7. FAKTÖRİYEL KAVRAMI VE FAKTÖRİYEL İLE İŞLEMLER

FAKTÖRİYEL TANIMI

Tanım

Faktöriyel: $n$ pozitif tam sayı olmak üzere, $1$'den $n$'e kadar olan tüm pozitif tam sayıların çarpımına $n$ faktöriyel denir ve $n!$ ile gösterilir.

$$n! = 1 \times 2 \times 3 \times ... \times (n-1) \times n$$

 Özel Durumlar

- $0! = 1$ (tanım gereği)

- $1! = 1$

- Negatif sayıların faktöriyeli tanımlı değildir

 İlk Faktöriyel Değerleri

 Faktöriyelin Büyüme Hızı

Faktöriyel, sayılar büyüdükçe inanılmaz hızlı büyür. Şöyle düşünelim:

Küçük sayılarda:

• 1! = 1
• 5! = 120
• 10! = 3.628.800 (3 milyondan fazla!)

Biraz daha büyük sayılarda:

• 15! = 1.307.674.368.000 (1 trilyondan fazla!)
• 20! = 2.432.902.008.176.640.000 (2 kentilyon!)

Neden Bu Kadar Hızlı Büyür?

Her adımda bir önceki sonucu gittikçe büyüyen bir sayı ile çarpıyoruz:

• 5! = 120, bunu 6 ile çarpınca → 6! = 720
• 6! = 720, bunu 7 ile çarpınca → 7! = 5.040
• 7! = 5.040, bunu 8 ile çarpınca → 8! = 40.320

Görüldüğü gibi her adımda sonuç katlanarak büyüyor!

Karşılaştırma

Diğer büyüme türleriyle kıyasla:

• Doğrusal büyüme: 2n → yavaş (2, 4, 6, 8, 10...)
• Karesel büyüme: n² → orta hızda (1, 4, 9, 16, 25...)
• Üstel büyüme: 2^n → hızlı (2, 4, 8, 16, 32...)
• Faktöriyel büyüme: n! → çok çok hızlı! (1, 2, 6, 24, 120...)

FAKTÖRİYEL ÖZELLİKLERİ

 Temel Özellikler

 1. Rekürsif Tanım

$$n! = n \times (n-1)!$$

 2. Çarpım Özelliği

$$\frac{n!}{k!} = n \times (n-1) \times ... \times (k+1)$$ $(n > k)$

 3. Oran Özelliği

$$\frac{(n+1)!}{n!} = n+1$$

 4. Çarpanlarına Ayırma

$$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times ... \times 2 \times 1$$

 Stirling Yaklaşımı

Büyük $n$ değerleri için:

$$n! \approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$$

 FAKTÖRİYEL İLE İŞLEMLER

 Sadeleştirme İşlemleri

 Tip 1: Basit Sadeleştirme

$$\frac{8!}{5!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5!}{5!} = 8 \times 7 \times 6 = 336$$

 Tip 2: Karmaşık Sadeleştirme

$$\frac{n!}{(n-2)!} = n \times (n-1)$$

 Tip 3: Toplam/Fark İçeren

$$\frac{(n+2)!}{n!} = (n+2) \times (n+1)$$

 Faktöriyel Denklemleri

 Doğrusal Faktöriyel Denklemler

$$\frac{x!}{(x-2)!} = 56$$

$$x(x-1) = 56$$

$$x^2 - x - 56 = 0$$

$$(x-8)(x+7) = 0$$

$$x = 8$$ (pozitif çözüm)

 ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

 Örnek 1: Basit Faktöriyel Hesabı

Soru: $\frac{7!}{4! \times 3!}$ işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm:

$$\frac{7!}{4! \times 3!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4! \times 3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{6} = 7 \times 5 = 35$$

 Örnek 2: Faktöriyel Denklemi

Soru: $\frac{n!}{(n-3)!} = 60$ denklemini çözünüz.

Çözüm:

$$\frac{n!}{(n-3)!} = n \times (n-1) \times (n-2) = 60$$

$n = 4$ deneyelim: $4 \times 3 \times 2 = 24 \neq 60$

$n = 5$ deneyelim: $5 \times 4 \times 3 = 60$ ✓

Sonuç: $n = 5$

 Örnek 3: Karmaşık Faktöriyel İfadesi

Soru: $\frac{(n+1)! - n!}{n!}$ ifadesini sadeleştiriniz.

Çözüm:

$$\frac{(n+1)! - n!}{n!} = \frac{(n+1) \times n! - n!}{n!} = \frac{n! \times [(n+1) - 1]}{n!} = \frac{n! \times n}{n!} = n$$

 Örnek 4: Faktöriyel Oranı

Soru: $\frac{100!}{98! \times 2!}$ değerini bulunuz.

Çözüm:

$$\frac{100!}{98! \times 2!} = \frac{100 \times 99 \times 98!}{98! \times 2} = \frac{100 \times 99}{2} = 50 \times 99 = 4950$$

 Örnek 5: Faktöriyel Toplamı

Soru: $1! + 2! + 3! + 4! + 5!$ toplamını bulunuz.

Çözüm:

$$1! + 2! + 3! + 4! + 5! = 1 + 2 + 6 + 24 + 120 = 153$$

 Örnek 6: İkinci Derece Faktöriyel Denklemi

Soru: $\frac{x!}{(x-2)!} - \frac{(x-1)!}{(x-3)!} = 20$ denklemini çözünüz.

Çözüm:

$$\frac{x!}{(x-2)!} = x(x-1)$$

$$\frac{(x-1)!}{(x-3)!} = (x-1)(x-2)$$

$$x(x-1) - (x-1)(x-2) = 20$$

$$(x-1)[x - (x-2)] = 20$$

$$(x-1) \times 2 = 20$$

$$x-1 = 10$$

$$x = 11$$

Kontrol: $11 \times 10 - 10 \times 9 = 110 - 90 = 20$ ✓

 Örnek 7: Kombinatorik Uygulaması

Soru: $\frac{n!}{k!(n-k)!} = 35$ ve $k = 2$ olduğuna göre $n$'i bulunuz.

Çözüm:

$$\frac{n!}{2!(n-2)!} = 35$$

$$\frac{n(n-1)(n-2)!}{2(n-2)!} = 35$$

$$\frac{n(n-1)}{2} = 35$$

$$n(n-1) = 70$$

$$n^2 - n - 70 = 0$$

Denklemin köklerini bulalım:

$$n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 280}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{281}}{2}$$

$\sqrt{281} \approx 16.76$ olduğundan:

$$n = \frac{1 + 16.76}{2} \approx 8.88$$

Tam sayı çözüm arıyoruz: $n = 8$ deneyelim.

$8 \times 7 = 56 \neq 70$

$n = 9$ deneyelim: $9 \times 8 = 72 \approx 70$

Daha dikkatli hesap: $(n-8.5)(n+7.5) = 0$ yaklaşık

Tam sayı: $n = 8$ veya $n = 9$ kontrol edelim.

$n = 8$: $\frac{8!}{2! \times 6!} = \frac{8 \times 7}{2} = 28 \neq 35$

$n = 9$: $\frac{9!}{2! \times 7!} = \frac{9 \times 8}{2} = 36 \neq 35$

Doğru hesap: $n(n-1) = 70$, $n^2 - n - 70 = 0$

$(n-10)(n+7) = 0$ değil, yeniden:

$n = 10$ deneyelim: $10 \times 9 = 90 \neq 70$

Faktörizasyon: $70 = 2 \times 5 \times 7 = 10 \times 7$

Ama $(n-1)$ ve $n$ ardışık olmalı.

Doğru yaklaşım: Quadratic formula ile $n \approx 8.74$

En yakın tam sayılar kontrol edilmeli.

 FAKTÖRİYEL UYGULAMALARI

 Permütasyon (Dizilim)

$n$ farklı nesnenin sıralanma sayısı: $P(n) = n!$

 Kombinasyon (Birleşim)

$n$ nesneden $k$ tanesini seçme sayısı: $C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

 Faktöriyelin Son Rakamı

$n \geq 5$ için $n!$'in son rakamı $0$'dır (çünkü $2$ ve $5$ çarpanları vardır).

 PÜF NOKTALAR VE DİKKAT EDİLECEKLER

 🎯 Püf Nokta 1: Faktöriyel Sadeleştirme

$$\frac{n!}{(n-k)!} = n \times (n-1) \times ... \times (n-k+1)$$

 🎯 Püf Nokta 2: Kombinasyon Simetrisi

$$C(n,k) = C(n,n-k)$$

 🎯 Püf Nokta 3: Faktöriyel Büyüme

$n!$ çok hızlı büyür: $10! = 3,628,800$

 🎯 Püf Nokta 4: Son Sıfır Sayısı

$n!$'deki son sıfır sayısı = $\left\lfloor\frac{n}{5}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{n}{25}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{n}{125}\right\rfloor + ...$

 YAYGIN HATALAR

 ❌ Hata 1: Sıfır Faktöriyeli

Yanlış: $0! = 0$

Doğru: $0! = 1$

 ❌ Hata 2: Negatif Faktöriyel

Yanlış: $(-3)! = -6$

Doğru: Negatif sayıların faktöriyeli tanımsız

 ❌ Hata 3: Sadeleştirme Hatası

Yanlış: $\frac{n!}{(n-1)!} = \frac{1}{n-1}$

Doğru: $\frac{n!}{(n-1)!} = n$

 EK ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

 Örnek 8: Faktöriyel Eşitsizliği

Soru: $n! > 5000$ eşitsizliğini sağlayan en küçük $n$ değerini bulunuz.

Çözüm:

- $6! = 720 < 5000$

- $7! = 5040 > 5000$ ✓

Sonuç: $n = 7$

 Örnek 9: Faktöriyel Zinciri

Soru: $\frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + ... + \frac{1}{10!}$ toplamını hesaplayınız.

Çözüm:

Bu toplam $e - 1$'e yakınsar, ama sonlu toplamı hesaplayalım:

$$\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} + \frac{1}{720} + ... \approx 1.7182815$$