = -10 + 6 = \mathbf{-4}.$$
⚠️Sık Yapılan Hatalar
🔴Ters Okumada Eksenleri Karıştırmak: $f^{-1}(k)$ istendiğinde $k$ sayısı $x$-ekseninde değil, $y$-ekseninde bulunup grafiğe gidilmelidir.
🔴Eşitsizliklerde Kökleri Dahil Etmek: $f(x) > 0$ eşitsizliğinde $x$-eksenini kesen noktalar ($f(x) = 0$) aralığa dahil edilmez (açık aralık alınır).
🔴Değişim Hızında İşaret Hatası: Azalan grafikte eğim ($m$) negatif olmalıdır; artan grafikte pozitif olmalıdır.
Alıştırma Soruları
Bu konuyu ne kadar öğrendiğini test et!