3. TEK VE ÇİFT SAYILAR

 TEMEL KAVRAMLAR

 Çift Sayılar

Tanım: $2k$ şeklinde yazılabilen tam sayılara çift sayı denir. $(k \in \mathbb{Z})$

- $\text{Çift Sayılar} = \{..., -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, ...\}$

- Genel gösterimi: $2k$ veya $2n$

- $2$'ye tam bölünebilen sayılardır

 Tek Sayılar

Tanım: $2k+1$ şeklinde yazılabilen tam sayılara tek sayı denir. $(k \in \mathbb{Z})$

- $\text{Tek Sayılar} = \{..., -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, ...\}$

- Genel gösterimi: $2k+1$ veya $2n+1$

- $2$'ye bölündüğünde kalan $1$ olan sayılardır

 PARİTE KAVRAMI

Parite: Bir sayının tek veya çift olma durumuna parite denir.

 Parite Belirleme:

- Bir sayının son rakamına bakarak parite belirlenir

- Son rakam $0, 2, 4, 6, 8$ ise sayı çifttir

- Son rakam $1, 3, 5, 7, 9$ ise sayı tektir

 TEK VE ÇİFT SAYILARIN ÖZELLİKLERİ

 Toplama İşlemi:

Kurallar:

- $\text{Çift} + \text{Çift} = \text{Çift}$

- $\text{Çift} + \text{Tek} = \text{Tek}$

- $\text{Tek} + \text{Çift} = \text{Tek}$ 

- $\text{Tek} + \text{Tek} = \text{Çift}$

 Çarpma İşlemi:

Kurallar:

- $\text{Çift} \times \text{Çift} = \text{Çift}$

- $\text{Çift} \times \text{Tek} = \text{Çift}$

- $\text{Tek} \times \text{Çift} = \text{Çift}$

- $\text{Tek} \times \text{Tek} = \text{Tek}$

 CEBİRSEL İSPATLAR

 İspat 1: Çift + Çift = Çift

İspat: $a = 2m$ ve $b = 2n$ olsun. $(m, n \in \mathbb{Z})$

$a + b = 2m + 2n = 2(m + n)$

$(m + n) \in \mathbb{Z}$ olduğundan $a + b$ çift sayıdır. $\square$

 İspat 2: Tek × Tek = Tek 

İspat: $a = 2m + 1$ ve $b = 2n + 1$ olsun. $(m, n \in \mathbb{Z})$

$a \times b = (2m + 1)(2n + 1)$

$= 4mn + 2m + 2n + 1$

$= 2(2mn + m + n) + 1$

$(2mn + m + n) \in \mathbb{Z}$ olduğundan $a \times b$ tek sayıdır. $\square$

 İspat 3: Çift × Herhangi Sayı = Çift

İspat: $a = 2m$ (çift) ve $b$ herhangi bir tam sayı olsun.

$a \times b = 2m \times b = 2(mb)$

$(mb) \in \mathbb{Z}$ olduğundan $a \times b$ çift sayıdır. $\square$

 ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

 Örnek 1: Parite Belirleme

Soru: $347 + 528 + 691$ toplamının paritesini bulunuz.

Çözüm:

$347$ (tek) $+ 528$ (çift) $+ 691$ (tek)

Adım adım:

- Tek $+$ Çift $=$ Tek

- Tek $+$ Tek $=$ Çift

Sonuç: Toplam çift sayıdır.

Doğrulama: $347 + 528 + 691 = 1566$ (çift) ✓

 Örnek 2: Çarpma Paritesi

Soru: $15 \times 28 \times 33 \times 44$ çarpımının paritesini bulunuz.

Çözüm:

- $15$ (tek)

- $28$ (çift) 

- $33$ (tek)

- $44$ (çift)

Çarpımda en az bir çift sayı varsa sonuç çifttir.

Sonuç: Çarpım çift sayıdır.

 Örnek 3: Karmaşık İfade

Soru: $n$ tek sayı olmak üzere $n^2 + 3n + 2$ ifadesinin paritesini bulunuz.

Çözüm:

$n$ tek olduğundan $n = 2k + 1$ yazalım.

$n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ (tek)

$3n = 3(2k + 1) = 6k + 3 = 2(3k + 1) + 1$ (tek)

$n^2 + 3n + 2 = \text{tek} + \text{tek} + \text{çift} = \text{çift} + \text{çift} = \text{çift}$

Sonuç: İfade her zaman çift sayıdır.

 Örnek 4: Ardışık Sayılar

Soru: Ardışık üç tam sayının toplamının paritesini bulunuz.

Çözüm:

Ardışık üç sayı: $n$, $n+1$, $n+2$

Durum 1: $n$ çift ise

- $n$ (çift), $n+1$ (tek), $n+2$ (çift)

- Toplam: Çift + Tek + Çift = Tek

Durum 2: $n$ tek ise 

- $n$ (tek), $n+1$ (çift), $n+2$ (tek)

- Toplam: Tek + Çift + Tek = Çift

Genel Sonuç: Ardışık üç sayının toplamı her zaman tektir.

Cebirsel İspat:

$(n) + (n+1) + (n+2) = 3n + 3 = 3(n+1)$

$n+1$ her zaman çift veya tektir:

- $n$ çift ise $n+1$ tek, $3(n+1)$ tek

- $n$ tek ise $n+1$ çift, $3(n+1)$ çift

Ama $3$ tek sayı olduğu için:

$3 \times \text{çift} = \text{çift}$

$3 \times \text{tek} = \text{tek}$

Yanlış! Tekrar düşünelim:

$3(n+1)$ her durumda $3$'ün katıdır, yani tek sayının katıdır.

Doğru analiz: $3n + 3 = 3(n+1)$

- Eğer $n+1$ çift ise, $3(n+1)$ çift

- Eğer $n+1$ tek ise, $3(n+1)$ tek

Sonuç: Parite $n$'e bağlıdır.

 Örnek 5: Kare Sayıların Paritesi

Soru: Bir sayının karesi ile kendisinin aynı paritede olduğunu gösteriniz.

Çözüm:

Durum 1: $n$ çift ise $n = 2k$

$n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$ (çift)

Durum 2: $n$ tek ise $n = 2k + 1$ 

$n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ (tek)

Sonuç: $n$ ve $n^2$ her zaman aynı paritededir. $\square$

 PÜF NOKTALAR VE DİKKAT EDİLECEKLER

 Püf Nokta 1: Hızlı Parite Kontrolü

- Son rakama bak

- Çarpımda bir çift varsa sonuç çift

- Toplamda çift sayıda tek varsa sonuç çift

 Püf Nokta 2: Üslü Sayıların Paritesi

- Çift sayının herhangi kuvveti çift

- Tek sayının herhangi kuvveti tek

- $\text{çift}^n = \text{çift}$

- $\text{tek}^n = \text{tek}$

 Püf Nokta 3: Ardışık Sayı Kuralları

- İki ardışık sayıdan biri çift, biri tek

- $n$ ardışık sayının toplamı:

  - $n$ tek ise: toplam $n$'in katı

  - $n$ çift ise: toplam tek

 Püf Nokta 4: Faktöriyel Paritesi

- $n! = 1 \times 2 \times 3 \times ... \times n$

- $n \geq 2$ için $n!$ her zaman çifttir (çünkü $2$ faktör vardır)

- Sadece $0! = 1! = 1$ tektir

 YAYGIN HATALAR

Hata 1: Çarpım Paritesi

Yanlış: "Tek × Çift = Tek"

Doğru: Tek × Çift = Çift

 Hata 2: Sıfırın Paritesi 

Yanlış: "Sıfır ne çift ne tek"

Doğru: $0 = 2 \times 0$, sıfır çifttir

 Hata 3: Negatif Sayıların Paritesi

Yanlış: "Negatif sayılar için parite farklı"

Doğru: $-4$ çift, $-7$ tektir (işaret paritesi etkilemez)

 EK ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

Örnek 6: Kombinasyon Problemi

Soru: $a$ ve $b$ farklı paritede iki sayı olsun. $a^2 + b^2 + ab$ ifadesinin paritesini bulunuz.

Çözüm:

$a$ çift, $b$ tek olsun (veya tersi).

- $a^2$: çift

- $b^2$: tek 

- $ab$: çift × tek = çift

$a^2 + b^2 + ab = \text{çift} + \text{tek} + \text{çift} = \text{tek}$

Sonuç: İfade her zaman tektir.

Örnek 7: Modüler Aritmetik

Soru: $n^3 - n$ ifadesinin her zaman çift olduğunu gösteriniz.

Çözüm:

$n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1)$

Bu üç ardışık sayının ($n-1$, $n$, $n+1$) çarpımıdır.

Üç ardışık sayıdan en az biri çifttir, dolayısıyla çarpım çifttir.

Sonuç: $n^3 - n$ her zaman çift sayıdır. $\square$

SONUÇ

Tek ve çift sayıların özellikleri sayı teorisinin temelini oluşturur. Parite kurallarını iyi bilmek, karmaşık matematiksel ifadeleri analiz etmede büyük kolaylık sağlar.