1. SAYI KÜMELERİNDE İŞLEMLER, İŞLEM YETENEĞİ

 SAYI KÜMELERİ TANIMI

Sayılar, farklı özelliklerine göre kümelere ayrılır. Bu kümeleri tanımak, işlemleri doğru yapabilmenin ilk adımıdır.

Doğal Sayılar ($\mathbb{N}$)

Sayma işleminde kullanılan pozitif tam sayılardır.

1, 2, 3, ... şeklinde devam eden pozitif tam sayılar kümesidir. Genellikle sayma işlemlerinde kullanılırlar.

$$\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, 5, ...\}$$

Özellikler:

-   En küçük doğal sayı 1'dir

-   En büyük doğal sayı yoktur (sonsuz sayıda doğal sayı vardır)

-   Sıfır (0) doğal sayı değildir

-   Negatif sayılar ve kesirli sayılar doğal sayı değildir

-   Her doğal sayının bir sonraki doğal sayısı vardır (ardışıklık özelliği)

Örnekler:

1.  Doğal sayılar: 1, 7, 15, 100, 1453, 2024

2.  Doğal sayı olmayanlar: 0, -5, 3.5, ½, √2

Tam Sayılar ($\mathbb{Z}$)

Tam sayılar, negatif ve pozitif bütün sayılar ile sıfırdan oluşur. Doğal sayılara negatif tam sayılar eklenerek elde edilir.

..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... şeklinde sonsuza kadar devam eden negatif ve pozitif tam sayılar ile sıfırdan oluşan kümedir.

$\mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$

Pozitif Tam Sayılar: $\mathbb{Z}^+ = \{1, 2, 3, ...\}$

Negatif Tam Sayılar: $\mathbb{Z}^- = \{..., -3, -2, -1\}$

Rasyonel Sayılar ($\mathbb{Q}$)

Rasyonel sayılar, iki tam sayının birbirine oranı şeklinde yazılabilen sayılardır. Ondalık gösterimleri sonlu ya da devirli (tekrarlı) olabilir.

Payı ve paydası tam sayı olan (payda sıfırdan farklı), kesirli veya tam sayı şeklinde yazılabilen sayılardır.

$\mathbb{Q} = \left\{\frac{a}{b} \mid a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\right\}$

1.  Kesir şeklinde yazılabilen sayılar, $\frac{3}{4}, 0.75, 1.333$

2.  Ondalık açılımı sonlu veya periyodik olan sayılar da rasyoneldir.

Devirli Ondalık Sayılar

Devirli ondalık sayılar, ondalık gösteriminde bir veya daha fazla rakamın sonsuza kadar tekrar ettiği sayılardır. Tekrar eden kısım üzerine çizgi (vinculum) konularak gösterilir.

Örnekler:

- $0.333... = 0.\overline{3} = \frac{1}{3}$

- $0.1666... = 0.1\overline{6} = \frac{1}{6}$

- $0.142857142857... = 0.\overline{142857} = \frac{1}{7}$

Not: Devirli ondalık sayılar rasyonel sayılardır. Bu konu sonraki bölümlerde deney örnekleri ile ayrıntılı olarak incelenecektir.

İrrasyonel Sayılar 

Kesirli olarak yazılamayan, ondalık açılımı sonsuza kadar devam eden ve hiçbir şekilde tekrar etmeyen sayılardır.

-   Kesir şeklinde yazılamayan sayılar

-   Ondalık açılımı sonsuz ve periyodik olmayan

-   Örnek: $\sqrt{2}$, $\pi$, $e$

Gerçel Sayılar ($\mathbb{R}$ )

Gerçel sayılar, rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşiminden oluşur. Sayı doğrusu üzerindeki tüm noktaları kapsar.

$\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{Q}'$

-   Rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşimi

Sanal Sayılar

Sanal sayılar, karesi negatif olan sayılardır. Matematikte genellikle $i$ harfiyle gösterilir ve $i^2 = -1$ eşitliğiyle tanımlanır.

- Sembolle Gösterimi:$i = \sqrt{-1}$

Karmaşık Sayılar ($\mathbb{C}$)

Karmaşık sayılar, bir gerçel ve bir sanal kısmın toplamı şeklinde yazılır. Matematikte tüm sayıları kapsayan en geniş kümedir.

Bir gerçel sayı ile bir sanal sayının toplamı şeklinde yazılabilen sayılardır. $z = a + bi$ biçimindedir ($a, b \in \mathbb{R}$).

$\mathbb{C} = \{a + bi \mid a, b \in \mathbb{R}\}$

Sayı Kümeleri Arasındaki İlişki

Aşağıdaki şekilde kümeler arasındaki kapsama ilişkisi gösterilmiştir:

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$$

- Doğal sayılar, tam sayıların alt kümesidir.

- Tam sayılar, rasyonel sayıların alt kümesidir.

- Rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşimi gerçel sayıları oluşturur.

- Gerçel sayılar, karmaşık sayıların alt kümesidir.

- Sanal sayılar, gerçel sayıların dışında kalan karmaşık sayıların bir parçasıdır.

Not:Her doğal sayı bir tam sayıdır, her tam sayı bir rasyonel sayıdır, her rasyonel sayı bir gerçel sayıdır, her gerçel sayı bir karmaşık sayıdır.

SAYI KÜMELERİ İLE İLGİLİ ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

Örnek 1: Sayıları Sayı Kümelerine Göre Sınıflandırma

Soru: Aşağıdaki sayıların ait oldukları sayı kümelerini belirtiniz.

$$1, \quad -5, \quad \sqrt{9}, \quad \frac{2}{3}, \quad \sqrt{2}, \quad 0, \quad -3.5$$

Çözüm:

Örnek 2: Ortak Özellik Taşıyan Sayıları Bulma

Soru: Aşağıdaki sayılardan kaçı hem doğal sayı, hem rasyonel sayı, hem de gerçel sayıdır?

$$-2, \quad 0, \quad 5, \quad \frac{1}{4}, \quad 7, \quad -\sqrt{3}$$

Çözüm:

Bir sayının hem doğal sayı, hem rasyonel sayı, hem de gerçel sayı olması için öncelikle doğal sayı olması gerekir.

- $-2$: Doğal sayı değildir (negatif) ✗

- $0$: Doğal sayıdır, rasyoneldir, gerçeldir ✓

- $5$: Doğal sayıdır, rasyoneldir, gerçeldir ✓

- $\frac{1}{4}$: Doğal sayı değildir (kesir) ✗

- $7$: Doğal sayıdır, rasyoneldir, gerçeldir ✓

- $-\sqrt{3}$: Doğal sayı değildir (negatif ve irrasyonel) ✗

Sonuç: 3 sayı (0, 5, 7) bu koşulu sağlar.

Örnek 3: Devirli Ondalık Sayılar

Soru: $0.333...$, $1.272727...$, $0.121212...$ sayılarını inceleyin ve hangi sayı kümelerine ait olduklarını belirtiniz.

Çözüm:

- $0.333... = 0.\overline{3} = \frac{1}{3}$ (devirli) → Rasyonel sayıdır, gerçel sayıdır

- $1.272727... = 1.\overline{27} = \frac{126}{99} = \frac{14}{11}$ (devirli) → Rasyonel sayıdır, gerçel sayıdır

- $0.121212... = 0.\overline{12} = \frac{12}{99} = \frac{4}{33}$ (devirli) → Rasyonel sayıdır, gerçel sayıdır

Not: Devirli ondalık sayılar rasyonel sayılardır.

Örnek 4: İrrasyonel ve Rasyonel Sayıları Ayırt Etme

Soru: Aşağıdaki sayılardan hangileri irrasyonel, hangileri rasyoneldir?

$$\pi, \quad \sqrt{16}, \quad \frac{22}{7}, \quad e, \quad \sqrt{5}, \quad 2.5$$

Çözüm:

Rasyonel Sayılar:

- $\sqrt{16} = 4$ (tam sayı, kesirli yazılır) ✓

- $\frac{22}{7}$ (kesir şeklinde yazılabilir) ✓

- $2.5 = \frac{5}{2}$ (sonlu ondalık) ✓

İrrasyonel Sayılar:

- $\pi$ (sonsuz, tekrarsız ondalık) ✓

- $e$ (sonsuz, tekrarsız ondalık) ✓

- $\sqrt{5}$ (sonsuz, tekrarsız ondalık) ✓

Örnek 5: Karmaşık Sayılar

Soru: Aşağıdaki sayıları karmaşık sayılar cinsinden yazınız ve gerçel ve sanal kısımlarını belirtiniz.

$$3, \quad -2i, \quad 4 + 3i, \quad 5 - 2i$$

Çözüm:

Not: Gerçel sayılar karmaşık sayıların özel durumudur (sanal kısmı 0).

Örnek 6: Sayı Kümelerinin Özellik Analizi

Soru: Aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

A) Her doğal sayı bir tam sayıdır.

B) Her tam sayı bir rasyonel sayıdır.

C) Her irrasyonel sayı bir gerçel sayıdır.

D) Her rasyonel sayı bir irrasyonel sayıdır.

E) Her gerçel sayı bir karmaşık sayıdır.

Çözüm:

- A) Doğru. $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ ✓

- B) Doğru. Her tam sayı $\frac{n}{1}$ şeklinde yazılabilir ✓

- C) Doğru. $\mathbb{Q}' \subset \mathbb{R}$ ✓

- D) Yanlış. Rasyonel sayılar ve irrasyonel sayılar birbirinin zıttıdır. Bir sayı aynı anda rasyonel ve irrasyonel olamaz. ✗

- E) Doğru. $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ ✓

Cevap: D

İŞLEM ÖNCELİĞİ

1. Parantez İçi

2. Üst Alma  (üs, kök)

3. Çarpma/Bölme

4. Toplama/Çıkarma

ÖNEMLİ: Çarpma-bölme ve toplama-çıkarma kendi aralarında soldan sağa yapılır!

 ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

 Örnek 1: İşlem Önceliği

Soru: $3 + 2 \times 5^2 - 4 \div 2$ işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm:

$3 + 2 \times 5^2 - 4 \div 2$

$= 3 + 2 \times 25 - 4 \div 2$ (Önce üs)

$= 3 + 50 - 2$ (Çarpma ve bölme soldan sağa)

$= 53 - 2$ (Toplama ve çıkarma soldan sağa)

$= 51$

 Örnek 2: Parantezli İşlemler

Soru: $(3 + 2) \times (4^2 - 2 \times 3)$ işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm:

$(3 + 2) \times (4^2 - 2 \times 3)$

$= 5 \times (16 - 6)$ (Parantez içi önce)

$= 5 \times 10$

$= 50$

 Örnek 3: Karmaşık İşlem

Soru: $2^3 + 3 \times (5 - 2)^2 \div 9 - 1$ işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm:

$2^3 + 3 \times (5 - 2)^2 \div 9 - 1$

$= 8 + 3 \times 3^2 \div 9 - 1$ (Üs ve parantez)

$= 8 + 3 \times 9 \div 9 - 1$ (Üs)

$= 8 + 27 \div 9 - 1$ (Çarpma)

$= 8 + 3 - 1$ (Bölme)

$= 10$ (Soldan sağa)

 Örnek 4: Çok Adımlı İşlem

Soru: $4 + 3 \times 2^2 - 6 \div 3$ işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm:

$4 + 3 \times 2^2 - 6 \div 3$

$= 4 + 3 \times 4 - 6 \div 3$ (Önce üs)

$= 4 + 12 - 2$ (Çarpma ve bölme soldan sağa)

$= 16 - 2$ (Toplama)

$= 14$

 Örnek 5: Karmaşık Parantezli İşlem

Soru: $(2 + 3)^2 - 4 \times (6 - 2) + 1$ işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm:

$(2 + 3)^2 - 4 \times (6 - 2) + 1$

$= 5^2 - 4 \times 4 + 1$ (Parantez içi işlemler)

$= 25 - 16 + 1$ (Üs ve çarpma)

$= 9 + 1$ (Soldan sağa)

$= 10$

 Örnek 6: Negatif Sayılarla İşlem

Soru: $-2^3 + (-2)^3 - 2 \times (-3)$ işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm:

$-2^3 + (-2)^3 - 2 \times (-3)$

$= -8 + (-8) - 2 \times (-3)$ (Üs işlemleri)

$= -8 + (-8) - (-6)$ (Çarpma)

$= -8 - 8 + 6$ (İşaret kuralları)

$= -16 + 6$

$= -10$

 İŞLEM ÖZELLİKLERİ

 Toplama İşlemi:

- Değişme Özelliği: $a + b = b + a$

- Birleşme Özelliği: $(a + b) + c = a + (b + c)$

- Etkisiz Eleman: $a + 0 = a$

- Ters Eleman: $a + (-a) = 0$

 Çarpma İşlemi:

- Değişme Özelliği: $a \times b = b \times a$

- Birleşme Özelliği: $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$

- Etkisiz Eleman: $a \times 1 = a$

- Ters Eleman: $a \times \frac{1}{a} = 1$ $(a \neq 0)$

 Dağılma Özelliği:

- $a \times (b + c) = a \times b + a \times c$

- $(a + b) \times c = a \times c + b \times c$

 PÜF NOKTALAR VE DİKKAT EDİLECEKLER

 🎯 Püf Nokta 1: İşaret Kuralları

 🎯 Püf Nokta 2: Sıfır ve Bir ile İşlemler

- $a \times 0 = 0$ (her sayı ile sıfırın çarpımı sıfırdır)

- $0 \div a = 0$ $(a \neq 0)$

- $a \div 0 = \text{tanımsız}$

- $a^1 = a$, $1^n = 1$

 🎯 Püf Nokta 3: Parantez Açma

- $+(a + b) = a + b$

- $-(a + b) = -a - b$

- $+(a - b) = a - b$

- $-(a - b) = -a + b$

 🎯 Püf Nokta 4: Hızlı Hesaplama

- $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$

- $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

- $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

 YAYGIN HATALAR

 ❌ Hata 1: İşlem Önceliği

Yanlış: $6 \div 2 \times 3 = 6 \div 6 = 1$

Doğru: $6 \div 2 \times 3 = 3 \times 3 = 9$

 ❌ Hata 2: Negatif Sayı Karesi

Yanlış: $-3^2 = 9$

Doğru: $-3^2 = -(3^2) = -9$

Not: $(-3)^2 = 9$

 ❌ Hata 3: Sıfır ile Bölme

Yanlış: $5 \div 0 = 0$

Doğru: $5 \div 0 = \text{tanımsız}$

 EK ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

 Örnek 7: Kesirli İşlemler

Soru: $\frac{3}{4} + \frac{2}{3} \times \frac{6}{5} - \frac{1}{2}$ işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm:

$\frac{3}{4} + \frac{2}{3} \times \frac{6}{5} - \frac{1}{2}$

$= \frac{3}{4} + \frac{12}{15} - \frac{1}{2}$ (Önce çarpma)

$= \frac{3}{4} + \frac{4}{5} - \frac{1}{2}$ (Sadeleştirme)

$= \frac{15}{20} + \frac{16}{20} - \frac{10}{20}$ (Ortak payda)

$= \frac{15 + 16 - 10}{20}$

$= \frac{21}{20}$

 Örnek 8: Ondalık Sayılarla İşlem

Soru: $2.5 \times 3.2 + 1.8 \div 0.6 - 4.1$ işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm:

$2.5 \times 3.2 + 1.8 \div 0.6 - 4.1$

$= 8.0 + 3.0 - 4.1$ (Çarpma ve bölme)

$= 11.0 - 4.1$ (Toplama)

$= 6.9$

 Örnek 9: Mutlak Değerli İşlem

Soru: $|3 - 7| + |-5| \times 2 - |4 - 9|$ işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm:

$|3 - 7| + |-5| \times 2 - |4 - 9|$

$= |{-4}| + 5 \times 2 - |{-5}|$ (Mutlak değer hesaplama)

$= 4 + 10 - 5$ (Çarpma)

$= 14 - 5$ (Soldan sağa)

$= 9$

 SONUÇ

Sayı kümelerinde işlem yapabilmek için önce kümelerin özelliklerini, sonra işlem önceliklerini iyi bilmek gerekir. Düzenli pratik ile işlem yeteneği gelişir.