TEMEL KAVRAMLAR VE YAKLAŞIM

 Fonksiyon Nedir?

Bir fonksiyon, her bir girdiye (tanım kümesindeki her elemana) yalnızca bir çıktı (değer kümesinde bir eleman) eşleyen bir kuraldır. Fonksiyonlar, matematikte bağıntıların özel bir türüdür.

Sembolik Gösterim:

$$f: A \to B$$

Burada:

- A = Tanım kümesi 

- B = Değer kümesi / Hedef küme 

- f = Fonksiyon kuralı

Örnek: $f: \{1,2,3\} \to \{a,b,c,d\}$, $f(1)=a$, $f(2)=b$, $f(3)=a$

 BAĞINTI VE FONKSİYON FARKI

 Bağıntı (Relation)

Küme A'dan küme B'ye, A'nın elemanlarını B'nin elemanlarıyla eşleyen herhangi bir kuraldır. A'nın bir elemanı B'de birden fazla elemana eşlenebilir.

Sembol: R ⊆ A × B

Örnek:

- A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c}

- R = {(1,a), (1,b), (2,c)} ← Bağıntı (1 iki elemana eşlendi)

 Fonksiyon (Function)

Bağıntının özel bir türüdür. A'nın her elemanı B'de yalnızca bir elemana eşlenir.

Koşullar:

1. A'nın her elemanının B'de bir eşi olmalı (çıkış olmalı)

2. A'nın bir elemanının B'de en fazla bir eşi olmalı (iki eşi olamaz)

Örnek:

- A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c}

- f = {(1,a), (2,b), (3,c)} ← Fonksiyon (her eleman bir kez eşlendi)

- g = {(1,a), (1,b), (2,c)} ← Fonksiyon değil (1 iki elemana eşlendi)

- h = {(1,a), (2,b)} ← Fonksiyon değil (3'ün eşi yok)

 TANIM KÜMESİ, DEĞER KÜMESİ, GÖRÜNTÜ KÜMESİ

 Tanım Kümesi 

Sembol: Dom(f) veya A

Fonksiyonun giriş olarak alabileceği tüm değerlerin kümesidir.

Özellikler:

- Tanım kümesinin her elemanının fonksiyonda bir görüntüsü olmalı

- Tanım kümesi boş olamaz

- Fonksiyon tanım kümesinin dışında değer almaz

Örnek: f(x) = √x ise, tanım kümesi [0, ∞)

 Değer Kümesi 

Sembol: Cod(f) veya B

Fonksiyonun çıkışının alabileceği tüm değerlerin kümesidir (mutlaka kullanılması gerekmez).

Özellikler:

- Fonksiyonun tanımında belirtilir

- Görüntü kümesini içerir

- Genellikle ℝ, ℤ, vb. olur

Örnek: f: ℝ → ℝ, f(x) = x² → Değer kümesi = ℝ

 Görüntü Kümesi (Range/Image)

Sembol: f(A), Im(f), Rng(f)

Tanım kümesinin fonksiyondan geçerek gerçekten elde ettiği çıktılar kümesidir.

Özellikler:

- Görüntü kümesi ⊆ Değer kümesi (alt kümesi)

- Genellikle değer kümesinden küçüktür

- Fonksiyona bağlı olarak değişir

Örnek: f: ℝ → ℝ, f(x) = x² → Görüntü kümesi = [0, ∞)

 GÖRSEL KARŞILAŞTIRMA

Açıklama:

- Mavi: A'daki tüm elemanlar tanım kümesi

- Yeşil: Fonksiyon sonunda ulaşılan elemanlar görüntü kümesi

- Kırmızı: B tamamı değer kümesidir (görüntü kümesi alt küme)

 FONKSİYON ÇEŞİTLERİ - HIZLI REFERANS

 ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

 Örnek 1: Fonksiyon Tanıma - Temel (⭐)

Soru: Aşağıdakilerden hangisi A = {1, 2, 3} → B = {a, b, c} fonksiyonudur?

Seçenekler:

- A) f₁ = {(1,a), (2,b), (3,c)} ← Fonksiyon

- B) f₂ = {(1,a), (1,b), (2,c)} ← Değil (1 iki elemana eşlendi)

- C) f₃ = {(1,a), (2,b)} ← Değil (3'ün eşi yok)

- D) f₄ = {(1,a), (2,a), (3,a)} ← Fonksiyon

- E) f₅ = {(1,a), (2,b), (3,c), (1,a)} ← Fonksiyon (tekrar yazılmış ama aynı)

Çözüm:

A) f₁ kontrolü:

- 1 → a (1 eşi var) ✓

- 2 → b (1 eşi var) ✓

- 3 → c (1 eşi var) ✓

- Fonksiyondur ✓

B) f₂ kontrolü:

- 1 → a, b (2 eşi var) ✗

- Fonksiyon değildir ✗

C) f₃ kontrolü:

- 1 → a, 2 → b (tamam) ✓

- 3 → ? (3'ün eşi yok) ✗

- Fonksiyon değildir ✗

D) f₄ kontrolü:

- 1 → a, 2 → a, 3 → a (her biri 1 eşi var) ✓

- Fonksiyondur ✓ (sabit fonksiyon)

E) f₅ kontrolü:

- Aynı eşleştirme tekrarlanmış

- Fonksiyondur ✓

Cevap: A, D, E fonksiyondur ⭐

🎯 Püf Noktası: Fonksiyon olması için:

1. Tanım kümesinin HER elemanının bir eşi olmalı

2. Her elemanın YALIN BİR eşi olmalı (iki eşi olamaz)

 Örnek 2: Görüntü Kümesi Bulma - Temel (⭐)

Soru: 

f: {1, 2, 3, 4} → ℝ, f(x) = 2x + 1

Tanım ve görüntü kümesini belirtin.

Çözüm:

Tanım Kümesi:

$$\text{Dom}(f) = \{1, 2, 3, 4\}$$

Görüntü Kümesi (hesaplama):

- f(1) = 2(1) + 1 = 3

- f(2) = 2(2) + 1 = 5

- f(3) = 2(3) + 1 = 7

- f(4) = 2(4) + 1 = 9

$$\text{Im}(f) = \{3, 5, 7, 9\}$$

✓ Kontrol:

- Her tanım kümesi elemanının bir görüntüsü var ✓

- Her görüntü bir fonksiyon değeri ✓

Cevap: 

- Tanım kümesi = {1, 2, 3, 4}

- Görüntü kümesi = {3, 5, 7, 9} ⭐

🎯 Püf Noktası: Görüntü kümesini bulmak için:

1. Her tanım kümesi elemanını fonksiyona koy

2. Çıkan değerleri topla

 Örnek 3: Görüntü Kümesi - Continuous (⭐)

Soru:

f: ℝ → ℝ, f(x) = x² 

Tanım ve görüntü kümesini belirtin.

Çözüm:

Tanım Kümesi:

$$\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \text{ (tüm gerçek sayılar)}$$

Görüntü Kümesi (analiz):

- x herhangi bir gerçek sayı olabilir

- x² her zaman ≥ 0 (negatif olamaz)

- x = 0 olduğunda f(0) = 0 (minimum)

- x → ±∞ olduğunda f(x) → +∞

$$\text{Im}(f) = [0, +\infty)$$

✓ Kontrol:

- f(-2) = 4 ∈ [0, +∞) ✓

- f(0) = 0 ∈ [0, +∞) ✓

- f(3) = 9 ∈ [0, +∞) ✓

Cevap:

- Tanım kümesi = ℝ

- Görüntü kümesi = [0, +∞) ⭐

🎯 Püf Noktası: Continuous fonksiyonlarda görüntü kümesi:

1. Minimum değer: f'nin en küçük değeri

2. Maximum değer: f'nin en büyük değeri (varsa)

3. Aralık gösterimi kullan: [min, max]

 Örnek 4: Görüntü Kümesi - Kompleks (⭐⭐)

Soru:

f: ℝ → ℝ, f(x) = x² - 4x + 5

Görüntü kümesini bulun.

Çözüm:

Yöntem 1: Kare Tamamlama

$$f(x) = x^2 - 4x + 5$$

$$= (x^2 - 4x + 4) + 1$$

$$= (x - 2)^2 + 1$$

Analiz:

- $(x-2)^2 \geq 0$ (her zaman pozitif veya sıfır)

- $(x-2)^2 + 1 \geq 1$ (minimum 1)

- x → ±∞ olduğunda f(x) → +∞

$$\text{Im}(f) = [1, +\infty)$$

Yöntem 2: Köke Bakış

Diskriminant: Δ = b² - 4ac = 16 - 20 = -4 < 0

Δ < 0 ve a > 0 olduğundan, fonksiyon her zaman pozitif:

Vertex (tepe) x-koordinatı: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2} = 2$

Minimum değer: f(2) = 4 - 8 + 5 = 1

$$\text{Im}(f) = [1, +\infty)$$

✓ Kontrol:

- f(2) = 1 ✓ (minimum)

- f(0) = 5 ∈ [1, +∞) ✓

- f(5) = 25 - 20 + 5 = 10 ∈ [1, +∞) ✓

Cevap: Görüntü kümesi = [1, +∞) ⭐⭐

🎯 Püf Noktası: İkinci derece fonksiyonda:

1. Kare tamamla veya vertex formunu kullan

2. Tepe noktası = minimum (a > 0) veya maximum (a < 0)

3. Görüntü = [tepe, +∞) veya (-∞, tepe]

 Örnek 5: Parçalı Fonksiyon - Temel (⭐)

Soru:

$$f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{eğer } x \geq 0 \\ -x & \text{eğer } x < 0 \end{cases}$$

x = -2, 0, 3 için f(x) değerlerini bulun.

Çözüm:

x = -2 için:

- -2 < 0 olduğundan, f(x) = -x kuralını kullan

- f(-2) = -(-2) = 2

x = 0 için:

- 0 ≥ 0 olduğundan, f(x) = 2x + 1 kuralını kullan

- f(0) = 2(0) + 1 = 1

x = 3 için:

- 3 ≥ 0 olduğundan, f(x) = 2x + 1 kuralını kullan

- f(3) = 2(3) + 1 = 7

✓ Kontrol:

- Her x değeri için kuralı doğru seçtik ✓

- Hesaplamalar doğru ✓

Cevap: f(-2) = 2, f(0) = 1, f(3) = 7 ⭐

🎯 Püf Noktası: Parçalı fonksiyonda:

1. x değerine göre hangi aralığa düştüğünü belirle

2. O aralığın kuralını uygula

3. Sınır değerlerine dikkat et (≥, >, <, ≤)

 Örnek 6: Tanım Kümesi Bulma - Orta (⭐⭐)

Soru:

f(x) = √(4 - x²)

Tanım kümesini bulun.

Çözüm:

Koşul:

Karekök içi ≥ 0 olmalı:

$$4 - x^2 \geq 0$$

Eşitsizliği çöz:

$$x^2 \leq 4$$

$$|x| \leq 2$$

$$-2 \leq x \leq 2$$

Tanım Kümesi:

$$\text{Dom}(f) = [-2, 2]$$

✓ Kontrol:

- x = 0: f(0) = √4 = 2 ✓

- x = 2: f(2) = √0 = 0 ✓

- x = -2: f(-2) = √0 = 0 ✓

- x = 3: f(3) = √(4-9) = √(-5) → Tanım dışı ✗

Cevap: Tanım kümesi = [-2, 2] ⭐⭐

🎯 Püf Noktası: Tanım kümesi sınırlamaları:

1. Karekök: içi ≥ 0

2. Logaritma: argüman > 0

3. Payda: payda ≠ 0

4. Çift kök: içi ≥ 0

 Örnek 7: Birden Fazla Koşul - Orta (⭐⭐)

Soru:

$$f(x) = \frac{\sqrt{x}}{\log(x-1)}$$

Tanım kümesini bulun.

Çözüm:

Koşul 1: Karekök

$$x \geq 0$$

Koşul 2: Logaritma argümanı

$$x - 1 > 0$$

$$x > 1$$

Koşul 3: Payda sıfır olamaz

$$\log(x - 1) \neq 0$$

$$x - 1 \neq 1$$

$$x \neq 2$$

Tüm koşulları birleştir:

- x ≥ 0 VE

- x > 1 VE

- x ≠ 2

Tanım Kümesi:

$$\text{Dom}(f) = (1, 2) \cup (2, +\infty)$$

✓ Kontrol:

- x = 0.5: x ≤ 1 → Dışarıda ✗

- x = 1: Logaritma tanımda değil ✗

- x = 1.5: Tüm koşul sağlanıyor ✓

- x = 2: Payda = 0 ✗

- x = 3: Tüm koşul sağlanıyor ✓

Cevap: Dom(f) = (1, 2) ∪ (2, +∞) ⭐⭐

🎯 Püf Noktası: Birden fazla koşul olduğunda:

1. Her koşulu ayrı çöz

2. Koşulları sayı doğrusunda göster

3. Hepsini sağlayan bölgeyi bul

 YAYGIN HATALAR

 🎯 PÜF NOKTALAR - ÖZET

✓ Fonksiyon Tanımı:

- A'nın HER elemanının B'de tam BİR eşi olmalı

- Bir elemana iki eşi olamaz (değilse bağıntı)

✓ Görüntü vs Değer:

- Değer kümesi = Tanımda belirtilen hedef küme

- Görüntü kümesi = Gerçekten ulaşılan çıktılar

- İlişki: Görüntü ⊆ Değer

✓ Tanım Kümesi Bulma:

- Karekök: içi ≥ 0

- Logaritma: argüman > 0

- Payda: ≠ 0

- Tüm koşullar bir kez sağlanmalı

✓ Görüntü Kümesi Bulma (Sürekli):

1. Fonksiyonu analiz et (kare tamamla, vertex, vb.)

2. Minimum ve maximum değerleri bul

3. Aralık gösterimi kullan

✓ Parçalı Fonksiyon:

- Her aralık için doğru kuralı kullan

- Sınır değerlerde dikkat et (≥, >)