DENKLEM KÖKÜ KAVRAMI

 Kök Tanımı

Tanım: Bir denklemde bilinmeyenin yerine konulduğunda denklemi sağlayan (eşitliği doğru yapan) değere denklemin kökü denir.

Gösterim: $x = a$ değeri $f(x) = 0$ denkleminin köküdür ⟺ $f(a) = 0$

 Çözüm Kümesi

Tanım: Bir denklemin tüm köklerinin oluşturduğu kümeye çözüm kümesi denir.

Gösterim: $Ç = \{...\}$

Örnek: $2x + 5 = 13$ denkleminin çözüm kümesi $Ç = \{4\}$

 I. Dereceden Denklemde Kök Sayısı

 PARAMETRELI DENKLEMLER

 Tanım

Parametreli Denklem: Bilinmeyen dışında başka değişken içeren denkleme parametreli denklem denir.

Gösterim: $ax + b = c$ (burada $a, b, c$ parametreler)

 Örnek Problemler

 Örnek 1: Parametreye Bağlı Kök

Soru: $(m - 2)x + 5 = 0$ denkleminin tek kökü olması için $m$ ne olmalıdır?

Çözüm:

Tek kök olması için katsayı $\neq 0$ olmalı:

$$m - 2 \neq 0$$

$$m \neq 2$$

Sonuç: $m \in \mathbb{R} \setminus \{2\}$ için denklemin tek kökü vardır.

 Örnek 2: Sonsuz Çözüm Koşulu

Soru: $3x + k = 3x + 5$ denkleminin sonsuz çözümü olması için $k$ kaç olmalıdır?

Çözüm:

Sonsuz çözüm için $0 = 0$ şekline dönüşmelidir.

$$3x + k = 3x + 5$$

$$k = 5$$

Kontrol: $3x + 5 = 3x + 5$ → Her $x$ sağlar ✓

 I. DERECEDEN İKİ BİLİNMEYELİ DENKLEMLER

 Tanım ve Genel Form

Tanım: İçinde iki bilinmeyen ve birinci dereceden terimleri olan denklemdir.

Genel Form: $ax + by + c = 0$ ($a, b, c \in \mathbb{R}$, $a \neq 0$ veya $b \neq 0$)

Örnekler:

- $2x + 3y = 12$

- $x - 2y + 5 = 0$

- $3x + y = 7$

 Çözüm Kümesi

Özellik: İki bilinmeyenli bir denklemin çözüm kümesi sonsuz çoklukta olan sıralı ikili $(x, y)$ çiftleridir.

Geometrik Anlamı: Denklem bir doğru temsil eder.

 Örnek: Çözüm Kümesi Bulma

Soru: $2x + y = 5$ denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm:

$y$ değerini $x$ cinsinden ifade edelim:

$$y = 5 - 2x$$

$x$ için farklı değerler seçebiliriz:

- $x = 0$ → $y = 5$ → $(0, 5)$

- $x = 1$ → $y = 3$ → $(1, 3)$

- $x = 2$ → $y = 1$ → $(2, 1)$

- $x = \frac{5}{2}$ → $y = 0$ → $(\frac{5}{2}, 0)$

Çözüm Kümesi: $Ç = \{(x, 5-2x) : x \in \mathbb{R}\}$

 Grafik Gösterimi:

 İKİ BİLİNMEYELİ DENKLEM SİSTEMLERİ

 Sistem Tanımı

Tanım: İki veya daha fazla iki bilinmeyenli denklemin birlikte oluşturduğu yapıya denklem sistemi denir.

Genel Form:

$$\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1 \\a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$$

 Çözüm Yöntemleri

 Yöntem 1: Yerine Koyma Yöntemi

Algoritma:

1. Bir denklemden bir bilinmeyeni diğeri cinsinden ifade et

2. Diğer denklemde yerine koy

3. Tek değişkenli denklemi çöz

4. Bulduğun değeri orijinal denklemde yerine koy

Örnek: 

$$\begin{cases}

x + y = 5 \\

2x - y = 4

\end{cases}$$

Çözüm:

İlk denklemden: $y = 5 - x$

İkinci denklemde yerine koy:

$$2x - (5 - x) = 4$$

$$2x - 5 + x = 4$$

$$3x = 9$$

$$x = 3$$

$x = 3$ ilk denklemde yerine koy:

$$3 + y = 5$$

$$y = 2$$

Çözüm: $(x, y) = (3, 2)$

 Yöntem 2: Eleme (Toplama-Çıkarma) Yöntemi

Algoritma:

1. Denklemleri öyle bir sayı ile çarp ki, bir bilinmeyenin katsayıları eşit/zıt olsun

2. Denklemleri topla veya çıkar

3. Tek değişkenli denklemi çöz

4. Bulduğun değeri orijinal denklemde yerine koy

Örnek:

$$\begin{cases}2x + 3y = 13 \\3x - 2y = 4\end{cases}$$

Çözüm:

İlk denklem × 2: $4x + 6y = 26$

İkinci denklem × 3: $9x - 6y = 12$

Topla (y'ler birbirini götürsün):

$$13x = 38$$

$$x = \frac{38}{13}$$

Hmm, bu kesirli çıktı. Farklı çarpanlar deneyelim:

İlk denklem × 3: $6x + 9y = 39$

İkinci denklem × 2: $6x - 4y = 8$

Çıkar (x'ler birbirini götürsün):

$$13y = 31$$

$$y = \frac{31}{13}$$

Hala kesirli. Orijinal denklemlerden:

$$\begin{cases}

2x + 3y = 13 \\

3x - 2y = 4

\end{cases}$$

İlk denklem × 3: $6x + 9y = 39$

İkinci denklem × (-2): $-6x + 4y = -8$

Topla:

$$13y = 31$$ 

Not: Bu sistem kesirli çözüme sahiptir. Daha basit örnek kullanalım.

 Örnek 2 (Basit):

$$\begin{cases}x + y = 7 \\x - y = 1\end{cases}$$

Çözüm:

Topla (y'ler birbirini götürsün):

$$2x = 8$$

$$x = 4$$

Birinci denklemde yerine koy:

$$4 + y = 7$$

$$y = 3$$

Çözüm: $(x, y) = (4, 3)$

 ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

 Örnek 1: Kök Bulma

Soru: $3x - 7 = 0$ denkleminin kökünü bulunuz.

Çözüm:

$$3x - 7 = 0$$

$$3x = 7$$

$$x = \frac{7}{3}$$

Kontrol: $3 \times \frac{7}{3} - 7 = 7 - 7 = 0$ ✓

Çözüm Kümesi: $Ç = \{\frac{7}{3}\}$

 Örnek 2: Parametre ile Kök Sayısı

Soru: $(a - 3)x + 6 = 0$ denkleminin çözüm kümesini $a$ parametresine göre bulunuz.

Çözüm:

Durum 1: $a \neq 3$ ise

$$x = -\frac{6}{a - 3}$$

$Ç = \{-\frac{6}{a-3}\}$

Durum 2: $a = 3$ ise

$$0 \cdot x + 6 = 0 → 6 = 0$$ (Yanlış)

$Ç = \emptyset$ (Çözüm yok)

 Örnek 3: İki Bilinmeyenli Denklem

Soru: $3x + 2y = 12$ denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm:

$y$'yi $x$ cinsinden ifade edelim:

$$2y = 12 - 3x$$

$$y = 6 - \frac{3x}{2}$$

$x = 0$ → $y = 6$ → $(0, 6)$

$x = 2$ → $y = 3$ → $(2, 3)$

$x = 4$ → $y = 0$ → $(4, 0)$

Çözüm Kümesi: $Ç = \{(x, 6 - \frac{3x}{2}) : x \in \mathbb{R}\}$

 Örnek 4: Yerine Koyma Yöntemi

Soru: 

$$\begin{cases}2x + y = 8 \\x - y = 1\end{cases}$$

sistemini çözünüz.

Çözüm:

İkinci denklemden: $x = y + 1$

Birinci denklemde yerine koy:

$$2(y + 1) + y = 8$$

$$2y + 2 + y = 8$$

$$3y = 6$$

$$y = 2$$

$x = y + 1 = 2 + 1 = 3$

Çözüm: $(x, y) = (3, 2)$

Kontrol:

- $2(3) + 2 = 6 + 2 = 8$ ✓

- $3 - 2 = 1$ ✓

 Örnek 5: Eleme Yöntemi

Soru:

$$\begin{cases}

2x + 3y = 11 \\

3x - 2y = 4

\end{cases}$$

sistemini çözünüz.

Çözüm:

İlk denklem × 2: $4x + 6y = 22$

İkinci denklem × 3: $9x - 6y = 12$

Topla (y'ler gider):

$$13x = 34$$

$$x = \frac{34}{13}$$

Hmm, tekrar kesirli çıktı. Daha basit sistem kullanalım:

$$\begin{cases}2x + y = 7 \\x - y = 2\end{cases}$$

Çözüm:

Topla (y'ler gider):

$$3x = 9$$

$$x = 3$$

Birinci denklemde yerine koy:

$$2(3) + y = 7$$

$$y = 1$$

Çözüm: $(x, y) = (3, 1)$

Kontrol:

- $2(3) + 1 = 7$ ✓

- $3 - 1 = 2$ ✓

 SİSTEM ÇÖZÜM KÜMESİ TÜRLERİ

PÜF NOKTALAR VE DİKKAT EDİLECEKLER

 🎯 Püf Nokta 1: Kök vs Çözüm Kümesi

- Kök: Denklemi sağlayan değerler

- Çözüm Kümesi: Tüm köklerin kümesi

 🎯 Püf Nokta 2: Parametre Problemleri

Katsayılar sıfıra eşit olduğu durumlara dikkat et.

 🎯 Püf Nokta 3: Sistem Çözümleri

Eleme yöntemi çoğu zaman yerine koyma yönteminden daha hızlıdır.

 🎯 Püf Nokta 4: Kontrol Etme

Bulduğun $(x, y)$ çiftini her iki denklemde yerine koy.

 YAYGIN HATALAR

 ❌ Hata 1: Parametre Durumlarını Karıştırma

Yanlış: $a = 0$ olduğunda her zaman çözüm yoktur

Doğru: $a = 0$ ve sabit terim $\neq 0$ olduğunda çözüm yoktur

 ❌ Hata 2: Sistem Çözerken Işaret Hatası

Yanlış: Eleme yaparken bir denklemi çarpmanın işaret sonucunu yanlış hesaplamak

Doğru: Tüm terimleri aynı sayı ile çarp

 EK ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

 Örnek 6: İki Bilinmeyenli Sistemde Kesirleri Sadeleştirme

Soru:

$$\begin{cases}\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 5 \\\frac{x}{4} - \frac{y}{6} = 1\end{cases}$$

sistemini çözünüz.

Çözüm:

İlk denklem × 6: $3x + 2y = 30$

İkinci denklem × 12: $3x - 2y = 12$

Topla:

$$6x = 42$$

$$x = 7$$

Birinci denklemde yerine koy:

$$3(7) + 2y = 30$$

$$21 + 2y = 30$$

$$y = 4.5$$

Çözüm: $(x, y) = (7, 4.5)$