9. Bölünebilme Kuralları

 1.9 Bölünebilme Kuralları

 🎯 Kazanımlar

Bu bölümü tamamladığında:

• $2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11, 25$ sayılarına bölünebilme kurallarını uygulayabilecek,
• Bu kuralları kullanarak bir sayının belirtilen sayıya bölümünden kalanı hızlıca bulabilecek,
• Aralarında asal çarpanlara ayrıştırma yoluyla bileşik sayılara (6, 12, 15, 18, 24, 30, 44 gibi) bölünebilme kurallarını doğru biçimde türetebileceksin.

 📖Konu Anlatımı

 Basamak Odaklı Kurallar

Bazı bölünebilme kuralları, sayının yalnızca son birkaç basamağına bakılarak belirlenir; bu, o sayının kalanının doğrudan basamak değerlerinden geldiği anlamına gelir.

 Neden yalnızca son basamaklara bakılır? $10^n$ sayısı, $n\geq 2$ için hem $4$'e hem $25$'e (çünkü $100=4\cdot25$), $n\geq3$ için $8$'e (çünkü $1000=8\cdot125$) tam bölünür. Bu nedenle bir sayının son iki/üç basamaktan önceki kısmı, bu bölenlere göre kalan üretmez; kalanın tamamı son basamaklardan gelir.

 Rakamlar Toplamına Dayalı Kurallar

 Almaşık (Sağdan Sola +/−) Kurala Dayalı Bölen

11 ile bölünebilme: Sayının rakamları sağdan sola $(+),(-),(+),(-),\dots$ şeklinde işaretlenip toplanır. Bu toplam $11$'in katı ise sayı $11$'e tam bölünür.

Beş basamaklı $\overline{abcde}$ sayısı için:

$$(a+c+e)-(b+d)$$

işleminin sonucu $11$'e bölünerek kalan bulunur.

 ⚠️ İşlem sonucu negatif çıkarsa, kalan pozitif bir değer elde edilene kadar sonuca $11$'in katları eklenir.

Aralarında Asal Çarpanlara Ayırarak Bölünebilme

İki farklı bölene birden tam bölünen bir sayının, bu iki bölenin çarpımına da bölünüp bölünmeyeceği sorusu, çarpanların birbirleriyle ortak böleninin olup olmamasına bağlıdır. Çarpanlar aralarında asalsa ($\gcd(m,n)=1$), yani $1$'den başka ortak bölenleri yoksa, çarpımlarına da tam bölünme garanti edilir.

 Neden çarpanların aralarında asal olması şart? $\gcd(m,n)=1$ değilse bu kural geçersiz olabilir. Örneğin bir sayı hem $2$'ye hem $6$'ya bölünüyor diye $2\cdot6=12$'ye bölünmek zorunda değildir: $18$ sayısı hem $2$'ye hem $6$'ya tam bölünür, ama $12$'ye bölünmez ($18\div12$ tam sayı vermez). Burada $\gcd(2,6)=2\neq1$ olduğundan çarpanlar aralarında asal değildir ve kural çalışmaz. Doğru ayrıştırma $12=3\times4$ biçiminde olmalıdır, çünkü $\gcd(3,4)=1$'dir.

Bu mantıkla oluşturulan yaygın kurallar:

 Bölen İlişkisi

Bir $A$ sayısı $k$ sayısına tam bölünüyorsa, $k$'nin tüm pozitif bölenlerine de tam bölünür. Örneğin $12$'ye bölünen bir sayı, otomatik olarak $1,2,3,4,6,12$'ye de bölünür.

 Pratik strateji: Birden fazla bölünebilme kuralı gereken sorularda, önce basamak odaklı kurallara ($2,5,10,4,8,25$), ardından rakamlar toplamına dayalı kurallara ($3,9$), en son almaşık kurala ($11$) bakmak işlem yükünü azaltır — ancak bu zorunlu bir sıralama değil, yalnızca pratik bir tercihtir.

 ✏️Örnekler

Örnek 1: $\overline{58a4}$ dört basamaklı sayısı $4$'e tam bölündüğüne göre $a$ rakamının alabileceği değerleri bulunuz.

Çözüm: $4$ kuralı son iki basamağa bakar: $\overline{a4}$ sayısının $4$'e tam bölünmesi gerekir.

$$04, 24, 44, 64, 84$$

değerleri $4$'e tam bölünür ($0,2,4,6,8$ değerleriyle). $a \in \{0,2,4,6,8\}$.

Örnek 2: $\overline{7b2}$ üç basamaklı sayısı $3$'e tam bölündüğüne göre $b$ rakamının alabileceği en büyük değeri bulunuz.

Çözüm: Rakamlar toplamı $3$'ün katı olmalıdır:

$$7+b+2 = 9+b$$

$9$ zaten $3$'ün katı olduğundan, $b$'nin de $3$'ün katı olması gerekir: $b\in\{0,3,6,9\}$. En büyük değer $b=9$.

Örnek 3: $547328$ sayısının $8$'e bölümünden kalanı bulunuz.

Çözüm: Son üç basamak $328$'dir.

$$328 = 8\cdot 41 + 0$$

$328$ tam bölündüğünden kalan 0'dır (sayı $8$'e tam bölünür).

Örnek 4: $\overline{4a53b}$ beş basamaklı sayısının $11$'e tam bölünmesi için $a-b$ farkının alabileceği bir değeri bulunuz ($a,b$ birer rakam).

Çözüm: Sağdan sola işaretleme: $b(+), 3(-), 5(+), a(-), 4(+)$.

$$(b+5+4)-(3+a) = (b+9)-(3+a) = b-a+6$$

Bu ifadenin $11$'in katı olması gerekir. En basit durum $b-a+6=0$, yani $a-b=6$'dır.

Örnek 5: Bir sayı hem $3$'e hem $4$'e tam bölünüyorsa bu sayının $12$'ye de tam bölüneceğini gösteriniz.

Çözüm: $3$ ve $4$ sayılarının ortak pozitif böleni yalnızca $1$'dir, yani $\gcd(3,4)=1$; bu iki sayı aralarında asaldır. Ortak böleni olmayan iki sayıya birden tam bölünen bir sayı, çarpımlarına da bölünmek zorundadır:

$$3\times 4 = 12$$

Dolayısıyla hem $3$'e hem $4$'e bölünen bir sayı $12$'ye de tam bölünür.

Örnek 6: Bir sayının hem $2$'ye hem $6$'ya bölünmesinin, bu sayının $12$'ye bölüneceği anlamına gelmediğini bir karşı örnekle gösteriniz.

Çözüm: $18$ sayısını inceleyelim: $18\div2=9$ (tam bölünür), $18\div6=3$ (tam bölünür). Ancak $18\div12 = 1{,}5$ tam bölünmez.

Bunun nedeni $\gcd(2,6)=2\neq1$ olmasıdır; $2$ ve $6$ aralarında asal olmadığından "iki bölene birden bölünme → çarpımına bölünme" kuralı burada geçerli değildir.

Örnek 7: $\overline{62c00}$ beş basamaklı sayısı $25$'e tam bölündüğüne göre $c$ rakamının alabileceği değerleri bulunuz.

Çözüm: $25$ kuralı gereği son iki basamağın ($\overline{c0}$ değil, burada zaten sayı $\dots c00$ biçiminde bittiğinden son iki basamak "$00$"dır) $00,25,50,75$'ten biri olması gerekir. Sayı zaten $\dots 00$ ile bittiğinden bu şart her $c$ değeri için otomatik olarak sağlanır. $c\in\{0,1,2,\dots,9\}$, yani $c$ herhangi bir rakam olabilir.

Örnek 8: $N$ sayısı hem $2$'ye hem $9$'a tam bölünen üç basamaklı en küçük sayı olduğuna göre $N$'yi bulunuz.

Çözüm: $2$ ve $9$ aralarında asaldır ($\gcd(2,9)=1$), bu nedenle $N$'nin $18$'e tam bölünmesi gerekir. Üç basamaklı en küçük $18$ katı:

$$18\times 6 = 108$$

$N=108$'dir (kontrol: $108\div2=54$ ✓, $108\div9=12$ ✓).

 ⚠️ Sık Yapılan Hatalar

 🔴Aralarında asal olmayan çarpanlarla "birleşik kural" türetmeye çalışmak: $2$ ve $6$'ya bölünen bir sayının $12$'ye bölüneceğini varsaymak yaygın bir hatadır; kural yalnızca çarpanlar aralarında asalken geçerlidir (bkz. Örnek 6).

 🔴11 kuralında işaretleme yönünü karıştırmak: İşaretleme sağdan sola ($+,-,+,-,\dots$) yapılır; soldan başlanırsa basamak sayısı çift/tek olduğunda farklı (ve yanlış) bir sonuç çıkabilir.

 🟡4 ve 8 kurallarında "00" ve "000" durumlarını atlamak: Son iki basamağı $00$ olan bir sayı da $4$'e (hatta $100$'e), son üç basamağı $000$ olan bir sayı da $8$'e (hatta $1000$'e) tam bölünür; bu özel durum unutulmamalıdır.

 🟡3 ve 9 kurallarını karıştırmak: Rakamlar toplamı $3$'ün katıysa sayı yalnızca $3$'e bölünür; $9$'a bölünmesi için toplamın $9$'un katı olması gerekir. Toplamı $3$'ün katı ama $9$'un katı olmayan sayılar (örn. rakamlar toplamı $6$ olan bir sayı) $3$'e bölünür ama $9$'a bölünmez.