1. İŞÇİ DENKLEMİ, BİRLİKTE ÇALIŞMA
TEMEL KAVRAMLAR VE YAKLAŞIM
İşçi Problemleri Nedir?
İşçi problemleri, bir işin bir veya birden fazla işçi tarafından, birlikte ya da parça parça yapılmasıyla ilgili matematiksel modelleme gerektiren problemlerdir. Burada amaç, iş, işçi ve zaman arasındaki ilişkiyi anlamak ve uygun denklemi kurmaktır.
Temel Mantık ve Yöntem
- Birim İş Kavramı: Bir işin tamamı $1$ birim olarak kabul edilir.
- Birim Zaman: Genellikle 1 gün, 1 saat gibi birimlerde düşünülür.
- Bir İşçinin 1 Günde Yaptığı İş: Eğer bir işçi bir işi $t$ günde bitiriyorsa, 1 günde yaptığı iş $\frac{1}{t}$'dir.
- Birlikte Çalışma: Birden fazla işçi birlikte çalışıyorsa, 1 günde yapılan işler toplanır.
- Toplam İş: $1$ birim iş tamamlandığında iş bitmiş olur.
Soruya Yaklaşımda Temel Stratejiler
1. Problemi dikkatlice oku: Hangi işçiler, hangi sürelerde, hangi sırayla çalışıyor? Parçalı çalışma var mı?
2. Her işçi için birim zamanda yapılan işi yaz: Her işçinin 1 günde/1 saatte yaptığı işi $\frac{1}{t}$ olarak ifade et.
3. Çalışma dönemlerini ayır: Her dönemde kimler çalışıyor, kaç gün/saat çalışıyor?
4. Tablo veya şema oluştur: Özellikle parçalı çalışmalarda tablo ile ilerlemek hata riskini azaltır.
5. Toplam yapılan işi $1$ kabul et ve denklem kur: Her dönemde yapılan işleri topla, toplamı $1$'e eşitle.
6. Denklemi çöz, sonucu kontrol et: Sonucun mantıklı olup olmadığını kontrol et.
KULLANILAN YÖNTEMLER
1. Birim İş Yöntemi
Her işçi için 1 günde yapılan iş $\frac{1}{t}$ olarak yazılır. Birlikte çalışmada işler toplanır.
2. Tablo Yöntemi
Özellikle karmaşık ve parçalı çalışmalarda, işçilerin çalışma süreleri ve yaptığı işler tabloya dökülür. Bu yöntem, hem görsellik sağlar hem de hata riskini azaltır.
3. Parçalı Çalışma Analizi
İşçiler farklı zamanlarda çalışmaya başlayıp bırakabilir. Her dönemi ayrı ayrı analiz edip, yapılan işleri toplamak gerekir.
4. Denklem Kurma ve Çözme
Tüm yapılan işler toplandığında işin tamamı ($1$ birim) olur. Bu eşitlikten bilinmeyen bulunur.
SORU ÇÖZÜM AŞAMALARI
1. Problemi dikkatlice oku.
2. Her işçi için birim zamanda yapılan işi yaz.
3. Çalışma dönemlerini belirle ve tablo oluştur.
4. Her dönemde yapılan işi hesapla.
5. Toplam yapılan işi $1$ kabul et ve denklem kur.
6. Denklemi çöz, sonucu kontrol et.
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
Örnek 1: Temel Birlikte Çalışma
Soru: Ali bir işi 6 günde, Veli aynı işi 8 günde bitiriyor. Beraber çalışırlarsa bu işi kaç günde bitirirler?
Çözüm:
- Ali'nin 1 günde yaptığı iş: $\frac{1}{6}$
- Veli'nin 1 günde yaptığı iş: $\frac{1}{8}$
- Birlikte 1 günde yapılan iş: $\frac{1}{6} + \frac{1}{8} = \frac{4 + 3}{24} = \frac{7}{24}$
Denklem: $t \times \frac{7}{24} = 1 \implies t = \frac{24}{7} \approx 3.43$ gün
Kontrol: $3.43 \times \frac{7}{24} \approx 1$ ✓
Yöntem Notu: Her işçi için birim iş yazıldı, birlikte toplandı, toplam iş $1$'e eşitlendi.
Örnek 2: Farklı Sayıda İşçi
Soru: 4 işçi bir işi 12 günde bitiriyor. Aynı işi 6 işçi kaç günde bitirir?
Çözüm:
- 1 işçinin 1 günde yaptığı iş: $\frac{1}{12 \times 4} = \frac{1}{48}$
- 6 işçi: $6 \times \frac{1}{48} = \frac{1}{8}$
- $t \times \frac{1}{8} = 1 \implies t = 8$ gün
Yöntem Notu: Toplam işçi sayısı ile birim iş çarpıldı, denklem kuruldu.
Örnek 3: Parçalı Çalışma
Soru: Bir işçi bir işi 10 günde bitiriyor. 3 gün çalıştıktan sonra başka bir işçi gelip birlikte çalışıyorlar ve işi 4 günde tamamlıyorlar. İkinci işçi tek başına bu işi kaç günde bitirir?
Çözüm:
- 1. işçi 1 günde: $\frac{1}{10}$
- 3 günde yaptığı iş: $3 \times \frac{1}{10} = \frac{3}{10}$
- Kalan iş: $1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$
- 4 gün birlikte: $4 \times (\frac{1}{10} + \frac{1}{x}) = \frac{7}{10}$
- $4 \times (\frac{1}{10} + \frac{1}{x}) = \frac{7}{10}$
- $\frac{4}{10} + \frac{4}{x} = \frac{7}{10}$
- $\frac{4}{x} = \frac{3}{10} \implies x = \frac{40}{3} \approx 13.33$ gün
Yöntem Notu: Parçalı çalışma dönemleri ayrı ayrı analiz edildi, yapılan işler toplandı.
TABLO İLE ÇÖZÜM
İşçi | 1 Günde Yaptığı İş | Çalıştığı Gün | Toplam Yaptığı İş |
Ali | $\frac{1}{6}$ | $t$ | $t \times \frac{1}{6}$ |
Veli | $\frac{1}{8}$ | $t$ | $t \times \frac{1}{8}$ |
Toplam iş: $t \times (\frac{1}{6} + \frac{1}{8}) = 1$
SORUYA YAKLAŞIRKEN DİKKAT EDİLECEKLER
- Her işçi için ayrı ayrı birim iş yazın.
- Birlikte çalışmada birim işleri toplayın.
- Parçalı çalışmada her dönemi ayrı hesaplayın.
- Tablo veya şema ile görselleştirin.
- Sonucu mutlaka kontrol edin.
- Mantıksız/negatif sonuç varsa, adımları tekrar gözden geçirin.
YAYGIN HATALAR
- İşçi başına yapılan işi yanlış almak
- Toplam işin $1$ olduğunu unutmak
- Parçalı çalışmada süreleri karıştırmak
- Sonucu kontrol etmemek
SONUÇ
Emek problemlerinde başarı için, birim iş kavramını doğru kurmak, tablo ve şema ile sistematik çözüm yapmak ve adım adım ilerlemek gerekir. Soruya yaklaşırken önce tabloyu ve birim işleri oluşturmak, ardından denklemi kurmak ve sonucu kontrol etmek en güvenli yoldur.
Alıştırma Soruları
Bu konuyu ne kadar öğrendiğini test et!