TEMEL KAVRAMLAR VE YAKLAŞIM

 Karmaşık Sayı Nedir?

Tanım: Karmaşık sayı, gerçel ve sanal kısmı bulunan bir sayıdır. Genel biçimi:

$$z = a + bi$$

Burada:

- $a$: Gerçel kısım (Real part) - Reel sayı

- $b$: Sanal kısmın katsayısı (Imaginary coefficient) - Reel sayı

- $i$: Sanal birim, tanımı: $i^2 = -1$

Yaygın Gösterim: $z = a + bi$ veya $z = a + ib$

Örnekler:

- $z = 3 + 4i$ (gerçel: 3, sanal: 4)

- $z = -2 + i$ (gerçel: -2, sanal: 1)

- $z = 5 + 0i = 5$ (saf gerçel sayı)

- $z = 0 + 3i = 3i$ (saf sanal sayı)

- $z = -i$ (sanal, gerçel kısım 0)

Gerçek Hayat Uygulamaları:

- ⚡ Elektrik mühendisliği: AC akım ve empedans

- 📡 Dalga teorisi: Dalga denklemleri

- 🔬 Kuantum mekaniği: Schrödinger denklemi

- 🎮 Bilgisayar grafikleri: Döndürme işlemleri

 A. SANAL BİRİM i - DETAYLI AÇIKLAMA

 i'nin Tanımı

Tanım: $i$ sayısı şu özelliği sağlayan sayıdır:

$$i^2 = -1$$

Neden? Gerçel sayılarda $x^2 = -1$ denklemi çözüm yoktur. Bu nedenle yeni bir sayı sistemi ($i$ ile tanımlanan) oluşturulmuştur.

Bağlantı: $x^2 + 1 = 0$ denkleminin çözümü:

$$x = \pm i$$

 Başlangıçtan i'nin Kuvvetleri

$i^2 = -1$ tanımından hareketle:

i'nin Birinci Kuvveti:

$$i^1 = i$$

i'nin İkinci Kuvveti:

$$i^2 = -1$$

i'nin Üçüncü Kuvveti:

$$i^3 = i^2 \cdot i = (-1) \cdot i = -i$$

i'nin Dördüncü Kuvveti:

$$i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$$

i'nin Beşinci Kuvveti:

$$i^5 = i^4 \cdot i = 1 \cdot i = i$$

i'nin Altıncı Kuvveti:

$$i^6 = i^4 \cdot i^2 = 1 \cdot (-1) = -1$$

Gözlem: Kuvvetler tekrar ediyor! $i^5 = i^1$, $i^6 = i^2$, ...

 B. i'NİN KUVVETLERİ - DÖNGÜ VE KURAL

 Döngü Tablosu

 Kural - i'nin Kuvvetini Hızlı Bulma

Kural: $i^n$'yi bulmak için, $n$'i 4'e böl ve kalanı kullan:

$$i^n = i^{4k + r} = (i^4)^k \cdot i^r = 1^k \cdot i^r = i^r$$

Burada:

- $k$ = bölüm

- $r$ = kalan (0, 1, 2, veya 3)

Sonuç:

- $r = 0$ ise → $i^n = 1$

- $r = 1$ ise → $i^n = i$

- $r = 2$ ise → $i^n = -1$

- $r = 3$ ise → $i^n = -i$

 Görsel Döngü

 C. ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER - i'NİN KUVVETLERİ

 Örnek C.1: Basit Kuvvet (⭐)

Soru: $i^{10}$ kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: 10'u 4'e böl

$$10 = 4 \times 2 + 2$$

Bölüm: 2, Kalan: 2

Adım 2: Formülü uygula

$$i^{10} = i^2 = -1$$

Cevap: $i^{10} = -1$

 Örnek C.2: Büyük Kuvvet (⭐)

Soru: $i^{27}$ kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: 27'yi 4'e böl

$$27 = 4 \times 6 + 3$$

Bölüm: 6, Kalan: 3

Adım 2: Formülü uygula

$$i^{27} = i^3 = -i$$

Cevap: $i^{27} = -i$

 Örnek C.3: Çok Büyük Kuvvet (⭐)

Soru: $i^{100}$ kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: 100'ü 4'e böl

$$100 = 4 \times 25 + 0$$

Bölüm: 25, Kalan: 0

Adım 2: Formülü uygula

$$i^{100} = i^0 = i^4 = 1$$

Cevap: $i^{100} = 1$

 Örnek C.4: Negatif Kuvvet (⭐⭐)

Soru: $i^{-2}$ kaçtır?

Çözüm:

Yöntem 1: Döngü Kullanarak

Negatif kuvvet → Geriye doğru döngü

$i^{-2} = \frac{1}{i^2} = \frac{1}{-1} = -1$

Yöntem 2: Formülle

$-2 = 4 \times (-1) + 2$ (Python modulo: -2 % 4 = 2)

$$i^{-2} = i^2 = -1$$

Cevap: $i^{-2} = -1$

 Örnek C.5: Negatif Kuvvet 2 (⭐⭐)

Soru: $i^{-1}$ kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: $i^{-1}$ tanımla

$$i^{-1} = \frac{1}{i}$$

Adım 2: Rasyonalize (payı ve paydayı $-i$ ile çarp)

$$\frac{1}{i} \cdot \frac{-i}{-i} = \frac{-i}{-i^2} = \frac{-i}{-(-1)} = \frac{-i}{1} = -i$$

Yöntem 2 Kontrol: Döngü

$-1 = 4 \times (-1) + 3$ (modulo: -1 % 4 = 3)

$$i^{-1} = i^3 = -i$$ ✓

Cevap: $i^{-1} = -i$

 Örnek C.6: Kuvvetlerin Toplamı (⭐⭐)

Soru: $i^1 + i^2 + i^3 + i^4$ kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Her bir kuvveti hesapla

$$i^1 = i$$

$$i^2 = -1$$

$$i^3 = -i$$

$$i^4 = 1$$

Adım 2: Topla

$$i + (-1) + (-i) + 1 = (i - i) + (-1 + 1) = 0 + 0 = 0$$

Gözlem: Döngünün tam bir turunda toplam = 0!

Cevap: 0

 Örnek C.7: Ardışık Dört Terimin Toplamı (⭐⭐)

Soru: $i^{21} + i^{22} + i^{23} + i^{24}$ kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Kalanları bul

$21 = 4 \times 5 + 1$ → $i^{21} = i$

$22 = 4 \times 5 + 2$ → $i^{22} = -1$

$23 = 4 \times 5 + 3$ → $i^{23} = -i$

$24 = 4 \times 6 + 0$ → $i^{24} = 1$

Adım 2: Topla

$$i + (-1) + (-i) + 1 = 0$$

Kural: Ardışık dört kuvvetten başlayan döngü içindeki toplam = 0

Cevap: 0

 Örnek C.8: Başlangıç Noktası Farklı Toplam (⭐⭐)

Soru: $i^{10} + i^{11} + i^{12}$ kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Kalanları bul

$10 = 4 \times 2 + 2$ → $i^{10} = i^2 = -1$

$11 = 4 \times 2 + 3$ → $i^{11} = i^3 = -i$

$12 = 4 \times 3 + 0$ → $i^{12} = i^0 = i^4 = 1$

Adım 2: Topla

$$(-1) + (-i) + 1 = -i$$

Cevap: $-i$

 Örnek C.9: Karmaşık Kuvvet Çarpımı (⭐⭐)

Soru: $i^{15} \times i^{20}$ kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Üsler Toplamı Kuralı

$$i^{15} \times i^{20} = i^{15+20} = i^{35}$$

Adım 2: 35'i 4'e böl

$$35 = 4 \times 8 + 3$$

Adım 3: Formülü uygula

$$i^{35} = i^3 = -i$$

Cevap: $-i$

 Örnek C.10: Bölme İşlemi (⭐⭐)

Soru: $\frac{i^{50}}{i^{18}}$ kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Üsler Çıkarma Kuralı

$$\frac{i^{50}}{i^{18}} = i^{50-18} = i^{32}$$

Adım 2: 32'yi 4'e böl

$$32 = 4 \times 8 + 0$$

Adım 3: Formülü uygula

$$i^{32} = i^0 = i^4 = 1$$

Cevap: 1

 D. KARMAŞIK SAYI İŞLEMLERİ - DETAYLI

 1. Toplama ve Çıkarma

Kural: Gerçel ve sanal kısmlar ayrı ayrı toplanır/çıkarılır.

Formül:

$$(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$$

$$(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i$$

 Örnek D.1: Toplama (⭐)

Soru: $(3 + 2i) + (1 - 4i)$ kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Gerçel kısımlar

$$3 + 1 = 4$$

Adım 2: Sanal kısımlar

$$2 + (-4) = -2$$

Adım 3: Birleştir

$$(3 + 2i) + (1 - 4i) = 4 - 2i$$

Cevap: $4 - 2i$

 Örnek D.2: Çıkarma (⭐)

Soru: $(5 + 3i) - (2 + i)$ kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Gerçel kısımlar

$$5 - 2 = 3$$

Adım 2: Sanal kısımlar

$$3 - 1 = 2$$

Adım 3: Sonuç

$$(5 + 3i) - (2 + i) = 3 + 2i$$

Cevap: $3 + 2i$

 2. Çarpma

Kural: Dağılma özelliği + $i^2 = -1$ kuralı

Formül:

$$(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2$$

$$= ac + (ad + bc)i + bd(-1)$$

$$= (ac - bd) + (ad + bc)i$$

 Örnek D.3: Basit Çarpma (⭐⭐)

Soru: $(2 + 3i)(1 + i)$ kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Dağılma özelliğini uygula

$$(2 + 3i)(1 + i) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot i + 3i \cdot 1 + 3i \cdot i$$

Adım 2: Hesapla

$$= 2 + 2i + 3i + 3i^2$$

Adım 3: $i^2 = -1$ Uygula

$$= 2 + 2i + 3i + 3(-1)$$

$$= 2 + 5i - 3$$

Adım 4: Basitleştir

$$= -1 + 5i$$

Cevap: $-1 + 5i$

 Örnek D.4: Karmaşık Çarpma (⭐⭐)

Soru: $(1 - 2i)(3 + 4i)$ kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Dağılma

$$(1 - 2i)(3 + 4i) = 1 \cdot 3 + 1 \cdot 4i + (-2i) \cdot 3 + (-2i) \cdot 4i$$

Adım 2: Hesapla

$$= 3 + 4i - 6i - 8i^2$$

Adım 3: $i^2 = -1$ Uygula

$$= 3 + 4i - 6i - 8(-1)$$

$$= 3 + 4i - 6i + 8$$

Adım 4: Basitleştir

$$= (3 + 8) + (4 - 6)i = 11 - 2i$$

Cevap: $11 - 2i$

 3. Eşlenik 

Tanım: $z = a + bi$ sayısının eşleniği:

$$\bar{z} = a - bi$$

(Sanal kısımın işareti tersine çevrilerek)

Özellik: $z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2 = |z|^2$ (gerçel sayı!)

 Örnek D.5: Eşlenik Bulma (⭐)

Soru: $z = 3 + 4i$'nin eşleniği nedir?

Çözüm:

Sanal kısım: 4 → -4

$$\bar{z} = 3 - 4i$$

Kontrol: $z \cdot \bar{z} = (3 + 4i)(3 - 4i) = 9 - 16i^2 = 9 + 16 = 25$ ✓

Cevap: $3 - 4i$

 4. Bölme

Kural: Paydayı reel sayı yapmak için eşlenik ile çarp.

Formül:

$$\frac{a + bi}{c + di} = \frac{a + bi}{c + di} \times \frac{c - di}{c - di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)}$$

Payda: $(c + di)(c - di) = c^2 + d^2$ (gerçel!)

 Örnek D.6: Basit Bölme (⭐⭐)

Soru: $\frac{3 + 4i}{1 - i}$ kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Paydanın eşleniğini belirle

$$\text{Payda eşleniği: } 1 + i$$

Adım 2: Payı ve paydayı eşleniği ile çarp

$$\frac{3 + 4i}{1 - i} \times \frac{1 + i}{1 + i}$$

Adım 3: Pay hesapla

$$(3 + 4i)(1 + i) = 3 + 3i + 4i + 4i^2$$

$$= 3 + 7i + 4(-1) = 3 + 7i - 4 = -1 + 7i$$

Adım 4: Payda hesapla

$$(1 - i)(1 + i) = 1 - i^2 = 1 - (-1) = 2$$

Adım 5: Sonuç

$$\frac{-1 + 7i}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{7}{2}i$$

Cevap: $-\frac{1}{2} + \frac{7}{2}i$

 Örnek D.7: Karmaşık Bölme (⭐⭐)

Soru: $\frac{2 - i}{2 + i}$ kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Paydanın eşleniğini belirle

$$\text{Payda eşleniği: } 2 - i$$

Adım 2: Çarp

$$\frac{2 - i}{2 + i} \times \frac{2 - i}{2 - i}$$

Adım 3: Pay

$$(2 - i)(2 - i) = 4 - 2i - 2i + i^2 = 4 - 4i - 1 = 3 - 4i$$

Adım 4: Payda

$$(2 + i)(2 - i) = 4 - i^2 = 4 + 1 = 5$$

Adım 5: Sonuç

$$\frac{3 - 4i}{5} = \frac{3}{5} - \frac{4}{5}i$$

Cevap: $\frac{3}{5} - \frac{4}{5}i$

 E. MODÜL (MUTLAK DEĞER) - DETAYLI

 Tanım

$z = a + bi$ karmaşık sayısının modülü (veya mutlak değeri):

$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$$

Geometrik Anlamı: Kompleks düzlemde başlangıçtan $z$'ye olan uzaklık.

 Özellikler

 Örnek E.1: Modül Hesabı (⭐)

Soru: $z = 3 + 4i$'nin modülü kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Formülü uygula

$$|z| = \sqrt{3^2 + 4^2}$$

Adım 2: Hesapla

$$= \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Cevap: $|z| = 5$

 Örnek E.2: Saf Sanal Modül (⭐)

Soru: $z = 3i$'nin modülü kaçtır?

Çözüm:

$z = 0 + 3i$ olarak yaz

$$|z| = \sqrt{0^2 + 3^2} = \sqrt{9} = 3$$

Cevap: 3

 Örnek E.3: Modül Özelliği (⭐⭐)

Soru: $z = 3 + 4i$ için $z \cdot \bar{z}$ kaçtır?

Çözüm:

Yöntem 1: Doğrudan Çarpma

$\bar{z} = 3 - 4i$

$$z \cdot \bar{z} = (3 + 4i)(3 - 4i) = 9 - 16i^2 = 9 + 16 = 25$$

Yöntem 2: Formül

$$z \cdot \bar{z} = |z|^2 = 5^2 = 25$$

Cevap: 25

 F. KARMAŞIK KÖKLER - DETAYLI

 Tanım

İkinci dereceden denklem: $ax^2 + bx + c = 0$

Diskriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ negatifse, kökler karmaşık sayıdır.

Kökler:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{-(|\Delta|)}}{2a} = \frac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$$

 Örnek F.1: Karmaşık Kökler Bulma (⭐⭐)

Soru: $x^2 + 2x + 5 = 0$ denkleminin köklerini bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: Katsayıları belirle

$$a = 1, \quad b = 2, \quad c = 5$$

Adım 2: Diskriminantı hesapla

$$\Delta = 2^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16 < 0$$

Kökler karmaşık!

Adım 3: Kökleri hesapla

$$x = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{-2 \pm 4i}{2}$$

Adım 4: Basitleştir

$$x_1 = \frac{-2 + 4i}{2} = -1 + 2i$$

$$x_2 = \frac{-2 - 4i}{2} = -1 - 2i$$

Gözlem: Kökler birbirinin eşleniği! ($x_2 = \bar{x_1}$)

Cevap: $x_1 = -1 + 2i$, $x_2 = -1 - 2i$

 Örnek F.2: Karmaşık Kökü Kontrol (⭐⭐)

Soru: $x_1 = -1 + 2i$'nin $x^2 + 2x + 5 = 0$'da sağlayıp sağlamadığını kontrol et.

Çözüm:

Adım 1: $x_1^2$ hesapla

$$(-1 + 2i)^2 = 1 - 4i + 4i^2$$

$$= 1 - 4i - 4 = -3 - 4i$$

Adım 2: Denkleme koy

$$x_1^2 + 2x_1 + 5 = (-3 - 4i) + 2(-1 + 2i) + 5$$

$$= -3 - 4i - 2 + 4i + 5$$

$$= (-3 - 2 + 5) + (-4 + 4)i$$

$$= 0 + 0i = 0$$ ✓

Sonuç: Köklü sağlar!

 Örnek F.3: Başka Bir Karmaşık Kök (⭐⭐)

Soru: $x^2 - 2x + 2 = 0$ denkleminin köklerini bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: Katsayılar

$$a = 1, b = -2, c = 2$$

Adım 2: Diskriminant

$$\Delta = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4$$

Adım 3: Kökleri hesapla

$$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{2 \pm 2i}{2}$$

Adım 4: Basitleştir

$$x_1 = 1 + i, \quad x_2 = 1 - i$$

Cevap: $x_1 = 1 + i$, $x_2 = 1 - i$

 Vieta Formülleri ve Karmaşık Kökler

Özellik: Karmaşık kökler için de Vieta formülleri geçerlidir!

 Örnek F.4: Vieta Formülleriyle Kontrol (⭐⭐)

Soru: Önceki örnekte $x_1 = -1 + 2i$, $x_2 = -1 - 2i$ için Vieta formüllerini kontrol et.

Çözüm:

Denklem: $x^2 + 2x + 5 = 0$ → $a = 1, b = 2, c = 5$

Toplam:

$$x_1 + x_2 = (-1 + 2i) + (-1 - 2i) = -2$$

Vieta: $-b/a = -2/1 = -2$ ✓

Çarpım:

$$x_1 \cdot x_2 = (-1 + 2i)(-1 - 2i) = 1 - (2i)^2 = 1 - 4i^2 = 1 + 4 = 5$$

Vieta: $c/a = 5/1 = 5$ ✓

 G. HIZLI REFERANS - KARMAŞIK SAYILAR

 H. 🎯 PÜF NOKTALAR - KARMAŞIK SAYILAR

✓ i'NİN KUVVETLERİ:

- Döngü: $i, -1, -i, 1$ (tekrar)

- Hızlı bulmak: $n \pmod 4$ al

- Döngü başından 4'ün katı: 1

- İlk terim başına dönen

✓ KARMAŞIK SAYI İŞLEMLERİ:

- Toplama/Çıkarma: Gerçel + Gerçel, Sanal + Sanal

- Çarpma: Dağılma özelliği + $i^2 = -1$ kuralı

- Bölme: Eşlenik ile çarp (paydayı reel yap)

- Modül: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$

✓ İŞARET DİKKATİ:

- Eşlenik: Sanal işareti tersine çevir ($a - bi$)

- $i^2 = -1$ kuralını unutma

- Bölme'de eşlenik ile çarp

- Modül daima pozitif

✓ KARMAŞIK KÖKLER:

- $\Delta < 0$ ise kökler karmaşık

- Vieta formülleri geçerli

- Reel katsayılı denklemde: Kökler eşlenik çifti

✓ KONTROL MEKANİZMASI:

- Döngü tutuyor mu? ($i, -1, -i, 1$)

- İşlemler doğru mu?

- $i^2 = -1$ uygulandı mı?

- Sonuç mantıklı mı?

 I. YAYGIN HATALAR - KARMAŞIK SAYILAR