Kalan Bulma - Birinci Derece Bölen

 Tanım

Polinomlarda bölme işlemi yapmadan,

$$P(x) = Q(x) \cdot B(x) + K(x)$$

özdeşliğinden yararlanarak $K(x)$ kalan polinomunu bulmak için, bölen polinomu $Q(x)$ sıfıra eşitlenerek bulunan $x$ değeri, bölünen $P(x)$ polinomunda yerine yazılır. Bu şekilde bulunan ifade kalanı verir.

 6.1.1. Q(x) = ax + b Durumu

Kural:

$$Q(x) = ax + b = 0 \Rightarrow x = -\frac{b}{a}$$

Bu değer bölünen polinomunda yerine yazıldığında bulunan değer kalanı verir.

Formül:

$$\boxed{\text{Kalan} = P\left(-\frac{b}{a}\right)}$$

 6.1.2. Örnek 1: Temel Durumlar (⭐⭐)

Soru:  

$$P(x) = -x^4 + 2x^3 - x + 1$$

polinomu veriliyor.

I. $P(x)$'in $(x-1)$ ile bölümünden kalan  

II. $P(x)$'in $(x+1)$ ile bölümünden kalan  

III. $P(x+1)$'in $(x+3)$ ile bölümünden kalan  

IV. $P(2x-1)$'in $(x-2)$ ile bölümünden kalan

bulunuz.

Çözüm:

I. $P(x)$'in $(x-1)$ ile bölümünden kalan

$$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$$

$$\text{Kalan} = P(1) = -(1)^4 + 2(1)^3 - 1 + 1$$

$$= -1 + 2 - 1 + 1 = 1$$

Cevap: Kalan = $1$ ✅

II. $P(x)$'in $(x+1)$ ile bölümünden kalan

$$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$$

$$\text{Kalan} = P(-1) = -(-1)^4 + 2(-1)^3 - (-1) + 1$$

$$= -1 - 2 + 1 + 1 = -1$$

Cevap: Kalan = $-1$ ✅

III. $P(x+1)$'in $(x+3)$ ile bölümünden kalan

Dikkat: Bölünen $P(x+1)$, bölen $(x+3)$

$$x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$$

Bölünen polinomda $x = -3$ koy:

$$P(-3+1) = P(-2)$$

$$P(-2) = -(-2)^4 + 2(-2)^3 - (-2) + 1$$

$$= -16 - 16 + 2 + 1$$

$$= -29$$

Cevap: Kalan = $-29$ ✅

Önemli Not: Bileşke durumda dikkat! $(x+3) = 0$ → $x = -3$ → $P(-3+1)$

IV. $P(2x-1)$'in $(x-2)$ ile bölümünden kalan

Dikkat: Bölünen $P(2x-1)$, bölen $(x-2)$

$$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$$

Bölünen polinomda $x = 2$ koy:

$$P(2(2)-1) = P(3)$$

$$P(3) = -(3)^4 + 2(3)^3 - 3 + 1$$

$$= -81 + 54 - 3 + 1$$

$$= -29$$

Cevap: Kalan = $-29$ ✅

 6.1.3. Örnek 2: Katsayılı Bölen (⭐⭐)

Soru:  

$$P(x) = 4x^3 - 2x^2 + 3x - 5$$

polinomunun $(2x-1)$ ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm:

$$2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$$

$$\text{Kalan} = P\left(\frac{1}{2}\right) = 4\left(\frac{1}{2}\right)^3 - 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 3\left(\frac{1}{2}\right) - 5$$

$$= 4 \cdot \frac{1}{8} - 2 \cdot \frac{1}{4} + \frac{3}{2} - 5$$

$$= \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} - 5$$

$$= \frac{3}{2} - 5 = -\frac{7}{2}$$

Cevap: Kalan = $-\frac{7}{2}$ ✅

 6.1.4. Püf Noktaları

 Kalan Bulma - İkinci Derece Bölen (x² Yerine Koyma)

 Tanım

$$Q(x) = ax^2 + bx + c = 0 \text{ ise } x^2 = -\frac{bx+c}{a}$$

ifadesi bölünen polinomda tüm $x^2$ terimlerinin yerine yazılır, bu işleme kalanın derecesi $x^2$'den küçük oluncaya kadar devam edilir.

Önemli: Bu yöntemle soru çözülürken, $ax^2 + bx + c = 0$ denkleminde kök bulma veya sadeleştirme işlemi yapılmaz.

 6.2.1. Örnek 3: İkinci Derece Bölen - I (⭐⭐⭐)

Soru:  

$$P(x) = x^4 - 5x^3 + x^2 + 3x - 2$$

polinomu veriliyor.

I. $P(x)$'in $x^2 - 2$ ile bölümünden kalan  

II. $P(x)$'in $x^2 + 1$ ile bölümünden kalan  

III. $P(x)$'in $x^2 + x$ ile bölümünden kalan

bulunuz.

Çözüm I: $P(x)$'in $x^2 - 2$ ile bölümünden kalan

Adım 1: Bölenden $x^2$ ifadesini bul

$$x^2 - 2 = 0 \Rightarrow x^2 = 2$$

Adım 2: Bölünende $x^2$ yerine $2$ yaz

$$P(x) = x^4 - 5x^3 + x^2 + 3x - 2$$

$$= (x^2)^2 - 5x \cdot x^2 + x^2 + 3x - 2$$

$x^2 = 2$ koy:

$$= (2)^2 - 5x(2) + 2 + 3x - 2$$

$$= 4 - 10x + 2 + 3x - 2$$

$$= 4 - 7x$$

Cevap: Kalan = $-7x + 4$ ✅

Kontrol: Kalanın derecesi $1 < 2$ ✅

Çözüm II: $P(x)$'in $x^2 + 1$ ile bölümünden kalan

Adım 1: Bölenden $x^2$ ifadesini bul

$$x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = -1$$

Adım 2: Bölünende $x^2$ yerine $-1$ yaz

$$P(x) = x^4 - 5x^3 + x^2 + 3x - 2$$

$x^4 = (x^2)^2 = (-1)^2 = 1$  

$x^3 = x \cdot x^2 = x(-1) = -x$  

$x^2 = -1$

$$= 1 - 5(-x) + (-1) + 3x - 2$$

$$= 1 + 5x - 1 + 3x - 2$$

$$= 8x - 2$$

Cevap: Kalan = $8x - 2$ ✅

Çözüm III: $P(x)$'in $x^2 + x$ ile bölümünden kalan

Adım 1: Bölenden $x^2$ ifadesini bul

$$x^2 + x = 0 \Rightarrow x^2 = -x$$

Adım 2: Bölünende $x^2$ yerine $-x$ yaz

$$P(x) = x^4 - 5x^3 + x^2 + 3x - 2$$

$x^4 = (x^2)^2 = (-x)^2 = x^2 = -x$ (tekrar yerine koy)  

$x^3 = x \cdot x^2 = x(-x) = -x^2 = -(-x) = x$

Doğru yaklaşım:

$x^2 = -x$  

$x^3 = x \cdot x^2 = x(-x) = -x^2$ → tekrar $x^2 = -x$ → $-x^3 = -(-x^2) = x^2 = -x$ → $x^3 = x$  

$x^4 = x \cdot x^3 = x \cdot x = x^2 = -x$

$$P(x) = x^4 - 5x^3 + x^2 + 3x - 2$$

$$= -x - 5x + (-x) + 3x - 2$$

$$= -4x - 2$$

Cevap: Kalan = $-4x - 2$ ✅

 6.2.2. Örnek 4: Kesirli Katsayı (⭐⭐⭐)

Soru:  

$$P(x) = 2x^4 + 3x^3 - x^2 + 5x - 4$$

polinomunun $2x^2 - 3$ ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Bölenden $x^2$ ifadesini bul

$$2x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{3}{2}$$

Adım 2: Bölünende $x^2$ yerine $\frac{3}{2}$ yaz

$$P(x) = 2x^4 + 3x^3 - x^2 + 5x - 4$$

$x^4 = (x^2)^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$  

$x^3 = x \cdot x^2 = x \cdot \frac{3}{2} = \frac{3x}{2}$  

$x^2 = \frac{3}{2}$

$$= 2 \cdot \frac{9}{4} + 3 \cdot \frac{3x}{2} - \frac{3}{2} + 5x - 4$$

$$= \frac{9}{2} + \frac{9x}{2} - \frac{3}{2} + 5x - 4$$

$$= \frac{9 - 3}{2} + \frac{9x + 10x}{2} - 4$$

$$= 3 + \frac{19x}{2} - 4$$

$$= \frac{19x}{2} - 1$$

Cevap: Kalan = $\frac{19x}{2} - 1$ ✅

 Kalan Bulma - İkinci Derece Bölen (Kök Yöntemi)

 Tanım

$$Q(x) = ax^2 + bx + c = 0$$

denkleminin kökleri $x_1$ ve $x_2$ olsun.

$$P(x) = Q(x) \cdot B(x) + mx + n$$

eşitliğinde,

$$x = x_1 \Rightarrow P(x_1) = mx_1 + n$$

$$x = x_2 \Rightarrow P(x_2) = mx_2 + n$$

denklem sisteminin çözümünden $m$ ve $n$ bulunursa, $P(x)$'in $Q(x) = ax^2 + bx + c$ ile bölümünden kalan:

$$\boxed{K(x) = mx + n}$$

 6.3.1. Örnek 5: Kök Yöntemi - I (⭐⭐⭐)

Soru:  

$$P(x) = x^7 - 4x^3 + 7$$

polinomu veriliyor.

I. $P(x)$'in $x^2 - 1$ ile bölümünden kalan  

II. $P(x)$'in $x^2 - x$ ile bölümünden kalan

bulunuz.

Çözüm I: $P(x)$'in $x^2 - 1$ ile bölümünden kalan

Adım 1: Böleni çarpanlarına ayır

$$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$$

Kökler: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$

Adım 2: Kalan $K(x) = mx + n$ olsun

Şart 1: $P(1) = m(1) + n$

$$P(1) = (1)^7 - 4(1)^3 + 7 = 1 - 4 + 7 = 4$$

$$m + n = 4$$ ... (1)

Şart 2: $P(-1) = m(-1) + n$

$$P(-1) = (-1)^7 - 4(-1)^3 + 7 = -1 + 4 + 7 = 10$$

$$-m + n = 10$$ ... (2)

Adım 3: Sistemi çöz

(1) + (2):

$$2n = 14 \Rightarrow n = 7$$

(1)'den:

$$m + 7 = 4 \Rightarrow m = -3$$

Cevap: Kalan = $-3x + 7$ ✅

Çözüm II: $P(x)$'in $x^2 - x$ ile bölümünden kalan

Adım 1: Böleni çarpanlarına ayır

$$x^2 - x = x(x-1)$$

Kökler: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$

Adım 2: Kalan $K(x) = mx + n$ olsun

Şart 1: $P(0) = m(0) + n$

$$P(0) = 0 - 0 + 7 = 7$$

$$n = 7$$ ... (1)

Şart 2: $P(1) = m(1) + n$

$$P(1) = 1 - 4 + 7 = 4$$

$$m + n = 4$$ ... (2)

Adım 3: Sistemi çöz

(1)'den: $n = 7$

(2)'den: $m + 7 = 4 \Rightarrow m = -3$

Cevap: Kalan = $-3x + 7$ ✅

İlginç: İki durumda da aynı kalan! (Tesadüf)

 6.3.2. Örnek 6: Kök Yöntemi - II (⭐⭐⭐)

Soru:  

$$P(x) = 2x^5 + 3x^4 - x^3 + 2x^2 - 5x + 1$$

polinomunun $x^2 - 3x + 2$ ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Böleni çarpanlarına ayır

$$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$$

Kökler: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$

Adım 2: Kalan $K(x) = mx + n$ olsun

Şart 1: $P(1) = m + n$

$$P(1) = 2 + 3 - 1 + 2 - 5 + 1 = 2$$

$$m + n = 2$$ ... (1)

Şart 2: $P(2) = 2m + n$

$$P(2) = 2(32) + 3(16) - 8 + 8 - 10 + 1$$

$$= 64 + 48 - 8 + 8 - 10 + 1 = 103$$

$$2m + n = 103$$ ... (2)

Adım 3: Sistemi çöz

(2) - (1):

$$m = 101$$

(1)'den:

$$101 + n = 2 \Rightarrow n = -99$$

Cevap: Kalan = $101x - 99$ ✅

 Bilinmeyen Polinom ile Kalan Bulma

 Tanım

$P(x)$ polinomunun denkleminin verilmediği kalan sorularında,

$$P(x) = Q(x) \cdot B(x) + K(x)$$

genel denkleminden yararlanılarak çözüme gidilir.

Önemli: $K(x)$'in derecesi bölenin derecesinden 1 eksik seçilir.

 6.4.1. Örnek 7: Bilinmeyen Polinom (⭐⭐⭐)

Soru:  

$P(x)$ polinomunun $(x-1)$ ile bölümünden kalan $2$, $(x+2)$ ile bölümünden kalan $-1$'dir.

Buna göre, $P(x)$ polinomunun $x^2 + x - 2$ ile bölümünden kalanı bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: Böleni çarpanlarına ayır

$$x^2 + x - 2 = (x-1)(x+2)$$

Adım 2: Verilen bilgiler

- $(x-1)$ ile bölümde kalan $2$ → $P(1) = 2$

- $(x+2)$ ile bölümde kalan $-1$ → $P(-2) = -1$

Adım 3: Kalan $K(x) = mx + n$ olsun

Şart 1: $P(1) = 2$

$$K(1) = m + n = 2$$ ... (1)

Şart 2: $P(-2) = -1$

$$K(-2) = -2m + n = -1$$ ... (2)

Adım 4: Sistemi çöz

(1) - (2):

$$3m = 3 \Rightarrow m = 1$$

(1)'den:

$$1 + n = 2 \Rightarrow n = 1$$

Cevap: Kalan = $x + 1$ ✅

Kontrol:

- $K(1) = 1 + 1 = 2$ ✅

- $K(-2) = -2 + 1 = -1$ ✅

 6.4.2. Örnek 8: Üçlü Şart (⭐⭐⭐)

Soru:  

$P(x)$ polinomunun $(x-1)$ ile bölümünden kalan $3$, $(x-2)$ ile bölümünden kalan $5$, $(x-3)$ ile bölümünden kalan $7$'dir.

$P(x)$ polinomunun $(x-1)(x-2)(x-3)$ ile bölümünden kalanı bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: Bölenin derecesi $3$ → Kalanın derecesi $< 3$

Kalan $K(x) = ax^2 + bx + c$ olsun.

Adım 2: Verilen şartlar

- $P(1) = 3$ → $K(1) = a + b + c = 3$ ... (1)

- $P(2) = 5$ → $K(2) = 4a + 2b + c = 5$ ... (2)

- $P(3) = 7$ → $K(3) = 9a + 3b + c = 7$ ... (3)

Adım 3: Sistemi çöz

(2) - (1): $3a + b = 2$ ... (4)  

(3) - (2): $5a + b = 2$ ... (5)

(5) - (4): $2a = 0$ → $a = 0$

(4)'ten: $b = 2$

(1)'den: $0 + 2 + c = 3$ → $c = 1$

Cevap: Kalan = $2x + 1$ ✅

İlginç Durum: Kalan doğrusal çıktı! (Kalanlar $3, 5, 7$ aritmetik dizi)

Kontrol:

- $K(1) = 2 + 1 = 3$ ✅

- $K(2) = 4 + 1 = 5$ ✅

- $K(3) = 6 + 1 = 7$ ✅

 Yüksek Dereceli Bölenler

 Tanım

$P(x)$'in derecesi $2$'den büyük ise;

$$Q(x) = 0$$

denkleminden bulunan en büyük dereceli $x$'in değeri bölünen polinomda yerine yazılarak kalan bulunur.

Not: TYT'de bu durum çok az çıkar, ama bilmek gerekir.

 6.5.1. Örnek 9: Üçüncü Derece Bölen (⭐⭐⭐)

Soru:  

$$P(x) = x^5 + 2x^4 - 3x^3 + x^2 - 5x + 7$$

polinomunun $x^3 - x^2 + 1$ ile bölümünden kalanı bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: Bölenden $x^3$ ifadesini bul

$$x^3 - x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^3 = x^2 - 1$$

Adım 2: Bölünende $x^3$ ve daha yüksek kuvvetleri yerine koy

$$P(x) = x^5 + 2x^4 - 3x^3 + x^2 - 5x + 7$$

$x^5 = x^2 \cdot x^3 = x^2(x^2 - 1) = x^4 - x^2$  

$x^4 = x \cdot x^3 = x(x^2 - 1) = x^3 - x = (x^2 - 1) - x = x^2 - x - 1$  

$x^3 = x^2 - 1$

$$P(x) = (x^4 - x^2) + 2(x^2 - x - 1) - 3(x^2 - 1) + x^2 - 5x + 7$$

$x^4 - x^2$ için tekrar:  

$x^4 = x^2 - x - 1$ (yukarıdan)

$$= (x^2 - x - 1 - x^2) + 2x^2 - 2x - 2 - 3x^2 + 3 + x^2 - 5x + 7$$

$$= -x - 1 + 2x^2 - 2x - 2 - 3x^2 + 3 + x^2 - 5x + 7$$

$$= (2 - 3 + 1)x^2 + (-1 - 2 - 5)x + (-1 - 2 + 3 + 7)$$

$$= 0x^2 - 8x + 7$$

$$= -8x + 7$$

Cevap: Kalan = $-8x + 7$ ✅

Not: Bu tür sorular karmaşık, TYT'de çok az çıkar.

 Tam Bölünme Şartları

 Tanım

$P(x)$ polinomu $(x-a) \cdot (x-b) \cdot (x-c) \ldots$ çarpımı ile tam bölünebiliyorsa, $(x-a)$, $(x-b)$, $(x-c)$, ... çarpanlarıyla da ayrı ayrı tam bölünebilir.

Başka deyişle:

$$P(x) \text{ tam bölünür } (x-a)(x-b)(x-c)$$

$$\Downarrow$$

$$P(a) = 0, \quad P(b) = 0, \quad P(c) = 0$$

 6.6.1. Faktör Teoremi

Teorem:

$$\boxed{P(a) = 0 \Leftrightarrow (x-a) \text{ çarpandır}}$$

İki yönlü:

- $P(a) = 0$ ise → $(x-a)$ çarpandır

- $(x-a)$ çarpansa → $P(a) = 0$ olmalı

 6.6.2. Örnek 10: Çarpan Bulma (⭐⭐)

Soru:  

$$P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$$

polinomunun birinci derece çarpanlarını bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: Sabit terimin bölenlerini yaz

Sabit terim = $-6$ → Bölenleri: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

Adım 2: Her birini test et

$$P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$$ ✅ → $(x-1)$ çarpan

$$P(2) = 8 - 24 + 22 - 6 = 0$$ ✅ → $(x-2)$ çarpan

$$P(3) = 27 - 54 + 33 - 6 = 0$$ ✅ → $(x-3)$ çarpan

Sonuç:

$$P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)$$

Kontrol: Derece $3$, üç çarpan bulundu ✅

 6.6.3. Soru 1: Çarpım Bölen ile Tam Bölünme (⭐⭐⭐)

Soru:  

$$P(x) = 3x^4 - ax^2 + x - b + 2$$

polinomu $x^2 + 2x$ ile tam bölünebildiğine göre, $a \cdot b$ çarpımı kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Böleni çarpanlarına ayır

$$x^2 + 2x = x(x+2)$$

Adım 2: Tam bölünme şartları

- $x$ çarpan → $P(0) = 0$

- $(x+2)$ çarpan → $P(-2) = 0$

Şart 1: $P(0) = 0$

$$P(0) = 3(0) - a(0) + 0 - b + 2 = 0$$

$$-b + 2 = 0$$

$$b = 2$$ ... (1)

Şart 2: $P(-2) = 0$

$$P(-2) = 3(-2)^4 - a(-2)^2 + (-2) - b + 2 = 0$$

$$3(16) - 4a - 2 - b + 2 = 0$$

$$48 - 4a - b = 0$$

$$4a + b = 48$$ ... (2)

Adım 3: Sistemi çöz

(1)'den: $b = 2$

(2)'ye koy:

$$4a + 2 = 48$$

$$4a = 46$$

$$a = \frac{46}{4} = \frac{23}{2}$$

Cevap:

$$a \cdot b = \frac{23}{2} \cdot 2 = 23$$

 6.6.4. Örnek 11: Parametreli Tam Bölünme (⭐⭐⭐)

Soru:  

$$P(x) = 2x^3 + ax^2 - 5x + b$$

polinomu $(x-1)$ ve $(x+2)$ ile tam bölünüyor.

$a + b$ kaçtır?

Çözüm:

Şart 1: $(x-1)$ çarpan → $P(1) = 0$

$$2(1)^3 + a(1)^2 - 5(1) + b = 0$$

$$2 + a - 5 + b = 0$$

$$a + b = 3$$ ... (1)

Şart 2: $(x+2)$ çarpan → $P(-2) = 0$

$$2(-2)^3 + a(-2)^2 - 5(-2) + b = 0$$

$$-16 + 4a + 10 + b = 0$$

$$4a + b = 6$$ ... (2)

Çözüm:

(2) - (1):

$$3a = 3 \Rightarrow a = 1$$

(1)'den:

$$1 + b = 3 \Rightarrow b = 2$$

Cevap: $a + b = 3$ ✅

 Sık Yapılan Hatalar