A. ÖRNEK UZAY 

 1. Tanım

Örnek Uzay (S): Bir deney yapıldığında ortaya çıkabilecek tüm olası sonuçların kümesi'dir.

Sembol: S, Ω (Omega) veya U (Universal set)

Örnekler:

 2. Örnek Uzayın Özellikleri

Eleman Sayısı:

$$|S| = n(S) = \text{Toplam olası sonuç sayısı}$$

Özellikler:

- Boş küme olamaz: $S \neq \emptyset$

- Tüm olaylar S'nin alt kümesidir: $A \subseteq S$

- Kesin olay: $P(S) = 1$

 B. OLAY (EVENT)

 1. Tanım

Olay (A): Örnek uzayın bir alt kümesi'dir.

Örnekler:

 2. Olay Çeşitleri

 a) Basit Olay

Tanım: Sadece tek bir sonuç içeren olay.

Örnekler:

- Zar atışında 3 gelmesi: {3}

- Para atışında yazı gelmesi: {Yazı}

- Kart çekiminde maça ası: {Maça As}

 b) Bileşik Olay 

Tanım: İki veya daha fazla basit olayın birleşimi.

Örnekler:

- Zar atışında çift sayı: {2, 4, 6}

- İki zar toplamı 7: {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}

c) Kesin Olay (Certain Event)

Tanım: Mutlaka gerçekleşen olay.

Özellik: Örnek uzayın kendisidir.

$$P(S) = 1$$

Örnekler:

- Zar atışında 1-6 arası sayı gelmesi

- Para atışında yazı veya tura gelmesi

 d) İmkansız Olay

Tanım: Hiçbir zaman gerçekleşemeyen olay.

Özellik: Boş küme.

$$P(\emptyset) = 0$$

Örnekler:

- Zar atışında 7 gelmesi

- Para atışında hem yazı hem tura gelmesi (aynı atışta)

 e) Birbirini Dışlayan Olaylar

Tanım: Aynı anda gerçekleşemeyen olaylar.

Özellik:

$$A \cap B = \emptyset$$

$$P(A \cap B) = 0$$

Örnekler:

- Zar atışında tek sayı VE çift sayı (aynı anda olamaz)

- Kart çekiminde kupa VE maça (bir kart iki takım olamaz)

Venn Diyagramı:

 f) Tamamlayıcı Olay (Complement Event)

Tanım: Bir olayın gerçekleşmemesi durumu.

Sembol: $A'$ veya $\overline{A}$ veya $A^c$

Özellik:

$$A \cup A' = S$$

$$A \cap A' = \emptyset$$

$$P(A) + P(A') = 1$$

Örnekler:

- A = Zarda çift sayı → A' = Zarda tek sayı

- B = Kart kupası → B' = Kart kupası değil

Venn Diyagramı:

 g) Birleşim Olayı

Tanım: En az birinin gerçekleşmesi.

Sembol: $A \cup B$ ("A veya B")

Formül:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

Özel Durum (Birbirini Dışlayan):

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) \quad \text{(eğer } A \cap B = \emptyset \text{)}$$

Venn Diyagramı:

 h) Kesişim Olayı

Tanım: Her ikisinin de gerçekleşmesi.

Sembol: $A \cap B$ ("A ve B")

Formül:

$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)$$

Özel Durum (Bağımsız Olaylar):

$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$

Venn Diyagramı:

 C. DE MORGAN KURALLARI

 1. Birinci Kural

$$(A \cup B)' = A' \cap B'$$

Açıklama: "A veya B"nin değili = "A değil ve B değil"

Venn Gösterimi:
 

 2. İkinci Kural

$$(A \cap B)' = A' \cup B'$$

Açıklama: "A ve B"nin değili = "A değil veya B değil"

 D. OLASILIK KAVRAMI VE HESAPLAMA

 1. Klasik Olasılık Tanımı

Olasılık : Bir olayın gerçekleşme şansı/ihtimali'dir.

Formül:

$$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{|A|}{|S|} = \frac{\text{İstenen sonuç sayısı}}{\text{Tüm olası sonuç sayısı}}$$

Özellikler:

- $0 \leq P(A) \leq 1$

- $P(S) = 1$ (Kesin olay)

- $P(\emptyset) = 0$ (İmkansız olay)

- $P(A') = 1 - P(A)$

 2. Olasılık Hesaplama Yöntemleri

 a) Basit Olasılık

Formül:

$$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}$$

Örnek: Bir zar atılıyor. 3 gelme olasılığı?

- $n(A) = 1$ (sadece {3})

- $n(S) = 6$

- $P(A) = \frac{1}{6}$

 b) Birleşim Olasılığı (VEYA)

Genel Formül:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

Birbirini Dışlayan:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) \quad \text{(eğer } A \cap B = \emptyset \text{)}$$

Örnek: Zarda tek VEYA 5'ten büyük sayı?

- A (tek): {1, 3, 5}

- B (5'ten büyük): {6}

- $A \cap B = \emptyset$ (kesişim yok)

- $P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

 c) Kesişim Olasılığı (VE)

Genel Formül:

$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)$$

Bağımsız Olaylar:

$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$

Örnek: İki zar atılıyor. İkisi de 6 gelme?

- $P(\text{Birinci} = 6) = \frac{1}{6}$

- $P(\text{İkinci} = 6) = \frac{1}{6}$

- $P(\text{İkisi de} = 6) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$

 d) Tamamlayıcı Olasılık

Formül:

$$P(A') = 1 - P(A)$$

Örnek: Zarda 6 gelmeme olasılığı?

- $P(6) = \frac{1}{6}$

- $P(\text{6 değil}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$

 E. DETAYLI ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

 Örnek E.1: Basit Olasılık (⭐)

Soru: Bir zar atılıyor. Çift sayı gelme olasılığı nedir?

Çözüm:

Adım 1: Örnek uzayı yaz

$$S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \Rightarrow n(S) = 6$$

Adım 2: Olayı belirle

$$A = \text{Çift sayı} = \{2, 4, 6\} \Rightarrow n(A) = 3$$

Adım 3: Olasılığı hesapla

$$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

Cevap: $\frac{1}{2}$ veya %50 ⭐

 Örnek E.2: Kart Çekme (⭐)

Soru: 52 kartlık desteden bir kart çekiliyor. Kupa olma olasılığı nedir?

Çözüm:

Adım 1: Toplam kart sayısı

$$n(S) = 52$$

Adım 2: Kupa sayısı

$$n(\text{Kupa}) = 13$$

Adım 3: Olasılık

$$P(\text{Kupa}) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$$

Cevap: $\frac{1}{4}$ veya %25 ⭐

 Örnek E.3: Tamamlayıcı Olasılık (⭐)

Soru: Bir zar atılıyor. 5'ten küçük sayı gelme olasılığı nedir?

Çözüm:

Yöntem 1: Direkt Hesaplama

$$A = \{1, 2, 3, 4\} \Rightarrow n(A) = 4$$

$$P(A) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

Yöntem 2: Tamamlayıcı

$$A' = \{5, 6\} \Rightarrow P(A') = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

$$P(A) = 1 - P(A') = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$

Cevap: $\frac{2}{3}$ ⭐

 Örnek E.4: İki Zar Toplamı (⭐⭐)

Soru: İki zar atılıyor. Toplamlarının 7 olma olasılığı nedir?

Çözüm:

Adım 1: Toplam sonuç sayısı

$$n(S) = 6 \times 6 = 36$$

Adım 2: Toplamı 7 olan durumlar

$$(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$$

$$n(A) = 6$$

Adım 3: Olasılık

$$P(\text{Toplam} = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$$

Cevap: $\frac{1}{6}$ ⭐⭐

 Örnek E.5: Birbirini Dışlayan Olaylar (⭐⭐)

Soru: Bir zarda tek sayı VEYA 6 gelme olasılığı nedir?

Çözüm:

Adım 1: Olayları tanımla

- $A = \text{Tek sayı} = \{1, 3, 5\}$

- $B = \{6\}$

Adım 2: Kesişimi kontrol et

$$A \cap B = \emptyset \quad \text{(6 tek değil, kesişim yok)}$$

Adım 3: Birleşim formülü (Birbirini dışlayan)

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

$$= \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

Cevap: $\frac{2}{3}$ ⭐⭐

 Örnek E.6: Birleşim Olasılığı (Kesişimli) (⭐⭐)

Soru: Zar atışında tek sayı VEYA 4'ten büyük sayı gelme olasılığı nedir?

Çözüm:

Adım 1: Olayları tanımla

- $A = \text{Tek} = \{1, 3, 5\}$

- $B = \text{4'ten büyük} = \{5, 6\}$

Adım 2: Kesişimi bul

$$A \cap B = \{5\} \quad \text{(Hem tek hem 4'ten büyük)}$$

Adım 3: Birleşimi bul

$$A \cup B = \{1, 3, 5, 6\}$$

$$n(A \cup B) = 4$$

Adım 4: Olasılık

$$P(A \cup B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

Alternatif (Formül):

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

$$= \frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

Cevap: $\frac{2}{3}$ ⭐⭐

 Örnek E.7: En Az Biri (⭐⭐)

Soru: İki zar atılıyor. En az birinde 6 gelme olasılığı nedir?

Çözüm:

Yöntem 1: Tamamlayıcı (Kolay)

"En az bir 6" = "İkisinde de 6 gelmemesi"nin tersi

$$P(\text{İkisinde de 6 yok}) = \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$$

$$P(\text{En az bir 6}) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$$

Yöntem 2: Direkt Sayma

- Birinci 6, ikinci değil: $1 \times 5 = 5$ durum

- Birinci değil, ikinci 6: $5 \times 1 = 5$ durum

- İkisi de 6: $1 \times 1 = 1$ durum

Toplam: $5 + 5 + 1 = 11$ durum

$$P = \frac{11}{36}$$

Cevap: $\frac{11}{36}$ ⭐⭐

 Örnek E.8: Bağımsız Olaylar (⭐⭐)

Soru: Bir para 3 kez atılıyor. Hep yazı gelme olasılığı nedir?

Çözüm:

Adım 1: Her atış bağımsız

$$P(\text{Yazı}) = \frac{1}{2}$$

Adım 2: Üç atış da yazı (Çarpma kuralı)

$$P(\text{YYY}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$$

Cevap: $\frac{1}{8}$ veya %12.5 ⭐⭐

 Örnek E.9: Gerçek Hayat - Piyango (⭐⭐⭐)

Soru: 1'den 90'a kadar numaralı piyango biletlerinden 5 tanesi kazanacak. Bir kişi 2 bilet alıyor. En az birinin kazanma olasılığı nedir?

Çözüm:

Adım 1: Parametreler

- Toplam bilet: 90

- Kazanan: 5

- Alınan: 2

Adım 2: Tamamlayıcı kullan

"En az bir kazanan" = "İkisi de kaybetme"nin tersi

Adım 3: İkisi de kaybetme

- İlk bilet kaybetme: $\frac{85}{90}$

- İkinci bilet kaybetme (ilk kaybedince): $\frac{84}{89}$

$$P(\text{İkisi de kayıp}) = \frac{85}{90} \times \frac{84}{89} = \frac{7140}{8010} = \frac{119}{133.5}$$

Basitleştir:

$$= \frac{85 \times 84}{90 \times 89} = \frac{7140}{8010} \approx 0.891$$

Adım 4: En az bir kazanan

$$P(\text{En az bir kazanan}) = 1 - 0.891 = 0.109$$

Yaklaşık: %10.9

Cevap: $1 - \frac{85 \times 84}{90 \times 89} \approx 0.109$ ⭐⭐⭐

 Örnek E.10: Koşullu Olasılık Giriş (⭐⭐⭐)

Soru: Bir torbada 3 kırmızı, 2 mavi top var. Geri koymadan iki top çekiliyor. İkisinin de kırmızı olma olasılığı nedir?

Çözüm:

Adım 1: İlk top kırmızı

$$P(\text{1. kırmızı}) = \frac{3}{5}$$

Adım 2: İkinci top da kırmızı (ilk kırmızı çıkınca)

Kalan: 2 kırmızı, 2 mavi (toplam 4)

$$P(\text{2. kırmızı | 1. kırmızı}) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Adım 3: İkisi de kırmızı

$$P(\text{İkisi kırmızı}) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$$

Cevap: $\frac{3}{10}$ veya %30 ⭐⭐⭐

 F. YAYGIN HATALAR

 ❌ Hata 1: Toplam Çıktı Sayısını Yanlış Hesaplama

Yanlış:

İki zar atılıyor, toplam çıktı = $6 + 6 = 12$

Doğru:

İki zar atılıyor, toplam çıktı = $6 \times 6 = 36$ ✓

Neden: Her zar bağımsız, çarpma prensibi!

 ❌ Hata 2: Birleşimde Kesişimi Unutmak

Yanlış:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ (Her zaman)

Doğru:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ ✓

İstisna: Sadece birbirini dışlayan olaylarda ($A \cap B = \emptyset$) direkt toplanır.

 ❌ Hata 3: Tamamlayıcı'yı Yanlış Kullanmak

Yanlış:

"En az biri" = $P(A) + P(B)$

Doğru:

"En az biri" = $1 - P(\text{Hiçbiri})$ ✓

 ❌ Hata 4: Bağımlı/Bağımsız Karıştırmak

Yanlış:

Torbadan geri koymadan çekiyoruz ama $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

Doğru:

Geri koymadan → Bağımlı → $P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)$ ✓

 ❌ Hata 5: Olasılık 1'den Büyük

Yanlış:

$P(A) = \frac{8}{6} = 1.33$

Doğru:

Olasılık asla 1'den büyük olamaz! Hesaplamada hata var. ✓

Kontrol: $0 \leq P(A) \leq 1$

 ❌ Hata 6: Birbirini Dışlayan vs Bağımsız

Yanlış:

Birbirini dışlayan olaylar bağımsızdır.

Doğru:

Birbirini dışlayan ≠ Bağımsız!

- Birbirini dışlayan: $A \cap B = \emptyset$ (Aynı anda olamaz)

- Bağımsız: $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ (Birbirini etkilemez)

Örnek: Zarda "çift" ve "tek" → Birbirini dışlar ama bağımsız DEĞİL! (Biri çift ise kesin tek değil)

 ❌ Hata 7: "VEYA" ile "VE"yi Karıştırmak

Yanlış:

"A veya B" = $P(A) \times P(B)$

Doğru:

- "A VEYA B" → $P(A \cup B)$ → Toplama (kesişim çıkar)

- "A VE B" → $P(A \cap B)$ → Çarpma ✓

 ❌ Hata 8: Sıralı/Sırasız Karıştırmak

Yanlış:

İki top çekiyoruz (geri koymadan), sıra önemli değil ama $P = \frac{3}{5} \times \frac{3}{5}$

Doğru:

Geri koymadan → İkinci çekimde toplam azalır:

$P = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4}$ ✓

 ❌ Hata 9: Tüm Durumları Saymamak

Yanlış:

İki zar toplamı 7: Sadece (1,6), (2,5), (3,4) = 3 durum

Doğru:

Sıra önemli! (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3) = 6 durum ✓

 ❌ Hata 10: Kesrin Basitleştirilmemesi

Yanlış:

Cevap: $\frac{24}{48}$

Doğru:

Basitleştir: $\frac{24}{48} = \frac{1}{2}$ ✓

İpucu: TYT'de genellikle basit kesir/yüzde isterler.

 G. PÜF NOKTALAR

💡 Venn diyagramı çiz: Görsel düşünmek kolaylaştırır

💡 Tamamlayıcı kullan: "En az biri" sorularında $1 - P(\text{Hiçbiri})$

💡 Örnek uzayı listele: Küçük sayılar için tüm durumları yaz

💡 Birbirini dışlayan kontrol: $A \cap B = \emptyset$ mi?

💡 Bağımsızlık testi: $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ doğru mu?

💡 Kesir basitleştir: Son cevabı en sade hale getir

💡 Olasılık aralığı: Her zaman $0 \leq P \leq 1$ kontrol et

💡 Geri koyma durumu: Bağımlı/bağımsız kararı için kritik!