PROBLEM TİPLERİ VE STRATEJİLER

 EBOB Problemleri

Ne zaman EBOB kullanılır?

- Bölme, paylaştırma problemleri

- Ortak ölçü bulma

- En büyük parça, grup büyüklüğü

- Düzenli aralıklarda kesme, bölme

 EKOK Problemleri 

Ne zaman EKOK kullanılır?

- Bir araya gelme, buluşma problemleri

- Döngüsel olaylar

- Ortak katlar

- En küçük ortak zaman/miktar

 Problem Çözme Şeması:

EBOB PROBLEMLERİ

 Tip 1: Paylaştırma Problemleri

 Örnek 1: Eşit Gruplara Ayırma

Soru: $72$ elma, $96$ armut ve $84$ portakal eşit sayıda çocuğa paylaştırılacak. En çok kaç çocuğa paylaştırılabilir?

Çözüm:

Her çocuk eşit sayıda meyve alacağından, çocuk sayısı her meyve türünün sayısını bölebilmelidir.

$\text{EBOB}(72, 96, 84)$ bulalım:

$72 = 2^3 \times 3^2$

$96 = 2^5 \times 3$ 

$84 = 2^2 \times 3 \times 7$

$\text{EBOB}(72, 96, 84) = 2^2 \times 3 = 12$

Sonuç: En çok $12$ çocuğa paylaştırılabilir.

- Her çocuk: $6$ elma, $8$ armut, $7$ portakal alır.

 Örnek 2: Kesme Problemi

Soru: $180$ cm, $240$ cm ve $300$ cm uzunluğundaki üç ip eşit boyda parçalara kesilecek. En uzun parça kaç cm olabilir?

Çözüm:

En uzun parça uzunluğu = $\text{EBOB}(180, 240, 300)$

$180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$

$240 = 2^4 \times 3 \times 5$

$300 = 2^2 \times 3 \times 5^2$

$\text{EBOB}(180, 240, 300) = 2^2 \times 3 \times 5 = 60$

Sonuç: En uzun parça $60$ cm olabilir.

 Tip 2: Ortak Ölçü Problemleri

 Örnek 3: Döşeme Problemi

Soru: $120$ cm × $150$ cm boyutlarındaki dikdörtgen zemin, kare karolarla döşenecek. Karo boyutu en büyük kaç cm olabilir?

Çözüm:

Kare karo boyutu hem $120$'yi hem $150$'yi bölebilmelidir.

$\text{EBOB}(120, 150) = ?$

$120 = 2^3 \times 3 \times 5$

$150 = 2 \times 3 \times 5^2$

$\text{EBOB}(120, 150) = 2 \times 3 \times 5 = 30$

Sonuç: En büyük karo boyutu $30$ cm × $30$ cm'dir.

 EKOK PROBLEMLERİ

 Tip 1: Buluşma/Döngü Problemleri

 Örnek 4: Zaman Döngüsü

Soru: Ahmet her $12$ günde, Mehmet her $18$ günde, Ayşe her $20$ günde bir aynı yere gidiyor. Bugün üçü de aynı yerde buluştular. Kaç gün sonra tekrar buluşacaklar?

Çözüm:

Tekrar buluşma zamanı = $\text{EKOK}(12, 18, 20)$

$12 = 2^2 \times 3$

$18 = 2 \times 3^2$

$20 = 2^2 \times 5$

$\text{EKOK}(12, 18, 20) = 2^2 \times 3^2 \times 5 = 180$

Sonuç: $180$ gün sonra tekrar buluşacaklar.

 Örnek 5: Trafik Işığı Problemi

Soru: Bir kavşaktaki kırmızı ışık $45$ saniye, sarı ışık $5$ saniye, yeşil ışık $40$ saniye yanıyor. Başlangıçta üçü de aynı anda başlıyorsa, kaç saniye sonra tekrar aynı anda başlarlar?

Çözüm:

- Kırmızı ışık periyodu: $45$ saniye

- Sarı ışık periyodu: $5$ saniye 

- Yeşil ışık periyodu: $40$ saniye

$\text{EKOK}(45, 5, 40) = ?$

$45 = 3^2 \times 5$

$5 = 5$

$40 = 2^3 \times 5$

$\text{EKOK}(45, 5, 40) = 2^3 \times 3^2 \times 5 = 360$

Sonuç: $360$ saniye = $6$ dakika sonra tekrar aynı anda başlarlar.

 Tip 2: Ortak Kat Problemleri

 Örnek 6: Ambalaj Problemi

Soru: Bir fabrikada $24$'lü, $36$'lı ve $40$'lı paketler üretiliyor. Bu paketlerin her birinden eşit sayıda olmak üzere en az kaç tane alınmalı ki toplam ürün sayısı aynı olsun?

Çözüm:

Her paketten $x$ tane alınırsa:

- $24x$ ürün ($24$'lü paketlerden)

- $36x$ ürün ($36$'lı paketlerden) 

- $40x$ ürün ($40$'lı paketlerden)

Bu sayıların eşit olması için $x = \frac{\text{EKOK}(24,36,40)}{24} = \frac{\text{EKOK}(24,36,40)}{36} = \frac{\text{EKOK}(24,36,40)}{40}$

$\text{EKOK}(24, 36, 40) = ?$

$24 = 2^3 \times 3$

$36 = 2^2 \times 3^2$

$40 = 2^3 \times 5$

$\text{EKOK}(24, 36, 40) = 2^3 \times 3^2 \times 5 = 360$

Her paketten:

- $24$'lü paketlerden: $\frac{360}{24} = 15$ adet

- $36$'lı paketlerden: $\frac{360}{36} = 10$ adet

- $40$'lı paketlerden: $\frac{360}{40} = 9$ adet

 KARMAŞIK PROBLEMLER

 Örnek 7: Kombine EBOB-EKOK

Soru: İki sayının EBOB'u $18$, EKOK'u $540$'tır. Bu sayılardan biri $90$ ise diğeri kaçtır?

Çözüm:

$\text{EBOB}(a,b) \times \text{EKOK}(a,b) = a \times b$ özelliğini kullanalım.

$18 \times 540 = 90 \times b$

$9720 = 90 \times b$

$b = 108$

Kontrol:

$\text{EBOB}(90, 108) = \text{EBOB}(2 \times 3^2 \times 5, 2^2 \times 3^3) = 2 \times 3^2 = 18$ ✓

$\text{EKOK}(90, 108) = 2^2 \times 3^3 \times 5 = 540$ ✓

 Örnek 8: Zaman ve Hareket

Soru: Ali'nin evden okula gitmesi $20$ dakika, Veli'nin $30$ dakika sürüyor. Sabah 8:00'de aynı anda evden çıkıyorlar. İlk defa ne zaman aynı anda evde olacaklar?

Çözüm:

Ali'nin bir gidiş-dönüş süresi: $2 \times 20 = 40$ dakika

Veli'nin bir gidiş-dönüş süresi: $2 \times 30 = 60$ dakika

İkisi de aynı anda evde olma zamanı: $\text{EKOK}(40, 60) = 120$ dakika = $2$ saat

Sonuç: Saat 10:00'da aynı anda evde olacaklar.

 Örnek 9: Üretim Planlaması

Soru: Bir fabrikada A makinesi $8$ saatte, B makinesi $12$ saatte, C makinesi $15$ saatte birer ürün üretiyor. Aynı anda üretime başlıyorlar. İlk defa ne zaman üçü de aynı anda ürünü tamamlayacak?

Çözüm:

$\text{EKOK}(8, 12, 15) = ?$

$8 = 2^3$

$12 = 2^2 \times 3$

$15 = 3 \times 5$

$\text{EKOK}(8, 12, 15) = 2^3 \times 3 \times 5 = 120$ saat

Sonuç: $120$ saat = $5$ gün sonra üçü de aynı anda ürünü tamamlayacak.

 Örnek 10: Geometri Uygulaması

Soru: Kenar uzunlukları $24$ cm, $32$ cm olan dikdörtgen, eşit kare parçalara bölünecek. En az kaç kare parçaya bölünebilir?

Çözüm:

En büyük kare boyutu = $\text{EBOB}(24, 32) = 8$ cm

Dikdörtgen boyutları: $24 \times 32$ cm

Kare boyutu: $8 \times 8$ cm

Kare sayısı = $\frac{24 \times 32}{8 \times 8} = \frac{768}{64} = 12$

Sonuç: En az $12$ kare parçaya bölünebilir.

 PROBLEMLERİ ÇÖZME STRATEJİLERİ

 🎯 Strateji 1: Anahtar Kelimeler

- EBOB: "en büyük", "en çok", "eşit gruplara", "paylaştırma"

- EKOK: "en küçük", "en az", "ilk defa", "aynı anda", "buluşma"

 🎯 Strateji 2: Problem Analizi

1. Neyi arıyoruz? (En büyük mü, en küçük mü?)

2. Hangi sayılar veriliyor?

3. Aralarındaki ilişki ne?

 🎯 Strateji 3: Kontrol Etme

Bulunan sonucun mantıklı olup olmadığını kontrol edin.

 🎯 Strateji 4: Birim Kontrolü

Zaman problemlerinde dakika/saat/gün birimlerine dikkat edin.

 YAYGIN HATALAR

 ❌ Hata 1: EBOB-EKOK Karışıklığı

Yanlış: Buluşma probleminde EBOB kullanmak

Doğru: Buluşma probleminde EKOK kullanmak

 ❌ Hata 2: Birim Hatası

Yanlış: Farklı birimleri karıştırmak (dakika-saat)

Doğru: Aynı birime çevirerek hesaplama

 ❌ Hata 3: Yanlış İlişki

Yanlış: Çoklu sayılarda $\text{EBOB} \times \text{EKOK} = $ çarpım

Doğru: Bu sadece iki sayı için geçerli

 EK ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

 Örnek 11: Kompleks Zaman Problemi

Soru: Üç otobüs terminali A'dan sırasıyla her $15$, $20$ ve $25$ dakikada bir kalkıyor. Saat 9:00'da üçü de kalktı. Saat kaçta tekrar üçü de aynı anda kalkacak?

Çözüm:

$\text{EKOK}(15, 20, 25) = ?$

$15 = 3 \times 5$

$20 = 2^2 \times 5$

$25 = 5^2$

$\text{EKOK}(15, 20, 25) = 2^2 \times 3 \times 5^2 = 300$ dakika = $5$ saat

Sonuç: $9:00 + 5:00 = 14:00$'te tekrar üçü de aynı anda kalkacak.

 Örnek 12: Çoklu Koşul Problemi

Soru: Pozitif iki tam sayının toplamı $85$, EBOB'u $5$'tir. Bu sayıları bulunuz.

Çözüm:

İki sayı $5x$ ve $5y$ olsun ($\gcd(x,y) = 1$)

$5x + 5y = 85$

$5(x + y) = 85$

$x + y = 17$

$x$ ve $y$ aralarında asal ve toplamları $17$ olan çiftler:

$(1,16), (2,15), (3,14), (4,13), (5,12), (6,11), (7,10), (8,9)$

Aralarında asal olanlar:

- $\gcd(1,16) = 1$ ✓ → Sayılar: $(5, 80)$

- $\gcd(2,15) = 1$ ✓ → Sayılar: $(10, 75)$

- $\gcd(3,14) = 1$ ✓ → Sayılar: $(15, 70)$

- $\gcd(4,13) = 1$ ✓ → Sayılar: $(20, 65)$

- $\gcd(5,12) = 1$ ✓ → Sayılar: $(25, 60)$

- $\gcd(6,11) = 1$ ✓ → Sayılar: $(30, 55)$

- $\gcd(7,10) = 1$ ✓ → Sayılar: $(35, 50)$

- $\gcd(8,9) = 1$ ✓ → Sayılar: $(40, 45)$

Sonuç: Sekiz farklı çözüm vardır.

 SONUÇ

🎉 TEBRİKLER! 

AYT Matematik "EBOB - EKOK" ünitesi tamamlanmıştır!

 Tamamlanan Konular:

1. ✅ EBOB-EKOK Kavramı ve EBOB-EKOK Bulma Yöntemleri

2. ✅ EBOB-EKOK Yardımıyla Çözülebilen Problemler

EBOB-EKOK kavramları, matematik problemlerinin çözümünde güçlü araçlardır. Bu kavramlar özellikle sayı teorisi, zaman problemleri ve pratik uygulamalarda sıklıkla kullanılır.