1. TANIM VE GENEL YAPI

 1.1. İkinci Derece Denklem Nedir?

$a, b, c \in \mathbb{R}$ ve $a \neq 0$ olmak üzere,

$$\boxed{ax^2 + bx + c = 0}$$

şeklindeki eşitliklere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

 1.2. Terimler ve Gösterimler

⚠️ ÖNEMLİ: 

- $a = 0$ olursa denklem birinci derece olur!

- $a \neq 0$ şartı olmazsa ikinci derece denklem tanımı bozulur.

 1.3. Kök Nedir?

Denklemi sağlayan (doğrulayan, gerçekleyen) $x$ değerlerine denklemin kökleri denir.

Gösterimler:

- $x_1, x_2$ (yaygın)

- $\alpha, \beta$ (alternatif)

Örnek:

$x^2 - 5x + 6 = 0$ denkleminin kökleri: $x_1 = 2, x_2 = 3$

✓ Kontrol:

- $x = 2: 2^2 - 5(2) + 6 = 4 - 10 + 6 = \mathbf{0}$ ✓

- $x = 3: 3^2 - 5(3) + 6 = 9 - 15 + 6 = \mathbf{0}$ ✓

 1.4. Standart Form

İkinci derece denklemi çözmeden önce standart forma getirmeliyiz:

Standart Form: $ax^2 + bx + c = 0$ (Sağ taraf sıfır olmalı!)

 2. DENKLEM TÜRLERİ

 2.1. Tam Denklem

Tanım: $a \neq 0, b \neq 0, c \neq 0$

Tüm terimler var!

Örnekler:

- $x^2 - 5x + 6 = 0$ ($a=1, b=-5, c=6$)

- $2x^2 + 3x - 1 = 0$ ($a=2, b=3, c=-1$)

- $-x^2 + 4x + 5 = 0$ ($a=-1, b=4, c=5$)

 2.2. Eksik Denklemler

 Tip I: $b = 0$ (x terimi yok)

Form: $ax^2 + c = 0$

Hızlı Çözüm:

1. $c$'yi karşıya at: $ax^2 = -c$

2. $a$'ya böl: $x^2 = -c/a$

3. Karekök al: $x = \pm\sqrt{-c/a}$

Örnek 1:

$$

\begin{aligned}

x^2 - 9 &= 0 \\

x^2 &= 9 \\

x &= \pm 3

\end{aligned}

$$

Örnek 2:

$$

\begin{aligned}

2x^2 - 8 &= 0 \\

2x^2 &= 8 \\

x^2 &= 4 \\

x &= \pm 2

\end{aligned}

$$

⚠️ DİKKAT: $-c/a < 0$ ise reel kök yok!

Örnek 3:

$$

\begin{aligned}

x^2 + 4 &= 0 \\

x^2 &= -4 \\

\text{Reel kök YOK!} &\quad (\text{Karmaşık: } x = \pm 2i)

\end{aligned}

$$

 Tip II: $c = 0$ (Sabit terim yok)

Form: $ax^2 + bx = 0$

Hızlı Çözüm:

1. $x$'i paranteze al: $x(ax + b) = 0$

2. Her çarpanı sıfıra eşitle

Örnek 1:

$$

\begin{aligned}

x^2 - 4x &= 0 \\

x(x - 4) &= 0 \\

x = 0 \quad \text{veya} \quad x &= 4

\end{aligned}

$$

Örnek 2:

$$

\begin{aligned}

2x^2 + 6x &= 0 \\

2x(x + 3) &= 0 \\

x = 0 \quad \text{veya} \quad x &= -3

\end{aligned}

$$

💡 PÜF NOKTA: Tip II'de her zaman $x = 0$ kök olur!

 Tip III: $b = 0$ ve $c = 0$ (Sadece $ax^2 = 0$)

Form: $ax^2 = 0$

Hızlı Çözüm: $x^2 = 0 \rightarrow x = 0$ (çift kök)

Örnek:

$$

\begin{aligned}

5x^2 &= 0 \\

x^2 &= 0 \\

x &= 0 \quad (\text{çift kök})

\end{aligned}

$$

 2.3. Denklem Türleri Özet Tablosu

 3. ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ

 3.1. Yöntem 1: Çarpanlarına Ayırma

Ne Zaman Kullanılır?

- Çarpanları "göz kararı" bulunabiliyorsa

- Genelde tam sayı katsayılı denklemlerde

Temel Kural:

$f(x) \cdot g(x) = 0 \implies \mathbf{f(x) = 0}$ veya $\mathbf{g(x) = 0}$

 Adımlar:

1. Standart forma getir

2. Çarpanlara ayır: $(x - p)(x - q) = 0$

3. Her çarpanı sıfıra eşitle

4. Kontrol yap

 Örnek 3.1: Basit Çarpanlarına Ayırma (⭐)

Soru: $x^2 - 5x + 6 = 0$

Çözüm:

Adım 1: Çarpanları bul

- $p + q = 5$ ve $pq = 6$ olan iki sayı?

- $2 + 3 = 5$ ✓

- $2 \times 3 = 6$ ✓

Adım 2: Çarpanlarına ayır

$$(x - 2)(x - 3) = 0$$

Adım 3: Çöz

$$

\begin{aligned}

x - 2 = 0 &\rightarrow x_1 = 2 \\

x - 3 = 0 &\rightarrow x_2 = 3

\end{aligned}

$$

✓ Kontrol:

- $x = 2: 4 - 10 + 6 = 0$ ✓

- $x = 3: 9 - 15 + 6 = 0$ ✓

Cevap: $x_1 = 2, x_2 = 3$ ✅

 Örnek 3.2: Negatif Sayılarla (⭐⭐)

Soru: $x^2 + x - 6 = 0$

Çözüm:

Adım 1: $p + q = -1$ ve $pq = -6$

- Çarpımı -6 olan çiftler: $(1,-6), (-1,6), (2,-3), (-2,3)$

- Toplamı -1: $-3 + 2 = -1$ ✓

- Çarpımı -6: $-3 \times 2 = -6$ ✓

Adım 2: Çarpanlarına ayır

$$(x - 2)(x + 3) = 0$$

Adım 3: Çöz

$$x_1 = 2, \quad x_2 = -3$$

Cevap: $x_1 = 2, x_2 = -3$ ✅

 Örnek 3.3: Başkatsayı $\neq 1$ (⭐⭐⭐)

Soru: $2x^2 - 5x + 2 = 0$

Çözüm:

Yöntem 1: Ortayı Parçalama

Adım 1: $a \cdot c$ çarpımını bul

$$a \cdot c = 2 \times 2 = 4$$

Adım 2: Toplamı $b=-5$, çarpımı $ac=4$ olan sayıları bul

$$-4 + (-1) = -5 \quad ✓$$

$$-4 \times (-1) = 4 \quad ✓$$

Adım 3: Ortayı parçala

$$2x^2 - 4x - x + 2 = 0$$

Adım 4: Grupla

$$

\begin{aligned}

2x(x - 2) - 1(x - 2) &= 0 \\

(x - 2)(2x - 1) &= 0

\end{aligned}

$$

Adım 5: Çöz

$$

\begin{aligned}

x - 2 = 0 &\rightarrow x_1 = 2 \\

2x - 1 = 0 &\rightarrow x_2 = 1/2

\end{aligned}

$$

Cevap: $x_1 = 2, x_2 = 1/2$ ✅

 3.2. Yöntem 2: Tam Kare Tamamlama

Ne Zaman Kullanılır?

- Başkatsayı küçük ($a = 1$ veya $a = 2$)

- Çarpanları hemen görünmüyor

- Formül kullanmak istemiyorsan

Temel Kural:

$$x^2 + 2kx + k^2 = (x + k)^2$$

 Adımlar:

1. Başkatsayıyı 1 yap ($a \neq 1$ ise)

2. Sabit terimi sağa al

3. $(b/2)^2$ ekle her iki tarafa

4. Sol tarafı tam kare yap

5. Karekök al ve çöz

 Örnek 3.4: Tamamlama ($a = 1$) (⭐⭐)

Soru: $x^2 - 6x + 5 = 0$

Çözüm:

Adım 1: Sabit terimi sağa al

$$x^2 - 6x = -5$$

Adım 2: $(b/2)^2$ hesapla ve ekle

$$(-6/2)^2 = (-3)^2 = 9$$

$$x^2 - 6x + 9 = -5 + 9$$

Adım 3: Tam kare yap

$$(x - 3)^2 = 4$$

Adım 4: Karekök al

$$

\begin{aligned}

x - 3 &= \pm 2 \\

x - 3 = 2 &\rightarrow x_1 = 5 \\

x - 3 = -2 &\rightarrow x_2 = 1

\end{aligned}

$$

Cevap: $x_1 = 5, x_2 = 1$ ✅

 Örnek 3.5: Tamamlama ($a \neq 1$) (⭐⭐⭐)

Soru: $2x^2 + 8x + 6 = 0$

Çözüm:

Adım 1: Başkatsayıya böl

$$x^2 + 4x + 3 = 0$$

Adım 2: Sabit terimi sağa al

$$x^2 + 4x = -3$$

Adım 3: $(b/2)^2$ ekle

$$(4/2)^2 = 4$$

$$x^2 + 4x + 4 = -3 + 4$$

Adım 4: Tam kare yap

$$(x + 2)^2 = 1$$

Adım 5: Karekök al

$$

\begin{aligned}

x + 2 &= \pm 1 \\

x_1 &= -1 \\

x_2 &= -3

\end{aligned}

$$

Cevap: $x_1 = -1, x_2 = -3$ ✅

 Tamamlama Ne Zaman Kullanılır?

TYT'de: Tamamlama %5-10 çıkar, bilmek yeterli!

 3.3. Yöntem 3: Formül Kullanımı

En Genel Yöntem: Her zaman çalışır!

 Diskriminant (Δ)

$$\boxed{\Delta = b^2 - 4ac}$$

Diskriminant ne işe yarar?

- Kök sayısını belirler

- Köklerin türünü gösterir

- Formülde kullanılır

 Kök Formülleri

$$\boxed{x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}}$$

Ayrı ayrı:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$$

 Örnek 3.6: Formülle Çözüm (⭐⭐)

Soru: $2x^2 - 3x - 5 = 0$

Çözüm:

Adım 1: Katsayıları belirle

$$a = 2, \quad b = -3, \quad c = -5$$

Adım 2: $\Delta$ hesapla

$$

\begin{aligned}

\Delta &= b^2 - 4ac \\

\Delta &= (-3)^2 - 4(2)(-5) \\

\Delta &= 9 + 40 \\

\Delta &= 49

\end{aligned}

$$

Adım 3: $\sqrt{\Delta}$ hesapla

$$\sqrt{\Delta} = \sqrt{49} = 7$$

Adım 4: Formülü uygula

$$

\begin{aligned}

x &= \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \\

x &= \frac{3 \pm 7}{4} \\[1em]

x_1 &= \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} \\

x_2 &= \frac{3 - 7}{4} = \frac{-4}{4} = -1

\end{aligned}

$$

Cevap: $x_1 = 5/2, x_2 = -1$ ✅

✓ Kontrol:

- $x = 5/2: 2(25/4) - 3(5/2) - 5 = 25/2 - 15/2 - 10/2 = 0$ ✓

- $x = -1: 2(1) - 3(-1) - 5 = 2 + 3 - 5 = 0$ ✓

 Örnek 3.7: Negatif Başkatsayı (⭐⭐)

Soru: $-x^2 + 4x + 5 = 0$

Çözüm:

Yöntem 1: Doğrudan formül

$$

\begin{aligned}

a = -1, \quad b = 4, \quad c &= 5 \\

\Delta = 16 - 4(-1)(5) = 16 + 20 &= 36 \\

\sqrt{\Delta} &= 6 \\[0.5em]

x = \frac{-4 \pm 6}{-2} \\

x_1 = \frac{-4 + 6}{-2} = \frac{2}{-2} &= -1 \\

x_2 = \frac{-4 - 6}{-2} = \frac{-10}{-2} &= 5

\end{aligned}

$$

Yöntem 2: -1 ile çarp (Önerilen!)

$$

\begin{aligned}

x^2 - 4x - 5 &= 0 \\

(x - 5)(x + 1) &= 0 \\

x_1 = 5, \quad x_2 &= -1

\end{aligned}

$$

💡 PÜF NOKTA: Negatif başkatsayı görünce -1 ile çarp!

Cevap: $x_1 = 5, x_2 = -1$ ✅

 Örnek 3.8: Kesirli Katsayılar (⭐⭐⭐)

Soru: $(1/2)x^2 + (3/2)x - 1 = 0$

Çözüm:

Yöntem 1: Önce Tam Sayı Yap (Önerilen!)

Neden bu yöntem daha iyi?

- Kesirli hesaplar hata riski arttırır

- Tam sayı katsayılarla işlem daha hızlı

- Diskriminant daha kolay hesaplanır

Adım 1: 2 ile çarp (payda ortak 2)

$$

\begin{aligned}

2 \times [(1/2)x^2 + (3/2)x - 1] &= 0 \\

x^2 + 3x - 2 &= 0

\end{aligned}

$$

Adım 2: Formül uygula

$$

\begin{aligned}

a = 1, \quad b = 3, \quad c &= -2 \\

\Delta = 9 - 4(1)(-2) = 9 + 8 &= 17 \\

x = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}

\end{aligned}

$$

Cevap: $x_1 = \frac{-3 + \sqrt{17}}{2}, x_2 = \frac{-3 - \sqrt{17}}{2}$ ✅

TYT İpucu: Kesirli denklem görünce her zaman tam sayıya çevir!

 4. DİSKRİMİNANT (Δ)

 4.1. Diskriminant Nedir?

$$\boxed{\Delta = b^2 - 4ac}$$

Diskriminant:

- Kök sayısını belirler

- Köklerin türünü gösterir

- "Ayırıcı" anlamına gelir

 4.2. Üç Durum

 4.3. Durum I: $\Delta > 0$ (İki Farklı Gerçel Kök)

Kökler:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$$

Özellikler:

- $x_1 \neq x_2$

- Her ikisi de gerçel sayı

- Grafik x-eksenini 2 noktada keser

 Örnek 4.1: $\Delta > 0$ (⭐⭐)

Soru: $x^2 - 3x + 2 = 0$ denkleminin köklerini bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: $\Delta$ hesapla

$$

\begin{aligned}

a = 1, \quad b = -3, \quad c &= 2 \\

\Delta = (-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 &= 1 > 0

\end{aligned}

$$

Sonuç: 2 farklı gerçel kök var!

Adım 2: Kökleri bul

$$

\begin{aligned}

\sqrt{\Delta} &= 1 \\

x_1 = \frac{3 + 1}{2} &= 2 \\

x_2 = \frac{3 - 1}{2} &= 1

\end{aligned}

$$

Cevap: $x_1 = 2, x_2 = 1$ ✅

 4.4. Durum II: $\Delta = 0$ (Çift Kök)

Kök:

$$x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a}$$

Özellikler:

- Tek kök (çakışık iki kök, çift katlı kök)

- Çözüm kümesi bir elemanlı

- Grafik x-eksenine teğet

 Örnek 4.2: $\Delta = 0$ (⭐⭐)

Soru: $x^2 - 6x + 9 = 0$ denkleminin köklerini bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: $\Delta$ hesapla

$$

\begin{aligned}

a = 1, \quad b = -6, \quad c &= 9 \\

\Delta = (-6)^2 - 4(1)(9) = 36 - 36 &= 0

\end{aligned}

$$

Sonuç: Çift kök var!

Adım 2: Kökü bul

$$x = \frac{-b}{2a} = \frac{6}{2} = 3$$

Alternatif: Tam kare fark et!

$$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 = 0 \implies x = 3$$

Cevap: $x = 3$ (çift kök) ✅

 Örnek 4.3: Çift Kök İçin Parametre Bulma (⭐⭐⭐)

Soru: $x^2 - kx + 2k = 0$ denkleminin eşit iki kökü olduğuna göre, $k$'nın alabileceği farklı değer sayısını bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: Çift kök şartı

$$\Delta = 0 \implies b^2 - 4ac = 0$$

Adım 2: Yerlerine yaz

$$

\begin{aligned}

a = 1, \quad b = -k, \quad c &= 2k \\

(-k)^2 - 4(1)(2k) &= 0 \\

k^2 - 8k &= 0 \\

k(k - 8) &= 0

\end{aligned}

$$

Adım 3: Çöz

$$k = 0 \quad \text{veya} \quad k = 8$$

Adım 4: Kontrol

$k = 0$:

$$x^2 + 0 = 0 \rightarrow x = 0 \quad (\text{çift kök}) \quad ✓$$

$k = 8$:

$$x^2 - 8x + 16 = 0 \rightarrow (x - 4)^2 = 0 \rightarrow x = 4 \quad (\text{çift kök}) \quad ✓$$

Cevap: 2 farklı $k$ değeri (0 ve 8) ✅

 4.5. Durum III: $\Delta < 0$ (Gerçel Kök Yok)

Özellikler:

- Gerçel kök yok

- Karmaşık kökler var ($a \pm bi$)

- Çözüm kümesi (gerçel sayılarda): Ç = $\emptyset$

- Grafik x-eksenini kesmez

 Örnek 4.4: $\Delta < 0$ (⭐⭐)

Soru: $x^2 + 2x + 5 = 0$ denkleminin gerçel kökleri var mı?

Çözüm:

Adım 1: $\Delta$ hesapla

$$

\begin{aligned}

a = 1, \quad b = 2, \quad c &= 5 \\

\Delta = 2^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 &= -16 < 0

\end{aligned}

$$

Sonuç: Gerçel kök YOK! ✅

Cevap: Ç = $\emptyset$ (gerçel sayılarda)

Not: Karmaşık kökleri:

$$x = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$$

 Örnek 4.5: Reel Kök Olmaması İçin Aralık (⭐⭐⭐)

Soru: $x^2 - 6x + 2n + 1 = 0$ denkleminin reel köklerinin olmaması için $n$'nin hangi aralıkta olması gerekir?

Çözüm:

Adım 1: Reel kök yok şartı

$$\Delta < 0$$

Adım 2: $\Delta$'yı yaz

$$

\begin{aligned}

a = 1, \quad b = -6, \quad c &= 2n + 1 \\

\Delta = (-6)^2 - 4(1)(2n + 1) &= 36 - 8n - 4 \\

\Delta &= 32 - 8n

\end{aligned}

$$

Adım 3: Eşitsizliği çöz

$$

\begin{aligned}

32 - 8n &< 0 \\

-8n &< -32 \\

n &> 4 \quad (\text{Dikkat: -8'e bölerken işaret değişir!})

\end{aligned}

$$

Cevap: $n \in (4, +\infty)$ veya $n > 4$ ✅

Kontrol:

- $n = 5: \Delta = 32 - 40 = -8 < 0$ ✓

- $n = 3: \Delta = 32 - 24 = 8 > 0$ (kök var) ✓

 4.6. Diskriminant Özet Tablosu

 5. SİMETRİK KÖKLER

 5.1. Tanım

$ax^2 + bx + c = 0$ denkleminde,

Şartlar:

1. $a \neq 0$

2. $b = 0$ (x terimi yok)

3. $a$ ve $c$ zıt işaretli ($a \cdot c < 0$)

ise denklemin simetrik iki reel kökü vardır.

Özellik: 

$$\boxed{x_2 = -x_1 \quad \text{veya} \quad x_1 + x_2 = 0}$$

 5.2. Simetrik Kök Nasıl Anlaşılır?

 5.3. Örnek 5.1: Simetrik Kök Bulma (⭐⭐)

Soru: $mx^2 - (m^2 - m)x - 1 = 0$ denkleminin simetrik iki reel kökü olduğuna göre, kökler çarpımını bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: Simetrik kök şartı

$$x_1 + x_2 = 0 \rightarrow -b/a = 0 \rightarrow b = 0$$

Adım 2: $b = 0$ koşulu

$$

\begin{aligned}

-(m^2 - m) &= 0 \\

m^2 - m &= 0 \\

m(m - 1) &= 0 \\

m = 0 \quad \text{veya} \quad m &= 1

\end{aligned}

$$

Adım 3: $m = 0$ kontrolü

$$0 \cdot x^2 - 0 \cdot x - 1 = 0 \rightarrow -1 = 0 \quad ✗ \quad (\text{Denklem yok!})$$

Adım 4: $m = 1$ için

$$

\begin{aligned}

x^2 - 1 &= 0 \\

(x - 1)(x + 1) &= 0 \\

x_1 = 1, \quad x_2 &= -1 \quad ✓ \quad (\text{Simetrik!})

\end{aligned}

$$

Adım 5: Çarpım

$$x_1 \cdot x_2 = 1 \cdot (-1) = -1$$

veya Vieta'dan:

$$x_1 \cdot x_2 = c/a = -1/1 = -1$$

Cevap: -1 ✅

✓ Kontrol:

- $x_1 + x_2 = 1 + (-1) = 0$ ✓ (Simetrik)

- $a \cdot c = 1 \cdot (-1) = -1 < 0$ ✓ (Zıt işaretli)

 5.4. Örnek 5.2: Parametrik Simetrik Kök (⭐⭐⭐)

Soru: $2x^2 + kx - 8 = 0$ denkleminin simetrik kökleri olması için $k$ kaç olmalıdır?

Çözüm:

Adım 1: Simetrik şartı

$$b = 0 \rightarrow k = 0$$

Adım 2: $k = 0$ için kontrol

$$

\begin{aligned}

2x^2 - 8 &= 0 \\

2x^2 &= 8 \\

x^2 &= 4 \\

x &= \pm 2 \quad ✓ \quad (\text{Simetrik!})

\end{aligned}

$$

Adım 3: $a \cdot c < 0$ kontrolü

$$

\begin{aligned}

a &= 2 \quad (\text{pozitif}) \\

c &= -8 \quad (\text{negatif}) \\

a \cdot c &= -16 < 0 \quad ✓

\end{aligned}

$$

Cevap: $k = 0$ ✅

 5.5. Örnek 5.3: Simetrik Kök Özellikleri (⭐⭐⭐)

Soru: $3x^2 - 12 = 0$ denkleminin kökleri simetrik mi? Bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: Şartları kontrol et

$b = 0$?

$$b = 0 \quad ✓ \quad (\text{x terimi yok})$$

$a \cdot c < 0$?

$$

\begin{aligned}

a &= 3 \quad (\text{pozitif}) \\

c &= -12 \quad (\text{negatif}) \\

a \cdot c &= -36 < 0 \quad ✓

\end{aligned}

$$

Sonuç: Simetrik kökler var!

Adım 2: Kökleri bul

$$

\begin{aligned}

3x^2 &= 12 \\

x^2 &= 4 \\

x &= \pm 2

\end{aligned}

$$

Adım 3: Kontrol

$$

\begin{aligned}

x_1 + x_2 &= 2 + (-2) = 0 \quad ✓ \\

x_2 &= -x_1 \quad ✓

\end{aligned}

$$

Cevap: Evet, simetrik. Kökler: $x = \pm 2$ ✅

 5.6. Simetrik Kökler Püf Noktaları

TYT İpucu: 

- Simetrik kök sorusu görünce ilk kontrol $b = 0$!

- $ax^2 + c = 0$ formundaysa hemen simetrik!

- Kökler çarpımı: $x_1 \cdot x_2 = c/a$ (negatif olur)

 6. ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

 6.1. Örnek: Karma Çözüm (⭐⭐⭐)

Soru: $6x^2 + 5x - 4 = 0$ denklemini en az iki yöntemle çözünüz.

Çözüm:

YÖNTEM 1: Çarpanlarına Ayırma

Adım 1: $a \cdot c$ çarpımı

$$a \cdot c = 6 \times (-4) = -24$$

Adım 2: Toplamı 5, çarpımı -24 olan sayılar

$$8 + (-3) = 5 \quad ✓$$

$$8 \times (-3) = -24 \quad ✓$$

Adım 3: Ortayı parçala

$$6x^2 + 8x - 3x - 4 = 0$$

Adım 4: Grupla

$$

\begin{aligned}

2x(3x + 4) - 1(3x + 4) &= 0 \\

(3x + 4)(2x - 1) &= 0

\end{aligned}

$$

Adım 5: Çöz

$$

\begin{aligned}

3x + 4 = 0 &\rightarrow x_1 = -4/3 \\

2x - 1 = 0 &\rightarrow x_2 = 1/2

\end{aligned}

$$

YÖNTEM 2: Formül

Adım 1: Katsayılar

$$a = 6, \quad b = 5, \quad c = -4$$

Adım 2: $\Delta$ hesapla

$$

\begin{aligned}

\Delta &= 5^2 - 4(6)(-4) = 25 + 96 = 121 \\

\sqrt{\Delta} &= 11

\end{aligned}

$$

Adım 3: Formül

$$

\begin{aligned}

x &= \frac{-5 \pm 11}{12} \\[0.5em]

x_1 &= \frac{-5 + 11}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \\

x_2 &= \frac{-5 - 11}{12} = \frac{-16}{12} = \frac{-4}{3}

\end{aligned}

$$

Cevap: $x_1 = 1/2, x_2 = -4/3$ ✅

Her iki yöntem aynı sonucu verdi!

 6.2. Örnek: Standart Forma Getirme (⭐⭐)

Soru: $(x + 2)(x - 3) = 6$ denklemini çözünüz.

Çözüm:

❌ YANLIŞ:

$$

\begin{aligned}

x + 2 = 6 &\rightarrow x = 4 \\

x - 3 = 6 &\rightarrow x = 9

\end{aligned}

$$

Neden yanlış? Çarpım 6, her biri 6 değil!

✓ DOĞRU:

Adım 1: Çarpımı aç

$$

\begin{aligned}

x^2 - 3x + 2x - 6 &= 6 \\

x^2 - x - 6 &= 6

\end{aligned}

$$

Adım 2: Standart form

$$x^2 - x - 12 = 0$$

Adım 3: Çarpanlarına ayır

$$(x - 4)(x + 3) = 0$$

Adım 4: Çöz

$$x_1 = 4, \quad x_2 = -3$$

Cevap: $x_1 = 4, x_2 = -3$ ✅

✓ Kontrol:

- $x = 4: (4+2)(4-3) = 6 \cdot 1 = 6$ ✓

- $x = -3: (-3+2)(-3-3) = (-1) \cdot (-6) = 6$ ✓

 6.3. Örnek: Polinom Çarpımı (⭐⭐)

Soru: $(x^2 - 4)(x^2 + x - 2) = 0$ denklemini çözünüz.

Çözüm:

Adım 1: Her çarpanı sıfıra eşitle

Çarpan 1:

$$

\begin{aligned}

x^2 - 4 &= 0 \\

x^2 &= 4 \\

x &= \pm 2

\end{aligned}

$$

Çarpan 2:

$$

\begin{aligned}

x^2 + x - 2 &= 0 \\

(x + 2)(x - 1) &= 0 \\

x = -2 \quad \text{veya} \quad x &= 1

\end{aligned}

$$

Adım 2: Tüm kökleri topla

$$x = 2, -2, -2, 1$$

Adım 3: Tekrarlananları birleştir

$$

\begin{aligned}

x &= -2 \quad (\text{iki kez}) \\

x &= 1 \\

x &= 2

\end{aligned}

$$

Cevap: Ç = $\{-2, 1, 2\}$ ✅

- Not: $x = -2$ çift köktür (her iki çarpanda da var)

 6.4. Örnek: Kesirli Denklem (⭐⭐⭐)

Soru: $x/2 + 2/x = 5/2$ denklemini çözünüz.

Çözüm:

Adım 1: Paydaları ortaklaştır ($2x$)

$$\frac{x^2}{2x} + \frac{4}{2x} = \frac{5x}{2x}$$

Adım 2: Payları eşitle

$$x^2 + 4 = 5x$$

Adım 3: Standart form

$$x^2 - 5x + 4 = 0$$

Adım 4: Çarpanlarına ayır

$$(x - 1)(x - 4) = 0$$

Adım 5: Çöz

$$x_1 = 1, \quad x_2 = 4$$

Adım 6: Payda kontrol ($x \neq 0$)

$$Her iki kök de x \neq 0 \quad ✓$$

Cevap: $x_1 = 1, x_2 = 4$ ✅

✓ Kontrol:

- $x = 1: 1/2 + 2/1 = 1/2 + 4/2 = 5/2$ ✓

- $x = 4: 4/2 + 2/4 = 2 + 1/2 = 5/2$ ✓

 6.5. Örnek: Parametrik Denklem (⭐⭐⭐)

Soru: $mx^2 + (2m - 3)x + (m - 2) = 0$ denkleminin bir kökü 1 olduğuna göre, $m$'yi ve diğer kökü bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: $x = 1$'i denklemde yerine koy

$$

\begin{aligned}

m(1)^2 + (2m - 3)(1) + (m - 2) &= 0 \\

m + 2m - 3 + m - 2 &= 0 \\

4m - 5 &= 0 \\

m &= 5/4

\end{aligned}

$$

Adım 2: $m = 5/4$ için denklemi yaz

$$

\begin{aligned}

(5/4)x^2 + (2 \cdot 5/4 - 3)x + (5/4 - 2) &= 0 \\

(5/4)x^2 + (5/2 - 3)x + (5/4 - 8/4) &= 0 \\

(5/4)x^2 - (1/2)x - (3/4) &= 0

\end{aligned}

$$

Adım 3: 4 ile çarp (tam sayı yap)

$$5x^2 - 2x - 3 = 0$$

Adım 4: Çarpanlarına ayır veya Vieta kullan

Vieta:

$$

\begin{aligned}

x_1 + x_2 &= -b/a = 2/5 \\

1 + x_2 &= 2/5 \\

x_2 &= 2/5 - 1 = 2/5 - 5/5 = -3/5

\end{aligned}

$$

Cevap: $m = 5/4$, diğer kök: $x = -3/5$ ✅

 7. HIZLI REFERANS KARTI

 7.1. Formüller Özeti

 7.2. Hangi Yöntemi Ne Zaman?

 7.3. Hızlı Karar Tablosu

 8. PÜF NOKTALARI

 8.1. Hızlı Çözüm Teknikleri

1. Başkatsayı 1 ise → Çarpan dene

$$

\begin{aligned}

x^2 - 8x + 15 &= 0 \\

\text{Toplamı 8, çarpımı 15: } & 3 \text{ ve } 5 \\

(x - 3)(x - 5) &= 0

\end{aligned}

$$

2. Negatif başkatsayı → (-1) ile çarp

$$

\begin{aligned}

-2x^2 + 6x - 4 &= 0 \\

\rightarrow 2x^2 - 6x + 4 &= 0 \\

\rightarrow x^2 - 3x + 2 &= 0

\end{aligned}

$$

3. Kesirli katsayı → Tam sayıya çevir

$$

\begin{aligned}

(1/3)x^2 - x + 2 &= 0 \\

\rightarrow x^2 - 3x + 6 &= 0

\end{aligned}

$$

4. Tam kare fark et

$$

\begin{aligned}

x^2 - 10x + 25 &= 0 \\

\rightarrow (x - 5)^2 &= 0 \\

\rightarrow x &= 5

\end{aligned}

$$

5. $a \cdot c$ negatif → Zıt işaretli kökler

$$

\begin{aligned}

x^2 - 3x - 4 &= 0 \\

a \cdot c = 1 \cdot (-4) &= -4 < 0 \\

\rightarrow \text{Kökler zıt işaretli } & (1 \text{ ve } -4)

\end{aligned}

$$

 8.2. Kontrol Stratejileri

Kök bulduktan sonra:

Yöntem 1: Denklemde yerine koy

$$x^2 - 5x + 6 = 0 \rightarrow x = 2$$

$$\text{Kontrol: } 4 - 10 + 6 = 0 \quad ✓$$

Yöntem 2: Vieta formüllerini kullan

$$x_1 = 2, \quad x_2 = 3$$

$$\text{Toplam: } 2 + 3 = 5 = -b/a = 5 \quad ✓$$

$$\text{Çarpım: } 2 \times 3 = 6 = c/a = 6 \quad ✓$$

Yöntem 3: Diskriminant kontrol

$$\Delta > 0 \rightarrow 2 \text{ farklı kök olmalı} \quad ✓$$

 8.3. Zaman Kazanma İpuçları

 9. YAYGIN HATALAR

 9.1. En Sık Yapılan 10 Hata

 9.2. Dikkat Edilmesi Gerekenler

Formül Kullanımında:

❌ $x = -b ± √Δ / 2a$

✅ $x = (-b ± √Δ) / 2a$

Neden? Parantez önemli:

$-3 + 4 / 2 = -3 + 2 = -1$ ❌

$(-3 + 4) / 2 = 1 / 2$ ✅

İşaret Hatası:

❌ $b² - 4ac → (-3)² = -9$

✅ $(-3)² = 9$

Neden? $(-3)² = (-3)·(-3) = +9$

Çarpanlarına Ayırmada:

❌ $x² - 5x + 6 = (x-2)(x-3) → x = 2, 3$

Ama kontrol: $2+3 = 5$ ❌ (Olmalı $-5/1 = -5$)

✅ $(x-2)(x-3)$ → $x₁+x₂ = 2+3 = 5$ ✓