TEMEL KAVRAMLAR VE YAKLAŞIM

Fonksiyon uygulamaları, fonksiyonların gerçek hayat problemlerinde ve matematiksel modellemede nasıl kullanıldığını gösterir. Fonksiyon grafikleri ise, fonksiyonun davranışını görsel olarak analiz etmemizi sağlar.

BAŞARI KILIT: Grafik = Fonksiyonun portresi! Dönüşümleri (kaydırma, çevirme) iyi öğren! 🎯🚀

 A. FONKSİYON UYGULAMALARI

 1. Gerçek Hayat Problemleri

Fonksiyonlar; yaş, sıcaklık, maliyet, hız, büyüme, azalma gibi birçok gerçek hayat ilişkisini modellemek için kullanılır.

 Örnek 1: Yaş Problemi (⭐)

Soru: Ahmet şimdi 5 yaşındadır. x yıl sonraki yaşı f(x) = x + 5 ile modelleniyor. 10 yıl sonra kaç yaşında olur?

Çözüm:

Adım 1: Parametreleri belirle

- Şu anki yaş = 5

- Fonksiyon: f(x) = x + 5

- İstenen: f(10) = ?

Adım 2: Fonksiyonu uygula

$$f(10) = 10 + 5 = 15$$

✓ Kontrol:

- Ahmet şimdi 5, 10 yıl sonra 15 yaşında ✓

Cevap: 10 yıl sonra Ahmet 15 yaşında olur ⭐

🎯 Püf Noktası: Yaş problemlerinde başlangıç + zaman = son durum

 Örnek 2: Maliyet Fonksiyonu (⭐)

Soru: Bir fabrika, ürün üreticisi olarak sabit maliyeti 1000 ₺, her ürünün değişken maliyeti 50 ₺'dir. x ürün için toplam maliyet f(x) = 50x + 1000. 100 ürün üretilirse toplam maliyet ne kadar?

Çözüm:

Adım 1: Fonksiyonu tanımla

- f(x) = 50x + 1000

- x = ürün sayısı

- f(x) = toplam maliyet

Adım 2: Fonksiyonu uygula

$$f(100) = 50(100) + 1000$$

$$= 5000 + 1000 = 6000 \text{ ₺}$$

Adım 3: Bileşenleri ayırt et

- Sabit maliyet: 1000 ₺

- Değişken maliyet: 50 × 100 = 5000 ₺

- Toplam: 6000 ₺ ✓

Cevap: 100 ürün üretilirse toplam maliyet 6000 ₺ ⭐

🎯 Püf Noktası: Maliyet = Sabit + (Değişken × Miktar)

 Örnek 3: Hız-Zaman Fonksiyonu (⭐)

Soru: Bir araç sabit hızda gidiyor. Konumu f(t) = 80t + 20 (t: saat, konum: km). 3 saat sonra konum nedir?

Çözüm:

Adım 1: Fonksiyonu analiz et

- f(t) = 80t + 20

- Eğim (hız) = 80 km/saat

- Başlangıç konumu = 20 km

Adım 2: t = 3 için hesapla

$$f(3) = 80(3) + 20 = 240 + 20 = 260 \text{ km}$$

Adım 3: Anlamı açıkla

- Araç ilk 20 km'de başladı

- 3 saatte 240 km daha gitti

- Şu an 260 km konumunda

Cevap: 3 saat sonra araç 260 km konumundadır ⭐

🎯 Püf Noktası: Konumu = Başlangıç + (Hız × Zaman)

 Örnek 4: Parçalı Fonksiyon Uygulaması (⭐⭐)

Soru: Vergi sistemi şöyle çalışıyor:

- 0 ₺ ile 5000 ₺ arasında: %10 vergi

- 5000 ₺'den fazla: %20 vergi

f(x) gelir için ödenen vergi:

$$f(x) = \begin{cases} 0.10x & \text{eğer } 0 \leq x \leq 5000 \\ 500 + 0.20(x - 5000) & \text{eğer } x > 5000 \end{cases}$$

Geliri 8000 ₺ olan biri kaç ₺ vergi öder?

Çözüm:

Adım 1: Hangi aralıkta olduğunu belirle

- Gelir = 8000 ₺

- 8000 > 5000 → İkinci kural uygulanır

Adım 2: İkinci kuralı uygula

$$f(8000) = 500 + 0.20(8000 - 5000)$$

$$= 500 + 0.20(3000)$$

$$= 500 + 600 = 1100 \text{ ₺}$$

Adım 3: Anlamı açıkla

- İlk 5000 ₺ için: 500 ₺ vergi (%10)

- Kalan 3000 ₺ için: 600 ₺ vergi (%20)

- Toplam: 1100 ₺ ✓

Cevap: 8000 ₺ gelir için 1100 ₺ vergi ödenir ⭐⭐

🎯 Püf Noktası: Parçalı vergi sisteminde:

1. Gelir hangi parçaya düştüğünü belirle

2. Doğru formülü uygula

3. Detaylı hesapla (kademeli vergi!)

 Örnek 5: Üstel Büyüme - Nüfus (⭐⭐)

Soru: Bir şehrin nüfusu her yıl 2 katına çıkıyor. İlk nüfus 1000 kişi. x yıl sonraki nüfus f(x) = 1000 · 2ˣ. 4 yıl sonra nüfus kaç kişi olur?

Çözüm:

Adım 1: Fonksiyonu tanımla

- f(x) = 1000 · 2ˣ

- x = yıl sayısı

- f(x) = nüfus

Adım 2: x = 4 için hesapla

$$f(4) = 1000 \cdot 2^4 = 1000 \cdot 16 = 16000 \text{ kişi}$$

Adım 3: Kontrol (yıl yıl)

- 0. yıl: 1000

- 1. yıl: 2000

- 2. yıl: 4000

- 3. yıl: 8000

- 4. yıl: 16000 ✓

Cevap: 4 yıl sonra nüfus 16000 kişi olur ⭐⭐

🎯 Püf Noktası: Üstel büyümede:

- Her dönem: Başlangıç × (oran)^zaman

- Çok hızlı artar!

 B. FONKSİYON GRAFİKLERİ

 Grafik Nedir?

Fonksiyon grafiği, $y = f(x)$ denklemini sağlayan tüm (x, y) noktalarının birleşimidir. Grafik, fonksiyonun davranışını görsel olarak anlamamızı sağlar.

 1. Doğrusal Fonksiyon Grafiği (⭐)

Fonksiyon: f(x) = 2x + 1

Özellikleri:

- Eğim (m) = 2 (her 1 birim sağa gidince 2 birim yukarı)

- y-kesişim (b) = 1 (y eksenini x = 0'da keser)

Grafik:

Önemli Noktalar:

- y-kesişim: (0, 1)

- x-kesişim: (-1/2, 0) ← y = 0 olduğunda

- Eğim: 2

 2. Parabol (İkinci Derece) Grafiği (⭐⭐)

Fonksiyon: f(x) = x² - 2x + 1 = (x - 1)²

Özellikleri:

- Tepe (vertex): (1, 0)

- Açılış: Yukarı (a > 0)

- Simetri ekseni: x = 1

Grafik:

Önemli Noktalar:

- Tepe (minimum): (1, 0)

- y-kesişim: (0, 1)

- x-kesişim: (1, 0)

- Simetri: x = 1'e göre simetrik

 3. Mutlak Değer Fonksiyonu Grafiği (⭐⭐)

Fonksiyon: f(x) = |x - 1|

Özellikleri:

- Köşe noktası: (1, 0)

- V şekli (açılmış)

- İki doğrusal parça

Grafik:

Önemli Noktalar:

- Köşe (minimum): (1, 0)

- Eğimi değişir: Sol -1, Sağ +1

- Açılış: Yukarı (V şekli)

 4. Parçalı Fonksiyon Grafiği (⭐⭐)

Fonksiyon:

$$f(x) = \begin{cases} -x & \text{eğer } x < 0 \\ x + 1 & \text{eğer } x \geq 0 \end{cases}$$

Grafik:

Önemli Noktalar:

- x = 0'da açık-kapalı gösterimi önemli

- Süreksiz olabilir (sol ve sağ değer farklı)

- Her bölgede ayrı kural

 5. Üstel Fonksiyon Grafiği (⭐⭐)

Fonksiyon: f(x) = 2ˣ

Özellikleri:

- Yatay asimptot: y = 0 (eksi sonsuza giderken)

- Hızlı büyüme (sağa gidince)

- y-kesişim: (0, 1)

Grafik:

Önemli Özellikler:

- Hızlı büyüme (eksponensiyel)

- Asimptot: y = 0

- Her zaman pozitif

 6. Logaritmik Fonksiyon Grafiği (⭐⭐)

Fonksiyon: f(x) = log₂(x)

Özellikleri:

- Tanım: x > 0

- Dikey asimptot: x = 0

- Yavaş büyüme

- x-kesişim: (1, 0)

Grafik:

Önemli Özellikler:

- Tanım kümesi: (0, ∞)

- Yavaş büyüme

- Dikey asimptot: x = 0

 Grafik Dönüşümleri (Transformations)

Eğer f(x) biliyorsan, diğerlerini tahmin edebilirsin:

 ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER - GRAFIK UYGULAMALARI

 Örnek 6: Grafik Okuma (⭐)

Soru: f(x) = 3x - 2 fonksiyonunun grafiğinde:

a) x = 1 için y değeri

b) y = 4 için x değeri

c) x-kesişim noktası

Çözüm:

a) x = 1 için y:

$$f(1) = 3(1) - 2 = 1$$

Nokta: (1, 1)

b) y = 4 için x:

$$4 = 3x - 2$$

$$6 = 3x$$

$$x = 2$$

Nokta: (2, 4)

c) x-kesişim (y = 0):

$$0 = 3x - 2$$

$$x = \frac{2}{3}$$

Nokta: (2/3, 0)

Cevap: a) (1,1) b) (2,4) c) (2/3, 0) ⭐

🎯 Püf Noktası: x-kesişim için y = 0 koy, y-kesişim için x = 0 koy

 Örnek 7: Grafik Dönüşümü (⭐⭐)

Soru: f(x) = x² olsun. Aşağıdaki fonksiyonların grafiğini tanımla:

a) g(x) = (x - 2)²

b) h(x) = x² + 3

c) k(x) = -(x)²

Çözüm:

a) g(x) = (x - 2)²

Dönüşüm: f(x - 2) → Sağa 2 birim kaydırma

- Orijinal tepe: (0, 0)

- Yeni tepe: (2, 0)

- Açılış: Aynı (yukarı)

b) h(x) = x² + 3

Dönüşüm: f(x) + 3 → Yukarı 3 birim kaydırma

- Orijinal tepe: (0, 0)

- Yeni tepe: (0, 3)

- Açılış: Aynı (yukarı)

c) k(x) = -x²

Dönüşüm: -f(x) → x-eksenine göre simetri (ters çevirme)

- Orijinal tepe: (0, 0)

- Yeni tepe: (0, 0) (değişmez)

- Açılış: Aşağı (ters çevrildi)

Cevap:

- g: Sağa 2 kaydırma, tepe (2,0) ⭐⭐

- h: Yukarı 3 kaydırma, tepe (0,3) ⭐⭐

- k: x-eksenine simetri, tepe (0,0), aşağı açılış ⭐⭐

🎯 Püf Noktası: 

- (x - a): Sağa a

- (x + a): Sola a

- + b: Yukarı b

- - b: Aşağı b

- Eksi işareti: Simetri

 Örnek 8: Parçalı Fonksiyonda Grafik (⭐⭐)

Soru:

$$f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{eğer } x < 1 \\ x^2 & \text{eğer } x \geq 1 \end{cases}$$

Grafikte x = 0, x = 1, x = 2 için noktaları göster ve sürekliliği kontrol et.

Çözüm:

Adım 1: Her bölgede noktaları hesapla

x = 0 (0 < 1 → birinci kural):

$$f(0) = 2(0) + 1 = 1 \rightarrow (0, 1)$$

x = 1 (1 ≥ 1 → ikinci kural):

$$f(1) = 1^2 = 1 \rightarrow (1, 1)$$

x = 2 (2 ≥ 1 → ikinci kural):

$$f(2) = 2^2 = 4 \rightarrow (2, 4)$$

Adım 2: x = 1'de sürekliliği kontrol et

Sol limit (x → 1⁻): 2(1) + 1 = 3

Değer f(1): 1² = 1

Sağ limit: Aynı parça

Süreksiz! ← Grafikte "sıçrama" vardır

Grafik Açıklaması:

- x < 1: Doğru (eğim 2)

- x ≥ 1: Parabol (yukarı açılış)

- x = 1'de: (1, 1) dolu nokta, ancak sol taraftan 3 değeriyle yaklaşır

Cevap:

- (0, 1), (1, 1), (2, 4) ⭐⭐

- Süreksiz (x = 1'de sıçrama) ⭐⭐

🎯 Püf Noktası: Parçalı fonksiyonda sınır noktasında (x = 1):

1. Sol tarafın limitini hesapla

2. Fonksiyonun değerini hesapla

3. Eşitlerse sürekli, değilse süreksiz

 Örnek 9: Parabolün Tepe Noktası (⭐⭐⭐)

Soru: f(x) = -2x² + 8x - 5. Tepe noktasını bulun ve grafiği tanımla.

Çözüm:

Yöntem 1: Tepe Formülü

Tepe x-koordinatı:

$$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2(-2)} = -\frac{8}{-4} = 2$$

Tepe y-koordinatı:

$$f(2) = -2(2)^2 + 8(2) - 5$$

$$= -2(4) + 16 - 5$$

$$= -8 + 16 - 5 = 3$$

Tepe Noktası: (2, 3)

Yöntem 2: Kare Tamamlama

$$f(x) = -2x^2 + 8x - 5$$

$$= -2(x^2 - 4x) - 5$$

$$= -2(x^2 - 4x + 4 - 4) - 5$$

$$= -2((x - 2)^2 - 4) - 5$$

$$= -2(x - 2)^2 + 8 - 5$$

$$= -2(x - 2)^2 + 3$$

Tepe: (2, 3) (Vertex formdan okumak)

Adım 3: Grafik Analizi

- Tepe: (2, 3) [Maximum çünkü a = -2 < 0]

- Açılış: Aşağı (a < 0)

- Simetri: x = 2'ye göre simetrik

- y-kesişim: f(0) = -5 → (0, -5)

Cevap: Tepe (2, 3), aşağı açılış, simetri x = 2 ⭐⭐⭐

🎯 Püf Noktası: Parabol tepe:

- x = -b/(2a)

- Sonra x'i koyup y bul

- a > 0: tepe = minimum, a < 0: tepe = maximum

 Örnek 10: Gerçek Hayat - Grafik Uygulaması (⭐⭐⭐)

Soru: Bir basketbol topu atıldığında, yüksekliği f(t) = -5t² + 20t + 2 (t: saniye, h: metre)

a) Başlangıç yüksekliği?

b) En yüksek noktaya kaç saniyede ulaşır?

c) En yüksek yükseklik kaç metre?

Çözüm:

a) Başlangıç yüksekliği (t = 0):

$$f(0) = -5(0)^2 + 20(0) + 2 = 2 \text{ metre}$$

b) En yüksek noktaya ulaşma zamanı:

Tepe x-koordinatı:

$$t = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2(-5)} = -\frac{20}{-10} = 2 \text{ saniye}$$

c) En yüksek yükseklik:

$$f(2) = -5(2)^2 + 20(2) + 2$$

$$= -5(4) + 40 + 2$$

$$= -20 + 40 + 2 = 22 \text{ metre}$$

Grafik Özeti:

- t = 0: h = 2 m (fırlatma noktası)

- t = 2: h = 22 m (maksimum)

- Pbol açılış: Aşağı (yerçekimi)

Cevap:

- a) 2 metre ⭐⭐⭐

- b) 2 saniye ⭐⭐⭐

- c) 22 metre ⭐⭐⭐

🎯 Püf Noktası: Fizik problemlerinde:

1. f(0) = başlangıç durumu

2. Tepe = maksimum/minimum

3. Grafik açılış = hızlanma/yavaşlama

 YAYGIN HATALAR

 🎯 PÜF NOKTALAR - ÖZET

✓ Doğrusal Grafik:

- Eğim = Δy/Δx

- y-kesişim: x = 0

✓ Parabol (İkinci Derece):

- Tepe: x = -b/(2a), sonra y bul

- a > 0: Yukarı açılış (minimum)

- a < 0: Aşağı açılış (maximum)

✓ Mutlak Değer:

- V şekli

- Köşe noktası: içeride 0 olan yerde

✓ Üstel Fonksiyon:

- Hızlı büyüme

- y = 0 asimptottur

✓ Logaritmik Fonksiyon:

- Yavaş büyüme

- x = 0 asimptottur

- Tanım: x > 0

✓ Grafik Dönüşümleri:

- f(x - a): Sağa a birim

- f(x + a): Sola a birim

- f(x) + b: Yukarı b birim

- f(x) - b: Aşağı b birim

- c·f(x): Dikeyde c kat (c > 1: genişle)

- -f(x): x-eksenine simetri

✓ Kesişim Noktaları:

- x-kesişim: f(x) = 0 çöz

- y-kesişim: f(0) hesapla

✓ Parçalı Fonksiyon:

- Her aralığı ayrı çiz

- Sınır noktasında açık/kapalı göster

- Sürekliliği kontrol et