DOĞRU ORANTI

 Tanım

Doğru Orantı: İki çokluğun biri artarken diğeri de aynı oranda artan, biri azalırken diğeri de aynı oranda azalan orantıya doğru orantı denir.

Gösterim: $y = k \cdot x$ (burada $k$ orantı sabiti)

Özellikler:

- $x$ iki katına çıkarsa, $y$ de iki katına çıkar

- $\frac{y}{x} = k$ (sabit)

- Grafik orijinden geçen doğrudur

 Doğru Orantı Gösterimi:

 Doğru Orantı Problemleri

 Örnek 1: Basit Doğru Orantı

Soru: Bir araç 3 saatte 180 km yol gidiyor. 5 saatte kaç km yol gider? (Hız sabit)

Çözüm:

Zaman ve mesafe doğru orantılıdır.

$$\frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2}$$

$$\frac{3}{180} = \frac{5}{y}$$

$$3y = 180 \times 5$$

$$3y = 900$$

$$y = 300 \text{ km}$$

 Örnek 2: Orantı Sabiti ile

Soru: Bir işçi 4 saatte 20 parça ürün yapıyor. 10 saatte kaç parça ürün yapar?

Çözüm:

Orantı sabiti: $k = \frac{20}{4} = 5$ parça/saat

10 saatte: $y = 5 \times 10 = 50$ parça

 TERS ORANTI

 Tanım

Ters Orantı: İki çokluğun biri artarken diğeri aynı oranda azalan, biri azalırken diğeri aynı oranda artan orantıya ters orantı denir.

Gösterim: $y = \frac{k}{x}$ veya $x \cdot y = k$ (burada $k$ orantı sabiti)

Özellikler:

- $x$ iki katına çıkarsa, $y$ yarıya düşer

- $x \cdot y = k$ (sabit)

- Grafik hiperbol şeklidir

 Ters Orantı Gösterimi:

 Ters Orantı Problemleri

 Örnek 3: Basit Ters Orantı

Soru: Bir işi 6 kişi 10 günde yapabiliyor. Aynı işi 15 kişi kaç günde yapabilir?

Çözüm:

Kişi sayısı ve gün sayısı ters orantılıdır.

$$x_1 \cdot y_1 = x_2 \cdot y_2$$

$$6 \times 10 = 15 \times y$$

$$60 = 15y$$

$$y = 4 \text{ gün}$$

 Örnek 4: Ters Orantı Sabiti ile

Soru: Bir su deposu, musluktan 5 litre/dakika hızla akarak 120 dakikada boşalıyor. Aynı depo 8 litre/dakika hızla akarsa kaç dakikada boşalır?

Çözüm:

Hız ve zaman ters orantılıdır.

Orantı sabiti: $k = 5 \times 120 = 600$

$$8 \times y = 600$$

$$y = 75 \text{ dakika}$$

 BILEŞIK ORANTI

 Tanım

Bileşik Orantı: Üç veya daha fazla çokluğun aralarında orantılı ilişkisi bulunduğu durumdur.

 Bileşik Orantı Problemi

 Örnek 5: Bileşik Orantı

Soru: 5 işçi, günde 8 saat çalışarak 12 günde 480 metre kumaş dokuyorsa; 8 işçi, günde 6 saat çalışarak 9 günde kaç metre kumaş dokur?

Çözüm:

Çalışılan kumaş (Çıktı) aşağıdakilerle doğru orantılıdır:

- İşçi sayısı

- Çalışma saati

- Çalışma günü

$$\frac{\text{Çıktı}_1}{\text{İşçi}_1 \times \text{Saat}_1 \times \text{Gün}_1} = \frac{\text{Çıktı}_2}{\text{İşçi}_2 \times \text{Saat}_2 \times \text{Gün}_2}$$

$$\frac{480}{5 \times 8 \times 12} = \frac{x}{8 \times 6 \times 9}$$

$$\frac{480}{480} = \frac{x}{432}$$

$$1 = \frac{x}{432}$$

$$x = 432 \text{ metre}$$

 ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

 Örnek 6: Hız ve Zaman

Soru: Bir sürücü saatte 80 km hızla 6 saatte vardığı yere, saatte 120 km hızla kaç saatte varır?

Çözüm:

Hız ve zaman ters orantılıdır.

$$v_1 \times t_1 = v_2 \times t_2$$

$$80 \times 6 = 120 \times t$$

$$480 = 120t$$

$$t = 4 \text{ saat}$$

 Örnek 7: Fiyat ve Miktar

Soru: 3 kg elma 15 TL ise, 7 kg elma kaç TL'dir?

Çözüm:

Miktar ve fiyat doğru orantılıdır.

$$\frac{3}{15} = \frac{7}{x}$$

$$3x = 15 \times 7$$

$$3x = 105$$

$$x = 35 \text{ TL}$$

 Örnek 8: Makine ve Üretim

Soru: 4 makine 5 saatte 100 parça ürün üretiyorsa, 6 makine 8 saatte kaç parça ürün üretir?

Çözüm:

Üretim, makine sayısı ve çalışma saati ile doğru orantılıdır.

$$\frac{\text{Ürün}_1}{\text{Makine}_1 \times \text{Saat}_1} = \frac{\text{Ürün}_2}{\text{Makine}_2 \times \text{Saat}_2}$$

$$\frac{100}{4 \times 5} = \frac{x}{6 \times 8}$$

$$\frac{100}{20} = \frac{x}{48}$$

$$5 = \frac{x}{48}$$

$$x = 240 \text{ parça}$$

 Örnek 9: Havuz Doldurma

Soru: Bir havuzu 3 musluk 6 saatte dolduruyor. Aynı havuzu 5 musluk kaç saatte doldurur?

Çözüm:

Musluk sayısı ve zaman ters orantılıdır.

$$3 \times 6 = 5 \times t$$

$$18 = 5t$$

$$t = 3.6 \text{ saat} = 3 \text{ saat } 36 \text{ dakika}$$

 Örnek 10: Yol ve Hız

Soru: A ve B şehirleri arasındaki uzaklık 300 km'dir. Birinci araç saatte 60 km, ikinci araç saatte 75 km hızla gidiyor. İkinci araç, birinciden 2 saat sonra çıkıyor. İkinci araç, birincinin kaç km sonrasında yakalamışsa?

Çözüm:

Birinci araç 2 saat önce çıktığından: $60 \times 2 = 120$ km ilerde.

İkinci araç yakalamaya başladığında:

- Birinci araç durumu: $60t$ (toplam saat)

- İkinci araç durumu: $75(t-2)$ (2 saat geç başladığı için)

Yakalandığında:

$$60t = 75(t - 2)$$

$$60t = 75t - 150$$

$$-15t = -150$$

$$t = 10 \text{ saat}$$

Yakalama noktası: $60 \times 10 = 600$ km

 DOĞRU VE TERS ORANTI KARŞILAŞTIRMASI

PÜF NOKTALAR VE DİKKAT EDİLECEKLER

 🎯 Püf Nokta 1: Orantı Türünü Belirleme

Problemde "artınca artar" deniliyorsa doğru orantı, "artınca azalır" deniliyorsa ters orantıdır.

 🎯 Püf Nokta 2: Formül Seçimi

- Doğru orantı: $\frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2}$

- Ters orantı: $x_1 \cdot y_1 = x_2 \cdot y_2$

 🎯 Püf Nokta 3: Bileşik Orantılı Problemler

Daha fazla değişken varsa, ilişkilerini açıkça belirle.

 🎯 Püf Nokta 4: Birim Dönüşümü

Farklı birim varsa, dönüşümü yap (saat↔dakika, km↔m vb.)

 YAYGIN HATALAR

 ❌ Hata 1: Orantı Türünü Yanlış Seçmek

Yanlış: Daha fazla işçi daha fazla gün gerekir (ters orantı yerine doğru orantı seçmek)

Doğru: Daha fazla işçi daha az gün gerekir (ters orantı)

 ❌ Hata 2: Formülü Ters Yazma

Yanlış: Ters orantıda $\frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2}$ kullanmak

Doğru: $x_1 \cdot y_1 = x_2 \cdot y_2$ kullanmalı

 EK ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

 Örnek 11: Karmaşık Ters Orantı

Soru: Bir şirkette 20 kişi günde 8 saat çalışarak 10 gün bir projeyi bitirebiliyor. Aynı projeyi 25 kişi günde 10 saat çalışarak kaç günde bitirebilir?

Çözüm:

Gün sayısı, kişi sayısı ve çalışma saati ile ters orantılıdır.

$$\frac{\text{Gün}_1 \times \text{Kişi}_1 \times \text{Saat}_1}{\text{Gün}_2 \times \text{Kişi}_2 \times \text{Saat}_2} = 1$$

$$\frac{10 \times 20 \times 8}{x \times 25 \times 10} = 1$$

$$\frac{1600}{250x} = 1$$

$$1600 = 250x$$

$$x = 6.4 \text{ gün}$$

SONUÇ

Doğru ve ters orantı, pratik hayatta sıkça karşılaşılan kavramlardır. Bu orantıları doğru tanımlamak ve uygun formülü seçmek, problem çözmede başarının anahtarıdır.