KÜP ÖZDEŞLİKLERİ

 Temel Formüller

 Formül 1: Küpler Farkı

$$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$

 Formül 2: Küpler Toplamı

$$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$$

 Formül 3: Toplamın Küpü

$$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$

 Formül 4: Farkın Küpü

$$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$

 Formüllerin Türetilmesi

 Küpler Farkının Türetilmesi

$$(a - b)(a^2 + ab + b^2)$$

$$= a(a^2 + ab + b^2) - b(a^2 + ab + b^2)$$

$$= a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3$$

$$= a^3 - b^3$$

 Küpler Toplamının Türetilmesi

$$(a + b)(a^2 - ab + b^2)$$

$$= a(a^2 - ab + b^2) + b(a^2 - ab + b^2)$$

$$= a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3$$

$$= a^3 + b^3$$

 Toplamın Küpünün Türetilmesi

$$(a + b)^3 = (a + b)(a + b)^2$$

$$= (a + b)(a^2 + 2ab + b^2)$$

$$= a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3$$

$$= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$

 KÜPLER FARKI VE TOPLAMI

 Örnek 1: Basit Küpler Farkı

Soru: $x^3 - 8$ ifadesini çarpanlarına ayırınız.

Çözüm:

$$x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$$

Kontrol:

$(x - 2)(x^2 + 2x + 4) = x^3 + 2x^2 + 4x - 2x^2 - 4x - 8 = x^3 - 8$ ✓

 Örnek 2: Küpler Toplamı

Soru: $x^3 + 27$ ifadesini çarpanlarına ayırınız.

Çözüm:

$$x^3 + 27 = x^3 + 3^3 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9)$$

Kontrol:

$(x + 3)(x^2 - 3x + 9) = x^3 - 3x^2 + 9x + 3x^2 - 9x + 27 = x^3 + 27$ ✓

 Örnek 3: Katsayılı Küpler Farkı

Soru: $8x^3 - 1$ ifadesini çarpanlarına ayırınız.

Çözüm:

$$8x^3 - 1 = (2x)^3 - 1^3 = (2x - 1)[(2x)^2 + 2x + 1]$$

$$= (2x - 1)(4x^2 + 2x + 1)$$

 Örnek 4: Değişkenli Küpler Toplamı

Soru: $a^3b^3 + 64$ ifadesini çarpanlarına ayırınız.

Çözüm:

$$a^3b^3 + 64 = (ab)^3 + 4^3 = (ab + 4)[(ab)^2 - 4ab + 16]$$

$$= (ab + 4)(a^2b^2 - 4ab + 16)$$

 Örnek 5: Denklem Çözme (Küpler Farkı)

Soru: $x^3 - 125 = 0$ denklemini çarpanlara ayırarak çözünüz.

Çözüm:

$$x^3 - 125 = 0$$

$$x^3 - 5^3 = 0$$

$$(x - 5)(x^2 + 5x + 25) = 0$$

Birinci çarpan: $x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$

İkinci çarpan: $x^2 + 5x + 25 = 0$

Diskriminant: $\Delta = 25 - 100 = -75 < 0$ (reel kök yok)

Çözüm Kümesi: $Ç = \{5\}$

 KÜP AÇILIMI

 Toplamın Küpü Açılımı

 Örnek 6: Toplamın Küpü Formülü

Soru: $(x + 2)^3$ ifadesini açınız.

Çözüm:

$$(x + 2)^3 = x^3 + 3(x^2)(2) + 3(x)(2^2) + 2^3$$

$$= x^3 + 6x^2 + 12x + 8$$

 Farkın Küpü Açılımı

 Örnek 7: Farkın Küpü Formülü

Soru: $(x - 3)^3$ ifadesini açınız.

Çözüm:

$$(x - 3)^3 = x^3 - 3(x^2)(3) + 3(x)(3^2) - 3^3$$

$$= x^3 - 9x^2 + 27x - 27$$

 Örnek 8: Katsayılı Küp Açılımı

Soru: $(2x + 1)^3$ ifadesini açınız.

Çözüm:

$$(2x + 1)^3 = (2x)^3 + 3(2x)^2(1) + 3(2x)(1)^2 + 1^3$$

$$= 8x^3 + 3(4x^2) + 6x + 1$$

$$= 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1$$

 Örnek 9: Negatif Farkın Küpü

Soru: $(3 - x)^3$ ifadesini açınız.

Çözüm:

$$(3 - x)^3 = 3^3 - 3(3^2)(x) + 3(3)(x^2) - x^3$$

$$= 27 - 27x + 9x^2 - x^3$$

$$= -x^3 + 9x^2 - 27x + 27$$

 KÜP ÖZDEŞLİKLERİ TABLOSU

 ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

 Örnek 10: Birleşik Çarpanlara Ayırma

Soru: $x^3 + 6x^2 + 12x + 8$ ifadesini çarpanlarına ayırınız.

Çözüm:

Bu ifade toplamın küpü açılımına benziyor:

- Birinci terim: $x^3 = (x)^3$

- İkinci terim: $6x^2 = 3(x)^2(2)$

- Üçüncü terim: $12x = 3(x)(2)^2$

- Dördüncü terim: $8 = 2^3$

$$(x + 2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$$

Dolayısıyla:

$$x^3 + 6x^2 + 12x + 8 = (x + 2)^3$$

 Örnek 11: Farkın Küpü Açılımı

Soru: $(2x - 3)^3$ ifadesini açınız ve sadeleştirin.

Çözüm:

$$(2x - 3)^3 = (2x)^3 - 3(2x)^2(3) + 3(2x)(3)^2 - 3^3$$

$$= 8x^3 - 3(4x^2)(3) + 3(2x)(9) - 27$$

$$= 8x^3 - 36x^2 + 54x - 27$$

 Örnek 12: Küpler Farkından Denklem Çözme

Soru: $8x^3 - 27 = 0$ denklemini çarpanlara ayırarak çözünüz.

Çözüm:

$$8x^3 - 27 = 0$$

$$(2x)^3 - 3^3 = 0$$

$$(2x - 3)[(2x)^2 + 2x \cdot 3 + 3^2] = 0$$

$$(2x - 3)(4x^2 + 6x + 9) = 0$$

Birinci çarpan: $2x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$

İkinci çarpan: $4x^2 + 6x + 9 = 0$

Diskriminant: $\Delta = 36 - 144 = -108 < 0$ (reel kök yok)

Çözüm Kümesi: $Ç = \{\frac{3}{2}\}$

 Örnek 13: Katsayılı Küpler Toplamı

Soru: $27a^3 + 64b^3$ ifadesini çarpanlarına ayırınız.

Çözüm:

$$27a^3 + 64b^3 = (3a)^3 + (4b)^3$$

$$= (3a + 4b)[(3a)^2 - 3a \cdot 4b + (4b)^2]$$

$$= (3a + 4b)(9a^2 - 12ab + 16b^2)$$

 Örnek 14: Değişken Dönüşümü ile Küp Açılımı

Soru: $(x + 1)^3 - (x - 1)^3$ ifadesini sadeleştirin.

Çözüm:

İlk olarak açılımları bulalım:

- $(x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$

- $(x - 1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$

Fark:

$$(x + 1)^3 - (x - 1)^3 = (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - (x^3 - 3x^2 + 3x - 1)$$

$$= x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - x^3 + 3x^2 - 3x + 1$$

$$= 6x^2 + 2$$

$$= 2(3x^2 + 1)$$

 Örnek 15: Kompleks Küp Toplamı

Soru: $x^6 + 1$ ifadesini çarpanlarına ayırınız.

Çözüm:

$x^6 + 1 = (x^2)^3 + 1^3$ şeklinde yazabiliriz:

$$x^6 + 1 = (x^2 + 1)[(x^2)^2 - x^2 + 1]$$

$$= (x^2 + 1)(x^4 - x^2 + 1)$$

 PÜF NOKTALAR VE DİKKAT EDİLECEKLER

 🎯 Püf Nokta 1: Küpler Farkı ve Toplamı Formülü

- Fark: $(a - b)(a^2 + ab + b^2)$ (ortadaki +)

- Toplam: $(a + b)(a^2 - ab + b^2)$ (ortadaki -)

 🎯 Püf Nokta 2: Küp Açılımı Katsayıları

Toplamın ve Farkın Küpü katsayıları: $1, 3, 3, 1$ (Pascal üçgeni)

 🎯 Püf Nokta 3: Binom Açılımında İşaretler

- $(a + b)^3$: Tüm işaretler pozitif

- $(a - b)^3$: İşaretler değişkenli (+, -, +, -)

 🎯 Püf Nokta 4: Tamamlanmış Küpler

Açılımı verilen ifadeyi küpler toplamı/farkı olarak tanımak.

 YAYGIN HATALAR

 ❌ Hata 1: Formül Karışıklığı

Yanlış: $a^3 - b^3 = (a - b)^3$

Doğru: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

 ❌ Hata 2: İşaret Hatası

Yanlış: $(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$

Doğru: $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

 ❌ Hata 3: Ortadaki Terim

Yanlış: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 + ab + b^2)$

Doğru: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

 EK ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

 Örnek 16: Çok Terimli Küp

Soru: $(a + b + c)^3$ ifadesini açınız.

Çözüm:

Bu daha karmaşık, ama temel olarak:

$$(a + b + c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3a^2b + 3ab^2 + 3a^2c + 3ac^2 + 3b^2c + 3bc^2 + 6abc$$

 Örnek 17: Küp Denklem

Soru: $x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = 0$ denklemini çözünüz.

Çözüm:

Toplumun Küpü açılımını tanı:

$$(x + 1)^3 = 0$$

$$x + 1 = 0$$

$$x = -1$$

Çözüm Kümesi: $Ç = \{-1\}$ (Üçlü kök)

 SONUÇ

Küpler farkı, toplamı ve küp açılımı formülleri, yüksek dereceli polinomların çarpanlarına ayrılması ve denklem çözümü için kritiktir. Bu formülleri iyi öğrenmek ve tanımayı pratikle geliştirmek matematiksel başarı için gereklidir.