Giriş

Polinom fonksiyonlarında değer bulma, matematiksel problemlerin temel taşlarından biridir. Bu rehberde, $P(k)$ değerini bulmanın, sabit terim ve katsayılar toplamını hesaplamanın tüm yöntemlerini sistematik bir şekilde öğreneceksiniz.

 Temel Yöntemler

 📌 Yöntem 1: Doğrudan Yerine Koyma

En basit durumda, $P(x)$ polinomu verilmişse ve $P(k)$ isteniyorsa:

$P(x)$ fonksiyonunda $x$ yerine $k$ koy → $P(k)$

 Örnek 1.1

$$P(x) = x^3 - 2x + 5$$

$$P(2) = ?$$

Çözüm:

$$P(2) = (2)^3 - 2(2) + 5$$

$$= 8 - 4 + 5$$

$$= 9$$

 Örnek 1.2

$$P(x) = 2x^4 - 3x^2 + x - 7$$

$$P(-1) = ?$$

Çözüm:

$$P(-1) = 2(-1)^4 - 3(-1)^2 + (-1) - 7$$

$$= 2(1) - 3(1) - 1 - 7$$

$$= 2 - 3 - 1 - 7$$

$$= -9$$

 📌 Yöntem 2: Bileşke ile Değer Bulma — $P[g(x)] \to P(k)$

$P[g(x)]$ formatında bir ifade verilmiş ve $P(k)$ isteniyorsa:

Adım 1: $g(x) = k$ denklemini çöz  

Adım 2: Bulunan $x$ değerlerini sağ tarafa yerleştir  

Adım 3: Sonuç $P(k)$'dir

Örnek 2.1

$$Q(2x + 1) = -4x^2 + x + 5$$

$$Q(0) = ?$$

Çözüm:

Adım 1: $2x + 1 = 0$

$$x = -\frac{1}{2}$$

Adım 2: 

$$Q(0) = -4\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right) + 5$$

$$= -4 \cdot \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 5$$

$$= -1 - \frac{1}{2} + 5$$

$$= \frac{7}{2}$$

 Örnek 2.2

$$R(3x - 2) = x^3 + 2x - 1$$

$$R(4) = ?$$

Çözüm:

Adım 1: $3x - 2 = 4$

$$3x = 6$$

$$x = 2$$

Adım 2: 

$$R(4) = (2)^3 + 2(2) - 1$$

$$= 8 + 4 - 1$$

$$= 11$$

 Örnek 2.3 — Çoklu Çözüm Durumu

$$P(x^2 + 1) = 3x^2 + 2$$

$$P(2) = ?$$

Çözüm:

Adım 1: $x^2 + 1 = 2$

$$x^2 = 1$$

$$x = \pm 1 \quad \text{← İKİ ÇÖZÜM!}$$

Adım 2: Her iki $x$ için EŞİTLİĞİN SAĞ TARAFI'nı kontrol et

$x = 1$ için: 

$$3(1)^2 + 2 = 3(1) + 2 = 5$$

$x = -1$ için: 

$$3(-1)^2 + 2 = 3(1) + 2 = 5$$

✓ Her ikisi de aynı sonucu veriyor

Cevap: $P(2) = 5$

⚠️ UYARI: Eğer farklı $x$ değerleri farklı sonuçlar verirse, verilen kimlik tutarsızdır veya yanlış yazılmıştır!

📌 Yöntem 3: Çarpanlı Durum — $(h(x)) \cdot P[g(x)] = \ldots$

Polinom bir çarpan içinde verilmişse:

Adım 1: $g(x) = k$ çöz (istenen değer için)  

Adım 2: Bu $x_0$ değerini tüm denkleme koy  

Adım 3: $P(k)$'yı çöz (eğer $h(x_0) \neq 0$ ise)

 Örnek 3.1

$$(x + 2) \cdot P(3x - 2) = x^2 + x - 6$$

$$P(4) = ?$$

Çözüm:

Adım 1: $3x - 2 = 4$

$$x = 2$$

Adım 2: 

$$(2 + 2) \cdot P(4) = (2)^2 + 2 - 6$$

$$4 \cdot P(4) = 0$$

Adım 3: 

$$P(4) = 0$$

 Örnek 3.2 — Belirsizlik Durumu

$$(x - 1) \cdot T(2x + 1) = x^3 - 1$$

$$T(3) = ?$$

Çözüm:

Adım 1: $2x + 1 = 3$

$$x = 1$$

Adım 2: 

$$(1 - 1) \cdot T(3) = (1)^3 - 1$$

$$0 \cdot T(3) = 0 \quad \text{← BELİRSİZLİK!}$$

Adım 3: Faktörleme yap

$$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$$

Dolayısıyla:

$$T(2x + 1) = x^2 + x + 1$$

$x = 1$ için:

$$T(3) = 1 + 1 + 1 = 3$$

🎯 Sabit Terim Bulma

 Temel Kural

> Bir polinomda değişkenlerin yerine 0 (sıfır) yazıldığında bu polinomun sabit terimi bulunur.

$P(x)$ polinomunun sabit terimi = $P(0)$  

$P(x,y)$ polinomunun sabit terimi = $P(0,0)$

 Bileşke Durumunda Sabit Terim

$P[g(x)]$ polinomunun sabit terimi isteniyorsa:

Adım 1: $g(x) = 0$ denklemini çöz → $x_0$ bulunur  

Adım 2: Eşitliğin sağ tarafına $x_0$'ı yerleştir  

Adım 3: Sonuç, sabit terimdir

 Örnek: Sabit Terim Bulma

$$P(x) = 5x^2 - 4x^3 + x - 4$$

olduğuna göre, $P(x-1)$, $P(2x+1)$ ve $P(x^2-2)$ polinomlarının sabit terimini bulalım.

 $P(x-1)$'in sabit terimi

Soru: $P(x) = 5x^2 - 4x^3 + x - 4$ için $P(x-1)$'in sabit terimi nedir?

Çözüm:

$P(x-1)$ polinomunda sabit terim, $(x-1) = 0$ olduğunda kalan değerdir.

Adım 1: $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

Adım 2: Orijinal $P(x)$'e $x = 1$ koy:

$$P(1) = 5(1)^2 - 4(1)^3 + (1) - 4$$

$$= 5 - 4 + 1 - 4$$

$$= -2$$

Cevap: $-2$ ✅

💡 Mantık:

- $P(x-1)$ yazmak = Her $x$ yerine $(x-1)$ koymak

- Sabit terim için değişken kısmı sıfır olmalı

- $(x-1) = 0 \Rightarrow x = 1$

- Bu değeri orijinal $P(x)$'e koyarız

 $P(2x+1)$'in sabit terimi

Çözüm:

$2x + 1 = 0$

$$x = -\frac{1}{2}$$

$P(2x+1)$'in sabit terimi:

$$P\left(2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)+1\right) = P(0)$$

$$= 5(0)^2 - 4(0)^3 + 0 - 4$$

$$= -4$$

 ③ $P(x^2-2)$'nin sabit terimi

Çözüm:

$x^2 - 2 = 0$

$$x^2 = 2$$

$$x = \pm\sqrt{2}$$

$P(x^2-2)$'nin sabit terimi:

$$P\left((\pm\sqrt{2})^2-2\right) = P(0)$$

$$= -4$$

Sonuç: Her üç durumda da sabit terim = $-4$

 Önemli Gözlem

$P(x)$'in sabit terimi $-4$ olduğundan, $P[g(x)]$ ifadesinde $g(0) = 0$ ise (yani $g$ sabit terimi yoksa), $P[g(x)]$'in sabit terimi de $P(0) = -4$ olur!

 📊 Katsayılar Toplamı Bulma

 Temel Kural

> Bir polinomda değişkenlerin yerine 1 yazılarak katsayılar toplamı bulunur.

Tek değişkenli: $P(x)$'in katsayılar toplamı = $P(1)$  

Çok değişkenli: $P(x,y)$'nin katsayılar toplamı = $P(1,1)$

 Neden $x = 1$?

$$P(x) = 3x^2 + 2x - 5$$

Katsayılar: $3, 2, -5$  

Toplamı: $3 + 2 + (-5) = 0$

$$P(1) = 3(1)^2 + 2(1) - 5$$

$$= 3 + 2 - 5$$

$$= 0 \quad \checkmark$$

 Bileşke Durumunda Katsayılar Toplamı

$P[g(x)]$ polinomunun katsayılar toplamı isteniyorsa:

Adım 1: $g(x) = 1$ denklemini çöz → $x_0$ bulunur  

Adım 2: Eşitliğin sağ tarafına $x_0$'ı yerleştir  

Adım 3: Sonuç, katsayılar toplamıdır

 Örnek: Katsayılar Toplamı Bulma

$$P(2x+1) = x^3 + 3x - 8$$

olduğuna göre, $P(x)$, $P(x-2)$ ve $P(x^3)$ polinomlarının katsayılar toplamını bulalım.

 $P(x)$'in katsayılar toplamı

Çözüm:

$P(2x+1) = x^3 + 3x - 8$

$P(x)$'in katsayılar toplamı = $P(1)$

$2x + 1 = 1$ denklemini çöz:

$$2x = 0$$

$$x = 0$$

$$P(1) = (0)^3 + 3(0) - 8$$

$$= -8$$

Cevap: $P(x)$'in katsayılar toplamı = $-8$

 $P(x-2)$'nin katsayılar toplamı

Verilen: $P(2x+1) = x^3 + 3x - 8$  

İstenen: $P(x-2)$'nin katsayılar toplamı

Çözüm:

Adım 1: Önce $P(1)$ değerini bulalım

Katsayılar toplamı için $P(x)$ formunda $x = 1$ koymak gerekir.  

Ama elimizde $P(2x+1)$ var.

$2x + 1 = 1$ olduğunda:

$$2x + 1 = 1$$

$$2x = 0$$

$$x = 0$$

$P(1)$ değerini bulmak için sağ tarafta $x = 0$:

$$P(1) = (0)^3 + 3(0) - 8 = -8$$

Adım 2: $P(x-2)$'nin katsayılar toplamı

Herhangi bir $P[g(x)]$ polinomunun katsayılar toplamı:

- $P(x)$'in kendisinin katsayılar toplamına eşittir

- Yani $P(1)$ değerine eşittir

$P(x-2)$'nin katsayılar toplamı = $P(1) = -8$

Cevap: $-8$ ✅

📌 GENEL KURAL:

$$\begin{align*}P(x)\text{'in katsayılar toplamı} &= P(1) \\P(x+a)\text{'nın katsayılar toplamı} &= P(1) \\P(x-a)\text{'nın katsayılar toplamı} &= P(1) \\P(ax+b)\text{'nin katsayılar toplamı} &= P(1)\end{align*}$$

Neden?  

Katsayılar toplamı, polinomun kendisine bağlıdır, içindeki ifadeye değil!

 $P(x^3)$'ün katsayılar toplamı

Çözüm:

$P(x^3)$'ün katsayılar toplamı:

$$x^3 = 1$$

$$x = 1$$

$P(2x+1)$ ifadesinde $x = 1$ koyarsak:

$$P(2 \cdot 1+1) = (1)^3 + 3(1) - 8$$

$$P(3) = 1 + 3 - 8 = -4$$

Ama dikkat! Biz $P(x^3)$'ün katsayılar toplamını istiyoruz.

$x^3 = 1$ için $x = 1$ olmalı

$P(x^3)$'de $x=1$: 

$$P(1^3) = P(1) = -8$$

Cevap: $P(x^3)$'ün katsayılar toplamı = $-8$

 📝 Özet Tablo

 🔢 Çift ve Tek Dereceli Terimlerin Katsayılar Toplamı

 Temel Formüller

Bir $P(x)$ polinomu için:

$$\boxed{\text{Çift dereceli terimlerin katsayılar toplamı} = \frac{P(1) + P(-1)}{2}}$$

$$\boxed{\text{Tek dereceli terimlerin katsayılar toplamı} = \frac{P(1) - P(-1)}{2}}$$

 💡 Neden Bu Formüller Çalışır?

Bir polinomu çift ve tek dereceli terimlere ayırabiliriz:

$$P(x) = P_{\text{çift}}(x) + P_{\text{tek}}(x)$$

Örnek:

$$P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 + x - 7$$

Çift dereceli: $3x^4 + 5x^2 - 7$  

Tek dereceli: $-2x^3 + x$

 📐 Matematiksel İspat

Adım 1: $x = 1$ koy:

$$P(1) = P_{\text{çift}}(1) + P_{\text{tek}}(1)$$

Adım 2: $x = -1$ koy:

$$P(-1) = P_{\text{çift}}(-1) + P_{\text{tek}}(-1)$$

Önemli Özellik:

- Çift dereceli terimler: $(-1)^{2n} = 1$ → $P_{\text{çift}}(-1) = P_{\text{çift}}(1)$

- Tek dereceli terimler: $(-1)^{2n+1} = -1$ → $P_{\text{tek}}(-1) = -P_{\text{tek}}(1)$

Adım 3: Toplam:

$$P(1) + P(-1) = P_{\text{çift}}(1) + P_{\text{tek}}(1) + P_{\text{çift}}(1) - P_{\text{tek}}(1)$$

$$= 2P_{\text{çift}}(1)$$

$$\Rightarrow P_{\text{çift}}(1) = \frac{P(1) + P(-1)}{2}$$

Adım 4: Fark:

$$P(1) - P(-1) = P_{\text{çift}}(1) + P_{\text{tek}}(1) - P_{\text{çift}}(1) + P_{\text{tek}}(1)$$

$$= 2P_{\text{tek}}(1)$$

$$\Rightarrow P_{\text{tek}}(1) = \frac{P(1) - P(-1)}{2}$$

 📚 Örnek 5.1 — Temel Uygulama

$$P(x) = 2x^4 - 3x^3 + x^2 + 5x - 4$$

Çift dereceli terimlerin katsayılar toplamını bulalım.

Çözüm:

Adım 1: $P(1)$ hesapla:

$$P(1) = 2(1)^4 - 3(1)^3 + (1)^2 + 5(1) - 4$$

$$= 2 - 3 + 1 + 5 - 4$$

$$= 1$$

Adım 2: $P(-1)$ hesapla:

$$P(-1) = 2(-1)^4 - 3(-1)^3 + (-1)^2 + 5(-1) - 4$$

$$= 2(1) - 3(-1) + 1 - 5 - 4$$

$$= 2 + 3 + 1 - 5 - 4$$

$$= -3$$

Adım 3: Formülü uygula:

$$\text{Çift dereceli kat. toplamı} = \frac{P(1) + P(-1)}{2}$$

$$= \frac{1 + (-3)}{2}$$

$$= \frac{-2}{2}$$

$$= -1$$

Kontrol (Manuel):  

Çift dereceli terimler: $2x^4 + x^2 - 4$  

Katsayılar: $2, 1, -4$  

Toplam: $2 + 1 + (-4) = -1$ ✓

 📚 Örnek 5.2 — Tek Dereceli Terimler

Aynı polinom için tek dereceli terimlerin katsayılar toplamı:

$$\text{Tek dereceli kat. toplamı} = \frac{P(1) - P(-1)}{2}$$

$$= \frac{1 - (-3)}{2}$$

$$= \frac{4}{2}$$

$$= 2$$

Kontrol (Manuel):  

Tek dereceli terimler: $-3x^3 + 5x$  

Katsayılar: $-3, 5$  

Toplam: $-3 + 5 = 2$ ✓

 📚 Örnek 5.3 — Bileşke Durumu

$$P(2x + 1) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - x + 5$$

$P(x)$'in çift dereceli terimlerin katsayılar toplamını bulalım.

Çözüm:

Adım 1: Önce $P(1)$ ve $P(-1)$ bul

$P(1)$ için: $2x + 1 = 1 \Rightarrow x = 0$

$$P(1) = (0)^4 - 2(0)^3 + 3(0)^2 - 0 + 5 = 5$$

$P(-1)$ için: $2x + 1 = -1 \Rightarrow x = -1$

$$P(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^3 + 3(-1)^2 - (-1) + 5$$

$$= 1 - 2(-1) + 3(1) + 1 + 5$$

$$= 1 + 2 + 3 + 1 + 5$$

$$= 12$$

Adım 2: Formülü uygula:

$$\text{Çift dereceli kat. toplamı} = \frac{P(1) + P(-1)}{2}$$

$$= \frac{5 + 12}{2}$$

$$= \frac{17}{2}$$

 📚 Örnek 5.4 — Karma Soru

$$P(x - 1) = 3x^3 - x^2 + 2x - 4$$

a) $P(x)$'in katsayılar toplamı  

b) $P(x)$'in çift dereceli terimlerin katsayılar toplamı

Çözüm:

a) Katsayılar toplamı = $P(1)$

$x - 1 = 1 \Rightarrow x = 2$

$$P(1) = 3(2)^3 - (2)^2 + 2(2) - 4$$

$$= 24 - 4 + 4 - 4$$

$$= 20$$

b) Çift dereceli terimlerin katsayılar toplamı

Adım 1: $P(-1)$ bul

$x - 1 = -1 \Rightarrow x = 0$

$$P(-1) = 3(0)^3 - (0)^2 + 2(0) - 4$$

$$= -4$$

Adım 2: 

$$\text{Çift dereceli} = \frac{P(1) + P(-1)}{2}$$

$$= \frac{20 + (-4)}{2}$$

$$= \frac{16}{2}$$

$$= 8$$

 📊 Hızlı Özet Tablo

 💡 Önemli Notlar

1. $P(1)$ her zaman katsayılar toplamıdır (temel bilgi)

2. $P(-1)$ ile çift/tek ayrımı yapılır (ileri seviye)

3. Çift + Tek = Toplam:

   $$\frac{P(1) + P(-1)}{2} + \frac{P(1) - P(-1)}{2} = P(1) \quad \checkmark$$

4. Bileşke durumunda:

   - $P(1)$ için: $g(x) = 1$ çöz

   - $P(-1)$ için: $g(x) = -1$ çöz

 ⚠️ Sık Yapılan Hatalar

 🔍 Belirlenemezlik Durumları

 Durum 1: Görüntü Kümesi Dışı

$$P(x^2) = x + 1$$

$$P(-1) = ?$$

Analiz:

$$x^2 = -1 \quad \text{← Reel sayılarda çözüm yok!}$$

$$(x^2 \geq 0 \text{ her zaman})$$

Sonuç: $P(-1)$ belirlenemez (reel sayılarda)

 Görüntü Kümesi Kontrolü:

 🎓 Katsayı Eşitleme Yöntemi

"Tüm $x$ için" geçerli olan kimlikler için kullanılır.

 Örnek 4.1

$$P(x + 1) = 2x^2 + 3x + 5$$

$$P(x) = ?$$

Çözüm:

$y = x + 1$ dönüşümü yap → $x = y - 1$

$$P(y) = 2(y - 1)^2 + 3(y - 1) + 5$$

$$= 2(y^2 - 2y + 1) + 3y - 3 + 5$$

$$= 2y^2 - 4y + 2 + 3y + 2$$

$$= 2y^2 - y + 4$$

Cevap: $P(x) = 2x^2 - x + 4$

 Örnek 4.2 — Katsayı Eşitleme ile

$$P(x) = ax^2 + bx + c \text{ ve}$$

$$P(x + 1) = x^2 + 4x + 7 \text{ ise}$$

$$P(x) = ?$$

Çözüm:

$$P(x + 1) = a(x + 1)^2 + b(x + 1) + c$$

$$= a(x^2 + 2x + 1) + bx + b + c$$

$$= ax^2 + 2ax + a + bx + b + c$$

$$= ax^2 + (2a + b)x + (a + b + c)$$

Katsayıları eşitle:

$x^2$ katsayısı: $a = 1$

$x$ katsayısı: $2a + b = 4 \Rightarrow 2(1) + b = 4 \Rightarrow b = 2$

Sabit terim: $a + b + c = 7 \Rightarrow 1 + 2 + c = 7 \Rightarrow c = 4$

Cevap: $P(x) = x^2 + 2x + 4$

 🎯 TYT İÇİN HIZLI REHBER

 ⚡ Sınavda Hangi Yöntemi Seçmeliyim?

 🎓 TYT'de En Çok Çıkan 5 Soru Tipi

 1️ Sabit Terim Bulma (Her Yıl Çıkar)

```

"P(x+1) = 3x² - 5x + 7 

P(x+1)'in sabit terimi kaçtır?"

✅ Hızlı Çözüm: x+1=0 → x=-1 → Sağ tarafta x=-1 koy

```

 2️ Katsayılar Toplamı 

P(2x-1) = x³ + 4x - 2

P(x)'in katsayılar toplamı kaçtır?

✅ Hızlı Çözüm: 2x-1=1 → x=1 → Sağ tarafta x=1 koy → P(1)

 3️ $P(x+a)$ Formatında Değer Bulma 

$P(x+2) = x² - 3x + 5$

$P(7) = ?$

✅ Hızlı Çözüm: $x+2=7 → x=5 →$ Sağ tarafta $x=5$ koy

 4️ Çarpanlı Format 

$P(x) = (x-3)Q(x) + 11$

$P(3) = ?$

✅ Hızlı Çözüm: $x=3 → (3-3)Q(3)+11 = 11$

 5️ Belirlenemezlik (Nadir ama Önemli)

$P(x²) = x⁴ - 2x² + 1$

$P(-4) = ?$

✅ Kontrol: x² = -4 → Reel çözüm yok → BELİRLENEMEZ

 ⚠️ Sık Yapılan Hatalar

 💡 Altın Kurallar

1. Sabit terim → $g(x) = 0$ çöz

2. Katsayılar toplamı → Her zaman $P(1)$

3. Çarpanlı durumlar → Kökü yerine koy

4. Bileşke → $g(x) = k$ denklemini çöz

5. Kontrol → Görüntü kümesine ait mi?