ONDALIK SAYI KAVRAMI

 Tanım ve Gösterim

Ondalık Sayı: Onluk tabanda yazılmış, virgülle ayırılmış şekilde gösterilen sayılardır.

Gösterim: $a,bcd...$ (okunuşu: "a tam bcd...")

- Virgülün solundaki kısım: Tam kısım (tam sayılar)

- Virgülün sağındaki kısım: Ondalık kısım (kesirler)

 Basamak Değerleri:

KESİRDEN ONDALIK'A DÖNÜŞÜM

 Sonlu Ondalık Sayılar

Yöntem: Payı paydaya böl.

Örnek 1: $\frac{3}{4}$ kesirini ondalık olarak yaz.

$$\frac{3}{4} = 3 \div 4 = 0,75$$

Örnek 2: $\frac{5}{8}$ kesirini ondalık olarak yaz.

$$\frac{5}{8} = 5 \div 8 = 0,625$$

 Devirli Ondalık Sayılar

Tanım: Ondalık açılımında belirli rakam/rakamlar tekrar ettiğinde devirli ondalık oluşur.

Gösterim: $0,333... = 0,\overline{3}$ (deviren nokta parantezi)

Örnek: $\frac{1}{3}$ kesirini ondalık olarak yaz.

$$\frac{1}{3} = 1 \div 3 = 0,333... = 0,\overline{3}$$

 ONDALIK'TAN KESİR'E DÖNÜŞÜM

 Sonlu Ondalık Sayılar

Algoritma:

1. Virgülü sil, sayıyı yaz (pay olarak)

2. Ondalık basamak sayısı kadar 10'un kuvvetini yaz (payda)

3. Sadeleştir

Örnek 1: $0,75$ kesir olarak yaz.

$$0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$$

Örnek 2: $2,125$ kesir olarak yaz.

$$2,125 = \frac{2125}{1000} = \frac{17}{8}$$

 Devirli Ondalık Sayılar

Formül: $0,\overline{a} = \frac{a}{9}$, $0,\overline{ab} = \frac{ab}{99}$, vb.

Örnek 1: $0,\overline{3}$ kesir olarak yaz.

$$0,\overline{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$$

Örnek 2: $0,\overline{45}$ kesir olarak yaz.

$$0,\overline{45} = \frac{45}{99} = \frac{5}{11}$$

 Karışık Devirli Ondalık Sayılar

Formül: $0,a\overline{b} = \frac{ab - a}{90}$, $0,ab\overline{c} = \frac{abc - ab}{900}$

Örnek: $0,1\overline{6}$ kesir olarak yaz.

$$0,1\overline{6} = \frac{16 - 1}{90} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}$$

Matematiksel İspat:

$x = 0,1666...$

$10x = 1,666...$

$100x = 16,666...$

$100x - 10x = 15$

$90x = 15$

$x = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}$

 RASYONEL SAYILARIN SINIFLANDIRILMASI

 Sonlu Ondalık Açılım Koşulu

Teorem: $\frac{a}{b}$ kesri (en sade halde) sonlu ondalık ise, $b = 2^m \times 5^n$ şeklindedir.

Örnek 1: $\frac{3}{8}$ - Sonlu mi?

$8 = 2^3$ → Sonlu ondalık ✓

$\frac{3}{8} = 0,375$

Örnek 2: $\frac{5}{12}$ - Sonlu mi?

$12 = 2^2 \times 3$ → 3 çarpanı var → Devirli ondalık

$\frac{5}{12} = 0,41\overline{6}$

 RASYONEL SAYILARIN SIRALAMA

 Yöntem 1: Ortak Paydaya Çevirme

Algoritma:

1. Tüm sayıları kesir şeklinde yaz

2. Ortak payda bul (EKOK)

3. Payları karşılaştır

Örnek: $\frac{3}{4}, \frac{5}{6}, \frac{7}{8}$ sırala.

$\text{EKOK}(4, 6, 8) = 24$

$\frac{3}{4} = \frac{18}{24}$, $\frac{5}{6} = \frac{20}{24}$, $\frac{7}{8} = \frac{21}{24}$

$\frac{18}{24} < \frac{20}{24} < \frac{21}{24}$ → $\frac{3}{4} < \frac{5}{6} < \frac{7}{8}$

 Yöntem 2: Ondalık Gösterime Çevirme

Algoritma:

1. Tüm sayıları ondalık yazı çevir

2. Ondalık sayıları karşılaştır

Örnek: $\frac{2}{5}, 0,35, \frac{3}{8}$ sırala.

$\frac{2}{5} = 0,4$

$0,35 = 0,35$

$\frac{3}{8} = 0,375$

$0,35 < 0,375 < 0,4$ → $0,35 < \frac{3}{8} < \frac{2}{5}$

 Yöntem 3: 1'den Fark Kullanma

Mantık: Sayıları 1'e yakınlığından karşılaştır.

Örnek: $\frac{7}{8}, \frac{9}{10}, \frac{11}{12}$ sırala.

$1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8} = 0,125$

$1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10} = 0,1$

$1 - \frac{11}{12} = \frac{1}{12} \approx 0,083$

Farklar ne kadar küçükse sayı 1'e o kadar yakın:

$\frac{1}{12} < \frac{1}{10} < \frac{1}{8}$

→ $\frac{7}{8} < \frac{9}{10} < \frac{11}{12}$

 ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

 Örnek 1: Kesirden Ondalık'a

Soru: $\frac{7}{16}$ kesirini ondalık olarak yazınız.

Çözüm:

$$\frac{7}{16} = 7 \div 16 = 0,4375$$

 Örnek 2: Ondalık'tan Kesir'e

Soru: $2,35$ ondalık sayısını kesir olarak yazınız.

Çözüm:

$$2,35 = \frac{235}{100} = \frac{47}{20}$$

 Örnek 3: Devirli Ondalık

Soru: $0,\overline{27}$ devirli ondalık sayısını kesir olarak yazınız.

Çözüm:

$$0,\overline{27} = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$$

 Örnek 4: Karışık Devirli Ondalık

Soru: $1,2\overline{3}$ sayısını kesir olarak yazınız.

Çözüm:

$x = 1,2333...$

$10x = 12,333...$

$100x = 123,333...$

$100x - 10x = 111$

$90x = 111$

$x = \frac{111}{90} = \frac{37}{30}$

 Örnek 5: Sıralama

Soru: $\frac{4}{9}, 0,444, 0,4\overline{4}$ sayılarını sıralamak.

Çözüm:

$\frac{4}{9} = 0,\overline{4} = 0,444...$

$0,444 = 0,444$ (sonlu)

$0,4\overline{4} = 0,444... = 0,\overline{4}$

$\frac{4}{9} = 0,444... > 0,444$

$\frac{4}{9} = 0,4\overline{4}$

Sıralama: $0,444 < \frac{4}{9} = 0,4\overline{4}$

 Örnek 6: Sonlu vs Devirli

Soru: $\frac{5}{12}$ kesri sonlu mu devirli ondalık mıdır?

Çözüm:

$12 = 2^2 \times 3$

3 çarpanı var → Devirli ondalık

$\frac{5}{12} = 0,41\overline{6}$

 Örnek 7: Karmaşık Sıralama

Soru: $\frac{11}{15}, \frac{7}{9}, 0,75$ sayılarını sıralamak.

Çözüm:

Ortak paydaya çevir: $\text{EKOK}(15, 9, 4) = 180$

$\frac{11}{15} = \frac{132}{180}$

$\frac{7}{9} = \frac{140}{180}$

$0,75 = \frac{3}{4} = \frac{135}{180}$

$\frac{132}{180} < \frac{135}{180} < \frac{140}{180}$

→ $\frac{11}{15} < 0,75 < \frac{7}{9}$

 PÜF NOKTALAR VE DİKKAT EDİLECEKLER

 🎯 Püf Nokta 1: Sonlu Ondalık Koşulu

Paydayı asal çarpanlarına ayır. Sadece 2 ve 5 varsa sonlu, başka asal çarpan varsa devirlidir.

 🎯 Püf Nokta 2: Devirli Ondalık Formülü

$0,\overline{abc} = \frac{abc}{999}$ gibi kolaylıklar kullan.

 🎯 Püf Nokta 3: Karışık Devirli Dönüşüm

$0,a\overline{bc}$ için farkı kullan: $\text{(sayı)100} - \text{(sayı)10}$

 🎯 Püf Nokta 4: Sıralama Hızlı Yöntemi

Benzer kesirleri 1'e uzaklığından karşılaştır.

 YAYGIN HATALAR

 ❌ Hata 1: Devirli Ondalık Formülü

Yanlış: $0,\overline{3} = \frac{3}{10}$

Doğru: $0,\overline{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

 ❌ Hata 2: Sıfırları Unutmak

Yanlış: $0,35 = \frac{35}{10}$

Doğru: $0,35 = \frac{35}{100} = \frac{7}{20}$

 ❌ Hata 3: Devirli Ayırma

Yanlış: $0,1\overline{3}$ yerine $0,\overline{13}$ olarak almak

Doğru: Devirli kısım belirtileni dikkate al

 EK ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

 Örnek 8: Yoğun Sıralama

Soru: $\frac{2}{3}, 0,6\overline{6}, 0,66, \frac{4}{6}$ sıralamak.

Çözüm:

$\frac{2}{3} = 0,\overline{6} = 0,666...$

$0,6\overline{6} = 0,666... = 0,\overline{6}$

$0,66 = 0,66$

$\frac{4}{6} = \frac{2}{3} = 0,\overline{6}$

→ $0,66 < \frac{2}{3} = 0,6\overline{6} = \frac{4}{6}$

 Örnek 9: İşlem + Sıralama

Soru: $\frac{1}{3} + 0,2\overline{5}$ işlemini yapıp sonucu ondalık olarak yazın.

Çözüm:

$0,2\overline{5} = \frac{25-2}{90} = \frac{23}{90}$

$\frac{1}{3} + \frac{23}{90} = \frac{30}{90} + \frac{23}{90} = \frac{53}{90}$

Ondalık: $\frac{53}{90} = 0,5\overline{8}$