1. KARIŞIMDAKİ MADDE ORANI - MİKTARI
TEMEL KAVRAMLAR VE YAKLAŞIM
Karışım Problemleri Nedir?
Karışım problemleri, birden fazla maddenin belirli oranlarda karıştırılması, karışıma madde eklenmesi veya çıkarılması gibi işlemlerle ilgilidir. Amaç, karışımdaki bir maddenin miktarını veya oranını bulmak ya da yeni karışımın özelliklerini hesaplamaktır.
Temel Mantık:
- Toplam Karışım = Madde₁ + Madde₂ + ... + Madde_n
- Madde Oranı (%) = (Madde Miktarı / Toplam) × 100
- Her işlem sonrası (ekleme, çıkarma, buharlaşma) yeni oran hesaplanır
Temel Terimler
- Toplam Karışım (V): Karışımın toplam hacmi veya kütlesi (litre, kg, vb.)
- Madde Miktarı (M): Karışımdaki aranan maddenin miktarı
- Madde Oranı (r): $r = \frac{M}{V} × 100$ (yüzde olarak)
- Saf Madde: %100 madde içeren, hiç diluent (seyreltici) olmayan madde
TEMEL FORMÜLLER (HIZLI REFERANS)
İşlem | Formül | Not |
Madde Miktarı | $M = V × \frac{r}{100}$ | Toplam ve oran biliniyorsa |
Madde Oranı | $r = \frac{M}{V} × 100$ | Toplam ve miktar biliniyorsa |
Toplam Karışım | $V = \frac{M × 100}{r}$ | Madde ve oran biliniyorsa |
Ekleme (Madde) | $M_{yeni} = M_{eski} + ΔM$ | Madde miktarı artar |
Ekleme (Su) | $V_{yeni} = V_{eski} + ΔV$ | Toplam hacim artar, madde sabit |
Çıkarma (Orantılı) | $M_{kalan} = M_{eski} × \frac{V_{kalan}}{V_{eski}}$ | Oran korunur |
Buharlaşma | $M_{yeni} = M_{eski}$ (sabit), $V_{yeni} = V_{eski} - ΔV$ | Madde sabit, toplam azalır |
SORUYA YAKLAŞIM VE YÖNTEMLER
Çözüm Adımları
1. Problemi dikkatlice oku: Karışımın toplamı, madde oranı ve miktarı nedir?
2. Tablo oluştur: Her adımda toplam miktar ve madde miktarını tabloya yaz.
3. Oran ve miktar ilişkisini kur: $M = V × r$
4. İşlem varsa (ekleme, çıkarma, buharlaşma), her adımı ayrı analiz et.
5. Denklem kur ve sonucu kontrol et.
KULLANILAN YÖNTEMLER
1. Temel Oran-Miktar Hesabı
Bir karışımdaki maddenin miktarı:
$$\text{Madde Miktarı} = \text{Toplam Karışım} \times \frac{\text{Madde Oranı}}{100}$$
Örnek: 60 litre %25 tuzlu su → Tuz miktarı = 60 × 0.25 = 15 litre
2. Karışım Birleştirme
Farklı oranlarda iki karışım birleştirildiğinde, toplam madde miktarları ve toplam hacim toplanır, yeni oran bulunur.
$$\text{Yeni Oran} = \frac{M_1 + M_2}{V_1 + V_2} × 100$$
3. Tablo Yöntemi
Her adımda toplam miktar, madde miktarı ve oranı tabloya yazılır. Özellikle ardışık işlemlerde tablo hata riskini azaltır.
4. Denklem Kurma
Oran denklemli sorularda bilinmeyen değişkeni tanımlayıp, oran eşitliğinden çözülür.
GÖRSEL 1: KARIŞIMDAKİ MADDE ORANI - MİKTARI İLİŞKİSİ
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
Örnek 1: Temel Oran Hesabı
Soru: 60 litrelik %25 tuzlu su karışımında kaç litre tuz vardır?
Çözüm:
$$Tuz\,Miktarı = 60 × 0.25 = 15 \text{ litre}$$
Kontrol:
- Tuz: 15 litre ✓
- Su: 60 - 15 = 45 litre ✓
- Oran: 15/60 × 100 = 25% ✓
- Mantık: Toplam 60, oranı %25 olan 15 ✓
Cevap: 15 litre tuz
Örnek 2: Madde Miktarından Oran Bulma
Soru: 80 kg karışımda 20 kg şeker varsa, şeker oranı yüzde kaçtır?
Çözüm:
$$Oran = \frac{20}{80} × 100 = 25\%$$
Kontrol:
- Madde: 20 kg ✓
- Toplam: 80 kg ✓
- Oran: 20/80 = 0.25 = 25% ✓
- Geri kalan: 80 - 20 = 60 kg (su) ✓
Cevap: %25
Örnek 3: Karışım Birleştirme
Soru: 30 litre %10 tuzlu su ile 20 litre %30 tuzlu su karıştırılırsa, yeni karışımın tuz oranı yüzde kaç olur?
Çözüm:
Karışım | Toplam | Tuz Oranı | Tuz Miktarı |
1. | 30 L | %10 | 30 × 0.10 = 3 L |
2. | 20 L | %30 | 20 × 0.30 = 6 L |
Toplam | 50 L | ? | 9 L |
$$Yeni\,Oran = \frac{9}{50} × 100 = 18\%$$
Kontrol:
- 1. karışım tuz: 3 L ✓
- 2. karışım tuz: 6 L ✓
- Toplam tuz: 3 + 6 = 9 L ✓
- Toplam hacim: 30 + 20 = 50 L ✓
- Oran: 9/50 = 18% ✓
- Mantık: %10 ve %30'un ortası %18 — makul ✓
Cevap: %18
Örnek 4: Karışımdan Madde Çekme (Orantılı Azalma)
Soru: 40 litre %20 şekerli suyun 10 litresi alınır ve yerine saf su eklenirse, yeni karışımın şeker oranı yüzde kaç olur?
Çözüm:
Adım | Toplam | Şeker Miktarı | Oran | Not |
Başlangıç | 40 L | 40 × 0.20 = 8 L | 20% | — |
Çekme | 30 L | 8 × (30/40) = 6 L | — | Orantılı azalma |
Su Ekleme | 40 L | 6 L (değişmez) | ? | 30 + 10 = 40 L |
$$Yeni\,Oran = \frac{6}{40} × 100 = 15\%$$
Kontrol:
- İlk şeker: 8 L ✓
- Çekilen şeker: 8 × (10/40) = 2 L ✓
- Kalan şeker: 8 - 2 = 6 L ✓
- Yeni hacim: 30 + 10 = 40 L ✓
- Oran: 6/40 = 15% ✓
- Mantık: Orantılı azaldı (20% → 15%) ✓
Cevap: %15
Örnek 5: Karışıma Madde Ekleme
Soru: 50 kg %12 tuzlu suya 10 kg tuz eklenirse yeni karışımın tuz oranı yüzde kaç olur?
Çözüm:
Adım | Toplam | Tuz Miktarı | Oran | Not |
Başlangıç | 50 kg | 50 × 0.12 = 6 kg | 12% | — |
Tuz Ekleme | 50 + 10 = 60 kg | 6 + 10 = 16 kg | ? | Saf tuz eklendi |
$$Yeni\,Oran = \frac{16}{60} × 100 ≈ 26.67\%$$
Kontrol:
- İlk tuz: 6 kg ✓
- Eklenen tuz: 10 kg (saf) ✓
- Toplam tuz: 6 + 10 = 16 kg ✓
- Yeni toplam: 50 + 10 = 60 kg ✓
- Oran: 16/60 ≈ 26.67% ✓
- Mantık: Tuz eklendi, oran arttı (12% → 26.67%) ✓
Cevap: ≈ 26.67%
Örnek 6: Karışıma Saf Su Ekleme
Soru: 80 litre %40 asitli karışıma 20 litre saf su eklenirse yeni asit oranı yüzde kaç olur?
Çözüm:
Adım | Toplam | Asit Miktarı | Oran | Not |
Başlangıç | 80 L | 80 × 0.40 = 32 L | 40% | — |
Su Ekleme | 80 + 20 = 100 L | 32 L (değişmez) | ? | Saf su eklendi |
$$Yeni\,Oran = \frac{32}{100} × 100 = 32\%$$
Kontrol:
- İlk asit: 32 L ✓
- Eklenen su: 20 L (asit yok) ✓
- Asit miktarı değişmedi: 32 L ✓
- Yeni toplam: 80 + 20 = 100 L ✓
- Oran: 32/100 = 32% ✓
- Mantık: Su eklendi, oran azaldı (40% → 32%) ✓
Cevap: %32
Örnek 7: Karışımda Buharlaşma
Soru: 100 litre %30 tuzlu suyun 20 litresi buharlaşırsa (saf su buharlaşıyor), yeni tuz oranı yüzde kaç olur?
Çözüm:
Adım | Toplam | Tuz Miktarı | Oran | Not |
Başlangıç | 100 L | 100 × 0.30 = 30 L | 30% | — |
Buharlaşma | 100 - 20 = 80 L | 30 L (değişmez!) | ? | Saf su kaçtı |
$$Yeni\,Oran = \frac{30}{80} × 100 = 37.5\%$$
Kontrol:
- İlk tuz: 30 L ✓
- Buharlaşan: 20 L su (tuz kalıyor) ✓
- Tuz miktarı değişmedi: 30 L ✓
- Yeni hacim: 100 - 20 = 80 L ✓
- Oran: 30/80 = 37.5% ✓
- Mantık: Su buharlaştı, oran arttı (30% → 37.5%) ✓
- ÖNEMLİ: Tuz buharlaşmaz, sadece su! ✓
Cevap: %37.5
Örnek 8: Ardışık Karışım İşlemi
Soru: 60 litre %25 şekerli suya önce 20 litre saf su ekleniyor, sonra 20 litre karışım çekilip yerine saf su ekleniyor. Son durumda şeker oranı yüzde kaç olur?
Çözüm - Adım Adım:
Adım | Toplam | Şeker Miktarı | Oran | İşlem |
0. Başlangıç | 60 L | 60 × 0.25 = 15 L | 25% | — |
1. Su Ekleme | 60 + 20 = 80 L | 15 L (değişmez) | 15/80 = 18.75% | Saf su eklendi |
2. Çekme | 80 - 20 = 60 L | 15 × (60/80) = 11.25 L | — | Orantılı azalma |
3. Su Ekleme | 60 + 20 = 80 L | 11.25 L (değişmez) | ? | Saf su eklendi |
$$Son\,Oran = \frac{11.25}{80} × 100 = 14.0625\% ≈ 14.06\%$$
Kontrol:
Adım 1 - Su Ekleme:
- Başlangıç şeker: 15 L ✓
- Eklenen su: 20 L (şeker yok) ✓
- Yeni toplam: 80 L ✓
- Yeni oran: 15/80 = 18.75% ✓
Adım 2 - Çekme (Orantılı):
- Çekilen karışım: 20 L
- Çekilen şeker: 15 × (20/80) = 3.75 L
- Kalan şeker: 15 - 3.75 = 11.25 L ✓
- Kalan hacim: 80 - 20 = 60 L ✓
Adım 3 - Su Ekleme:
- Şeker değişmez: 11.25 L ✓
- Eklenen su: 20 L ✓
- Yeni toplam: 60 + 20 = 80 L ✓
- Oran: 11.25/80 ≈ 14.06% ✓
Cevap: ≈ 14.06%
Örnek 9: Karışımda Oran Denklemli Soru (Ters Problem)
Soru: Bir karışımın %40'ı tuz, %60'ı sudur. Kaç kg su eklenirse, tuz oranı %30 olur? (Başlangıç 50 kg)
Çözüm:
Adım | Başlangıç | Sonuç |
Tuz | 50 × 0.40 = 20 kg | 20 kg (değişmez) |
Su | 50 × 0.60 = 30 kg | 30 + x kg |
Toplam | 50 kg | 50 + x kg |
Oran | 40% | 30% |
Denklem Kurma:
$$\frac{20}{50 + x} = 0.30$$
Çözüm:
$$20 = 0.30(50 + x)$$
$$20 = 15 + 0.30x$$
$$0.30x = 5$$
$$x = \frac{5}{0.30} ≈ 16.67 \text{ kg}$$
Kontrol:
- Tuz: 20 kg ✓
- Yeni toplam: 50 + 16.67 = 66.67 kg ✓
- Yeni oran: 20/66.67 ≈ 0.30 = 30% ✓
- Eklenen su: 16.67 kg ✓
- Mantık: Su eklenirse oran azalır (40% → 30%) ✓
Cevap: ≈ 16.67 kg su
TABLO İLE ÇÖZÜM - ŞABLON
Adım | Toplam Karışım (V) | Madde Miktarı (M) | Madde Oranı (%) | İşlem | Açıklama |
Başlangıç | $V_0$ | $M_0$ | $r_0$ | — | İlk durum |
İşlem 1 | $V_1$ | $M_1$ | $r_1$ | Ekleme/Çıkarma/Buharlaşma | Değişiklik |
İşlem 2 | $V_2$ | $M_2$ | $r_2$ | Ekleme/Çıkarma/Buharlaşma | Değişiklik |
Sonuç | $V_n$ | $M_n$ | $r_n$ | — | Son durum |
GÖRSEL 2: EKLEME, ÇIKARTMA, BUHARLAŞMA KARŞILAŞTIRMASI
SORUYA YAKLAŞIRKEN DİKKAT EDİLECEKLER
- ✓ Her adımda toplam miktar ve madde miktarını güncelleyin
- ✓ Ekleme: Toplam ve madde miktarı artar
- ✓ Çıkarma (Orantılı): Oran korunur, madde orantılı azalır
- ✓ Buharlaşma: Madde sabit kalır, hacim azalır, oran ARTAR
- ✓ Saf madde ekleniyorsa, diğer madde miktarı değişmez
- ✓ Saf su ekleniyorsa, madde miktarı değişmez
- ✓ Tablo ile ilerleyin, özellikle ardışık işlemlerde
- ✓ Sonucu kontrol edin: Mantıklı mı? Negatif mi? %0-%100 arasında mı?
PÜF NOKTALAR — ÖZET
🎯 Temel Formülü Hatırla:
$$Oran\,(\%) = \frac{Madde\,Miktarı}{Toplam\,Karışım} × 100$$
🎯 Ekleme Durumları:
- Saf madde ekleme: Toplam ve madde artar
- Saf su ekleme: Toplam artar, madde sabit kalır, oran azalır
🎯 Çıkarma Durumu (Kritik!):
- Çekilen karışımda oransal dağılım korunur
- $M_{kalan} = M_{eski} × \frac{V_{kalan}}{V_{eski}}$
🎯 Buharlaşma Durumu (Kritik!):
- Sadece su buharlaşır, madde miktarı SABIT kalır
- Oran ARTAR (madde miktarı sabit, toplam azalır)
🎯 Ters Problem:
- Bilinmeyen değişkeni tanımla (x = ?)
- Oran denklemini kur
- Çöz ve kontrol et
🎯 Kontrol Mekanizması:
- Her adımda: Başlangıç → İşlem → Sonuç → Doğrulama
- Oran %0-%100 arasında mı?
- Mantıklı mı? (ekleme → oran değişmeli, çıkarma → oran sabit)
⚠️ YAYGRIN HATALAR
| Hata | Doğrusu | Sonuç |
1 | Madde miktarını toplam hacim ile karıştırmak | Madde ≠ Toplam | Formül yanlış uygulanır |
2 | Oranları direkt toplamak/çarpmak | Oranlar direkt işlem görmez | Kombinasyon örneğinde hata |
3 | Çıkarmada oranı değiştirmek | Çıkarma orantılı, oran korunur | 40 L %20'den 20 L çekersek %20 kalır |
4 | Buharlaşmada madde miktarını değiştirmek | Madde SABIT, su buharlaşır | %30 tuzlu su → tuz miktarı değişmez |
5 | Tablo oluşturmadan kafadan hesap yapmak | Tablo oluştur, her adımı yaz | Adımları unutur, hata yapar |
6 | Ters problemde denklem kurmamak | Bilinmeyen tanımla ve denklem kur | Tahmin ve yanılma yapar |
7 | Kontrol etmemek | Her çözümü kontrol et | Mantıksız sonuç fark edilmez |
8 | Saf madde vs saf su eklemesi karıştırmak | Saf madde ek → madde artar | Farklı işlem yapılır |
9 | %30 + %20 = %50 zannedilmesi | Oranlar saf toplama görmez | Kombinasyon hatalı hesaplanır |
10 | Ardışık işlemlerde başlangıç değerini güncellememek | Her adımda yeni başlangıç | Sonraki adım hatalı olur |
💪 KENDİNİ TEST ET
Test 1: Temel Oran Hesabı
Soru: 80 litre %35 asitli çözelti kaç litre asit içerir?
Çözüm:
$$Asit\,Miktarı = 80 × 0.35 = 28 \text{ litre}$$
Cevap: 28 litre
Test 2: Madde Miktarından Oran Bulma
Soru: 120 kg karışımda 30 kg tuz varsa, tuz oranı yüzde kaçtır?
Çözüm:
$$Tuz\,Oranı = \frac{30}{120} × 100 = 25\%$$
Cevap: %25
Test 3: Karışım Birleştirme
Soru: 40 litre %15 tuzlu su ile 60 litre %25 tuzlu su karıştırılırsa, yeni oran kaç olur?
Çözüm:
Karışım | Toplam | Oran | Tuz Miktarı |
1 | 40 L | 15% | 40 × 0.15 = 6 L |
2 | 60 L | 25% | 60 × 0.25 = 15 L |
Toplam | 100 L | ? | 21 L |
$$Yeni\,Oran = \frac{21}{100} × 100 = 21\%$$
Cevap: %21
Test 4: Saf Su Ekleme (İncelme)
Soru: 50 litre %40 şekerli çözelti kaç litre saf su eklenirse %25 şekerli olur?
Çözüm:
- Şeker miktarı: 50 × 0.40 = 20 L (değişmez)
- Eklenen su: x L
- Yeni toplam: 50 + x
- Yeni oran: $\frac{20}{50+x} = 0.25$
Denklem:
$$20 = 0.25(50 + x)$$
$$20 = 12.5 + 0.25x$$
$$0.25x = 7.5$$
$$x = 30 \text{ L}$$
Kontrol:
- Şeker: 20 L (sabit) ✓
- Yeni toplam: 50 + 30 = 80 L ✓
- Oran: 20/80 = 25% ✓
Cevap: 30 litre
Test 5: Buharlaşma (Oran Yükselişi)
Soru: 200 litre %20 tuzlu suyun 50 litresi buharlaşırsa, yeni tuz oranı yüzde kaç olur?
Çözüm:
- Tuz miktarı: 200 × 0.20 = 40 L (sabit)
- Yeni hacim: 200 - 50 = 150 L
- Yeni oran: $\frac{40}{150} × 100 = 26.67\%$
Kontrol:
- Tuz değişmedi ✓
- Hacim azaldı ✓
- Oran arttı (20% → 26.67%) ✓
Cevap: ≈ 26.67%
Test 6: Ardışık İşlem
Soru: 80 litre %50 tuzlu suyun 40 litresi çekilip yerine saf su ekleniyor. Sonra 40 litre karışım daha çekilip yerine saf su ekleniyor. Son oran yüzde kaçtır?
Çözüm:
Adım | Toplam | Tuz Miktarı | Oran | İşlem |
Başlangıç | 80 L | 40 L | 50% | — |
1. Çekme + Su | 80 L | 40 × (40/80) = 20 L | 25% | Orantılı azalma |
2. Çekme + Su | 80 L | 20 × (40/80) = 10 L | 12.5% | Orantılı azalma |
$$Son\,Oran = \frac{10}{80} × 100 = 12.5\%$$
Cevap: %12.5
Test 7: Ters Problem - Oran Bulma
Soru: 100 kg %30 tuzlu suya kaç kg tuz eklenirse oran %40 olur?
Çözüm:
- İlk tuz: 100 × 0.30 = 30 kg
- Eklenen tuz: x kg (saf)
- Yeni toplam: 100 + x
- Yeni oran: $\frac{30+x}{100+x} = 0.40$
Denklem:
$$30 + x = 0.40(100 + x)$$
$$30 + x = 40 + 0.40x$$
$$0.60x = 10$$
$$x = \frac{10}{0.60} ≈ 16.67 \text{ kg}$$
Kontrol:
- Toplam tuz: 30 + 16.67 = 46.67 kg ✓
- Yeni toplam: 100 + 16.67 = 116.67 kg ✓
- Oran: 46.67/116.67 ≈ 40% ✓
Cevap: ≈ 16.67 kg
📝 CEVAP ANAHTARI
Test | Cevap | Not |
1 | 28 litre | Temel formül |
2 | %25 | Oran hesabı |
3 | %21 | Birleştirme |
4 | 30 litre | Su ekleme (denklem) |
5 | ≈ 26.67% | Buharlaşma (oran artar!) |
6 | %12.5 | Ardışık çıkarma |
7 | ≈ 16.67 kg | Ters problem (madde ekleme) |
SONUÇ
Karışım problemlerinde başarı için:
1. Temel Formülü İyi Bilmelisin:
$$Oran = \frac{Madde\,Miktarı}{Toplam\,Karışım} × 100$$
2. İşlem Türlerini Ayırt Etmelisin:
- Ekleme: Toplam + Madde ↑
- Çıkarma: Oran korunur (orantılı)
- Buharlaşma: Madde sabit, toplam ↓, oran ↑
3. Tablo Yöntemi Kullanmalısın:
- Her adımı ayrı tablolara yaz
- Ardışık işlemlerde zorunlu
4. Kontrol Mekanizmasını Uygulamalısın:
- Her sonucu doğrula
- Mantık kontrolü yap
5. Ters Problemlerde Denklem Kurmalısın:
- Bilinmeyen tanımla (x = ?)
- Oran denklemini kur
- Çöz ve kontrol et
Alıştırma Soruları
Bu konuyu ne kadar öğrendiğini test et!