DENKLEM KAVRAMI

 Tanım

Denklem: İçinde bilinmeyen ve eşitlik işareti ($=$) bulunan matematiksel ifadeye denklem denir.

Genel Form: $ax + b = 0$ (birinci dereceden denklem)

- $a, b$: Katsayılar ($a \neq 0$)

- $x$: Bilinmeyen

Örnekler:

- $2x + 5 = 13$

- $3x - 7 = 2x + 1$

- $\frac{x}{2} + 4 = 10$

 DENKLEM ÖZELLİKLERİ

 Eşdeğer Denklemler

Tanım: Aynı çözüm kümesine sahip denklemlere eşdeğer denklemler denir.

Gösterim: $\Leftrightarrow$

Örnekler:

- $2x + 5 = 13 \Leftrightarrow 2x = 8 \Leftrightarrow x = 4$

 Denklemlerin Çözümü için Temel Özellikler

 Özellik 1: Toplama-Çıkarma

Denklemin her iki tarafına aynı sayıyı ekleyebilir veya çıkarabiliriz.

$$\text{Eğer } A = B \text{ ise } A + c = B + c$$

Örnek: $x + 5 = 12$

Her iki taraftan 5 çıkaralım:

$$x + 5 - 5 = 12 - 5$$

$$x = 7$$

 Özellik 2: Çarpma-Bölme

Denklemin her iki tarafını sıfır olmayan aynı sayı ile çarpabilir veya bölebiliriz.

$$\text{Eğer } A = B \text{ ise } A \cdot c = B \cdot c$$ ($c \neq 0$)

Örnek: $3x = 15$

Her iki tarafı 3'e bölelim:

$$\frac{3x}{3} = \frac{15}{3}$$

$$x = 5$$

 Özellik 3: Dağılma Özelliği

$$a(b + c) = ab + ac$$

Örnek: $2(x + 3) = 10$

$$2x + 6 = 10$$

$$2x = 4$$

$$x = 2$$

 I. DERECEDEN DENKLEM ÇÖZÜM ADAMLARI

 Genel Algoritma

Adım 1: Parantezleri açın (dağılma özelliği)

Adım 2: Bilinmeyen terimleri bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayın

Adım 3: Benzer terimleri birleştirin

Adım 4: Bilinmeyenin katsayısına bölerek sonuç bulun

 Standart Çözüm:

$ax + b = c$ formundaki denklemi çözelim:

$$ax + b = c$$

$$ax = c - b$$ (her iki taraftan $b$ çıkar)

$$x = \frac{c - b}{a}$$ ($a \neq 0$ ile böl)

 ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

 Örnek 1: Basit Denklem

Soru: $x + 7 = 15$ denklemini çözünüz.

Çözüm:

$$x + 7 = 15$$

$$x = 15 - 7$$ (her iki taraftan 7 çıkar)

$$x = 8$$

Kontrol: $8 + 7 = 15$ ✓

 Örnek 2: Katsayılı Denklem

Soru: $3x - 5 = 10$ denklemini çözünüz.

Çözüm:

$$3x - 5 = 10$$

$$3x = 10 + 5$$ (her iki tarafa 5 ekle)

$$3x = 15$$

$$x = \frac{15}{3}$$ (her iki tarafı 3'e böl)

$$x = 5$$

Kontrol: $3(5) - 5 = 15 - 5 = 10$ ✓

 Örnek 3: Parantez İçeren Denklem

Soru: $2(x + 3) = 14$ denklemini çözünüz.

Çözüm:

$$2(x + 3) = 14$$

$$2x + 6 = 14$$ (parantez aç)

$$2x = 14 - 6$$ (her iki taraftan 6 çıkar)

$$2x = 8$$

$$x = 4$$ (her iki tarafı 2'ye böl)

Kontrol: $2(4 + 3) = 2(7) = 14$ ✓

 Örnek 4: Kesirli Denklem

Soru: $\frac{x}{3} + 2 = 5$ denklemini çözünüz.

Çözüm:

$$\frac{x}{3} + 2 = 5$$

$$\frac{x}{3} = 5 - 2$$ (her iki taraftan 2 çıkar)

$$\frac{x}{3} = 3$$

$$x = 3 \times 3$$ (her iki tarafı 3 ile çarp)

$$x = 9$$

Kontrol: $\frac{9}{3} + 2 = 3 + 2 = 5$ ✓

 Örnek 5: Bilinmeyen Her İki Tarafta

Soru: $2x + 3 = x + 8$ denklemini çözünüz.

Çözüm:

$$2x + 3 = x + 8$$

$$2x - x = 8 - 3$$ (bilinmeyenleri bir tarafa, sabitler diğer tarafa)

$$x = 5$$

Kontrol: $2(5) + 3 = 13$ ve $5 + 8 = 13$ ✓

 Örnek 6: Karmaşık Denklem

Soru: $3(x - 2) + 5 = 2(x + 1) + 4$ denklemini çözünüz.

Çözüm:

$$3(x - 2) + 5 = 2(x + 1) + 4$$

$$3x - 6 + 5 = 2x + 2 + 4$$ (parantezleri aç)

$$3x - 1 = 2x + 6$$ (benzer terimleri birleştir)

$$3x - 2x = 6 + 1$$ (bilinmeyenleri bir tarafa)

$$x = 7$$

Kontrol: 

- Sol taraf: $3(7 - 2) + 5 = 3(5) + 5 = 15 + 5 = 20$

- Sağ taraf: $2(7 + 1) + 4 = 2(8) + 4 = 16 + 4 = 20$ ✓

 Örnek 7: Kesirli Karmaşık Denklem

Soru: $\frac{2x + 3}{5} = \frac{x - 1}{3}$ denklemini çözünüz.

Çözüm:

$$\frac{2x + 3}{5} = \frac{x - 1}{3}$$

$$3(2x + 3) = 5(x - 1)$$ (parantez içine dağıt)

$$6x + 9 = 5x - 5$$

$$6x - 5x = -5 - 9$$

$$x = -14$$

Kontrol:

- Sol taraf: $\frac{2(-14) + 3}{5} = \frac{-28 + 3}{5} = \frac{-25}{5} = -5$

- Sağ taraf: $\frac{-14 - 1}{3} = \frac{-15}{3} = -5$ ✓

 DENKLEM ÇÖZÜMÜ VİZÜEL GÖSTERIM

 PÜF NOKTALAR VE DİKKAT EDİLECEKLER

 🎯 Püf Nokta 1: Denklem Dengesi

Denklemin her iki tarafında aynı işlem yapmalısın. Denge bozulursa çözüm değişir.

 🎯 Püf Nokta 2: İşaret Değişimi

Terimi diğer tarafa geçirirken işareti değişir:

- $+$ → $-$

- $-$ → $+$

- $\times$ → $\div$

- $\div$ → $\times$

 🎯 Püf Nokta 3: Parantez Açmak

Negatif sayı parantezin önündeyse işaretler değişir:

$$-(a + b) = -a - b$$

$$-(a - b) = -a + b$$

 🎯 Püf Nokta 4: Kontrol Etme

Her zaman bulduğun sonucu orijinal denklemde yerine koy ve kontrol et.

 YAYGIN HATALAR

 ❌ Hata 1: Denklem Dengesini Bozma

Yanlış: $2x + 5 = 13$ → $2x = 13$ (5'i çıkarmayı unutmak)

Doğru: $2x + 5 = 13$ → $2x = 8$ (her iki taraftan 5 çıkar)

 ❌ Hata 2: İşaret Hatası

Yanlış: $3x - 5 = 10$ → $3x = 10 - 5$ (çıkarma işaretini korumak)

Doğru: $3x - 5 = 10$ → $3x = 10 + 5 = 15$

 ❌ Hata 3: Parantez Açma Hatası

Yanlış: $-2(x + 3) = 6$ → $-2x + 6 = 6$

Doğru: $-2(x + 3) = 6$ → $-2x - 6 = 6$

 EK ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

 Örnek 8: Çoklu Parantez

Soru: $2(x + 1) - 3(x - 2) = 5$ denklemini çözünüz.

Çözüm:

$$2(x + 1) - 3(x - 2) = 5$$

$$2x + 2 - 3x + 6 = 5$$ (parantezleri aç)

$$-x + 8 = 5$$ (benzer terimleri birleştir)

$$-x = 5 - 8$$

$$-x = -3$$

$$x = 3$$

Kontrol: $2(3 + 1) - 3(3 - 2) = 2(4) - 3(1) = 8 - 3 = 5$ ✓

 Örnek 9: Kesirli Denklem 2

Soru: $\frac{x + 2}{4} - \frac{x - 1}{3} = 1$ denklemini çözünüz.

Çözüm:

Ortak payda: 12

$$\frac{3(x + 2)}{12} - \frac{4(x - 1)}{12} = 1$$

$$\frac{3(x + 2) - 4(x - 1)}{12} = 1$$

$$\frac{3x + 6 - 4x + 4}{12} = 1$$

$$\frac{-x + 10}{12} = 1$$

$$-x + 10 = 12$$

$$-x = 2$$

$$x = -2$$

Kontrol:

$$\frac{-2 + 2}{4} - \frac{-2 - 1}{3} = \frac{0}{4} - \frac{-3}{3} = 0 - (-1) = 1$$ ✓