EŞİTSİZLİK KAVRAMI

 Tanım

Eşitsizlik: İki matematiksel ifade arasında $<$, $>$, $\leq$, $\geq$ gibi işaretler ile yazılan ilişkiye eşitsizlik denir.

Gösterim:

- $a < b$ (a küçüktür b'den)

- $a > b$ (a büyüktür b'den)

- $a \leq b$ (a küçük eşittir b'ye)

- $a \geq b$ (a büyük eşittir b'ye)

Örnekler:

- $3 < 5$ (doğru)

- $x + 2 > 7$ (eşitsizlik)

- $2x - 5 \leq 11$ (eşitsizlik)

 Eşitsizlik Gösterimi:

EŞİTSİZLİK ÖZELLİKLERİ

 Özellik 1: Toplama-Çıkarma

Eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayıyı ekleyebilir veya çıkarabiliriz. Eşitsizlik işareti değişmez.

$$\text{Eğer } a < b \text{ ise } a + c < b + c$$

Örnek: $x - 5 > 3$

$$x - 5 + 5 > 3 + 5$$

$$x > 8$$

 Özellik 2: Pozitif Sayı ile Çarpma-Bölme

Eşitsizliği pozitif sayı ile çarpar veya böleriz. Eşitsizlik işareti değişmez.

$$\text{Eğer } a < b \text{ ve } c > 0 \text{ ise } a \cdot c < b \cdot c$$

Örnek: $\frac{x}{3} < 4$

$$\frac{x}{3} \times 3 < 4 \times 3$$

$$x < 12$$

 Özellik 3: Negatif Sayı ile Çarpma-Bölme ⚠️

Eşitsizliği negatif sayı ile çarpar veya böleriz. Eşitsizlik işareti ters çevrilir!

$$\text{Eğer } a < b \text{ ve } c < 0 \text{ ise } a \cdot c > b \cdot c$$

Örnek: $-2x > 8$

$$\frac{-2x}{-2} < \frac{8}{-2}$$ (işaret ters döndü!)

$$x < -4$$

 Özellik 4: Geçişkenlik

$$\text{Eğer } a < b \text{ ve } b < c \text{ ise } a < c$$

 Özellik 5: Benzer Eşitsizlikler Toplanabilir

$$\text{Eğer } a < b \text{ ve } c < d \text{ ise } a + c < b + d$$

 I. DERECEDEN EŞİTSİZLİK ÇÖZÜMÜ

 Genel Algoritma

Adım 1: Terimleri düzenle (bilinmeyenleri bir tarafa, sabitler diğer tarafa)

Adım 2: Benzer terimleri birleştir

Adım 3: Bilinmeyenin katsayısına böl (negatifse işareti ters çevir)

Adım 4: Çözüm kümesini aralık gösterimi ile yaz

Adım 5: Çözüm kümesini sayı doğrusunda göster

 Standart Çözüm: $ax + b < c$

$$ax + b < c$$

$$ax < c - b$$

$$x < \frac{c - b}{a}$$ (eğer $a > 0$)

veya

$$x > \frac{c - b}{a}$$ (eğer $a < 0$, işaret ters)

 ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

 Örnek 1: Basit Eşitsizlik

Soru: $x + 5 > 12$ eşitsizliğini çözünüz.

Çözüm:

$$x + 5 > 12$$

$$x > 12 - 5$$

$$x > 7$$

Çözüm Kümesi: $Ç = (7, +\infty)$ veya $\{x : x > 7\}$

Sayı Doğrusunda:

Örnek 2: Katsayılı Eşitsizlik

Soru: $3x - 7 \leq 11$ eşitsizliğini çözünüz.

Çözüm:

$$3x - 7 \leq 11$$

$$3x \leq 11 + 7$$

$$3x \leq 18$$

$$x \leq 6$$

Çözüm Kümesi: $Ç = (-\infty, 6]$

 Örnek 3: Negatif Katsayı (İşaret Değişimi!)

Soru: $-2x + 5 > 13$ eşitsizliğini çözünüz.

Çözüm:

$$-2x + 5 > 13$$

$$-2x > 13 - 5$$

$$-2x > 8$$

$$\frac{-2x}{-2} < \frac{8}{-2}$$ ⚠️ İşaret ters döndü!

$$x < -4$$

Çözüm Kümesi: $Ç = (-\infty, -4)$

 Örnek 4: Kesirli Eşitsizlik

Soru: $\frac{x}{3} - 2 \geq 1$ eşitsizliğini çözünüz.

Çözüm:

$$\frac{x}{3} - 2 \geq 1$$

$$\frac{x}{3} \geq 1 + 2$$

$$\frac{x}{3} \geq 3$$

$$x \geq 9$$

Çözüm Kümesi: $Ç = [9, +\infty)$

 Örnek 5: Parantez İçeren Eşitsizlik

Soru: $2(x - 3) < 10$ eşitsizliğini çözünüz.

Çözüm:

$$2(x - 3) < 10$$

$$2x - 6 < 10$$

$$2x < 16$$

$$x < 8$$

Çözüm Kümesi: $Ç = (-\infty, 8)$

 Örnek 6: Iki Tarafhı Eşitsizlik

Soru: $-5 < 2x + 1 < 7$ eşitsizliğini çözünüz.

Çözüm:

Bu iki eşitsizliğin birleşimidir:

- $-5 < 2x + 1$ ve

- $2x + 1 < 7$

Birinci eşitsizlik:

$$-5 < 2x + 1$$

$$-6 < 2x$$

$$-3 < x$$

İkinci eşitsizlik:

$$2x + 1 < 7$$

$$2x < 6$$

$$x < 3$$

Birleşim: $-3 < x < 3$

Çözüm Kümesi: $Ç = (-3, 3)$

 Örnek 7: Karmaşık Eşitsizlik

Soru: $3x - 2(x - 4) \geq 2x + 1$ eşitsizliğini çözünüz.

Çözüm:

$$3x - 2(x - 4) \geq 2x + 1$$

$$3x - 2x + 8 \geq 2x + 1$$ (parantezi aç)

$$x + 8 \geq 2x + 1$$

$$8 - 1 \geq 2x - x$$

$$7 \geq x$$

$$x \leq 7$$

Çözüm Kümesi: $Ç = (-\infty, 7]$

 ARALÍK GÖSTERİMİ

 Gösterim Türleri
 

 EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİ

 İki Eşitsizliğin Kesişimi

Soru: 

$$\begin{cases}2x - 3 > 1 \\x + 2 \leq 6\end{cases}$$

sistemini çözünüz.

Çözüm:

İlk eşitsizlik:

$$2x - 3 > 1$$

$$2x > 4$$

$$x > 2$$

İkinci eşitsizlik:

$$x + 2 \leq 6$$

$$x \leq 4$$

Kesişim: $2 < x \leq 4$

Çözüm Kümesi: $Ç = (2, 4]$

 PÜF NOKTALAR VE DİKKAT EDİLECEKLER

 🎯 Püf Nokta 1: Negatif Sayı ile İşlem

Negatif sayı ile çarparken veya bölerken işareti ters çevir!

 🎯 Püf Nokta 2: Aralık Gösterimi

- Açık aralık: $(a, b)$ → uç noktalar dahil değil

- Kapalı aralık: $[a, b]$ → uç noktalar dahil

- Yarı açık: $[a, b)$ veya $(a, b]$

 🎯 Püf Nokta 3: İki Taraflı Eşitsizlik

$a < x < b$ şeklinde yazılan eşitsizlikleri iki ayrı eşitsizlik olarak çöz.

 🎯 Püf Nokta 4: Sistem Çözümü

Sistemi çözerken her eşitsizliği ayrı çöz, sonra kesişimini al.

 YAYGIN HATALAR

 ❌ Hata 1: Negatif Katsayıda İşareti Unutmak

Yanlış: $-x > 5$ → $x > -5$

Doğru: $-x > 5$ → $x < -5$ (işaret ters!)

 ❌ Hata 2: Aralık Gösteriminde Hata

Yanlış: $x < 5$ → $Ç = [5, +\infty)$

Doğru: $x < 5$ → $Ç = (-\infty, 5)$

 ❌ Hata 3: İki Taraflı Eşitsizliği Yanlış Çözmek

Yanlış: $1 < 2x < 6$ → $x > \frac{1}{2}$ ve $x < 3$ yazıp çıkarma yapmak

Doğru: Her iki tarafı ayrı ayrı çöz, sonra kesişimini al

 EK ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

 Örnek 8: Mutlak Değerli Eşitsizlik

Soru: $|x - 2| < 3$ eşitsizliğini çözünüz.

Çözüm:

$|x - 2| < 3$ ⟺ $-3 < x - 2 < 3$

Tüm taraflara 2 ekle:

$$-3 + 2 < x < 3 + 2$$

$$-1 < x < 5$$

Çözüm Kümesi: $Ç = (-1, 5)$

 Örnek 9: Çoklu Eşitsizlik Sistemi

Soru:

$$\begin{cases}3x + 1 > 10 \\2x - 3 \leq 9 \\x + 5 > 2\end{cases}$$

sistemini çözünüz.

Çözüm:

İlk: $3x + 1 > 10$ → $3x > 9$ → $x > 3$

İkinci: $2x - 3 \leq 9$ → $2x \leq 12$ → $x \leq 6$

Üçüncü: $x + 5 > 2$ → $x > -3$

Kesişim: $3 < x \leq 6$

Çözüm Kümesi: $Ç = (3, 6]$