A. BAĞIMSIZ OLAYLAR

 1. Tanım - Bağımsız Olaylar

Tanım: İki olay A ve B bağımsızdır, eğer A'nın gerçekleşmesi B'nin olasılığını etkilemiyorsa.

Matematiksel Şartlar:

Şart 1:

$$P(A|B) = P(A)$$

Şart 2:

$$P(B|A) = P(B)$$

Şart 3:

$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$

Not: Üç şart da birbirine eşdeğerdir. Biri doğruysa hepsi doğrudur.

2. Bağımsız Olayların Çarpma Kuralı

İki Olay:

$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$

Üç Olay:

$$P(A \cap B \cap C) = P(A) \times P(B) \times P(C)$$

n Olay:

$$P(A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_n) = P(A_1) \times P(A_2) \times ... \times P(A_n)$$

Anlamı: "Her ikisi de" veya "Hepsi" gerçekleşme olasılığı = Olasılıkların çarpımı

 3. Bağımsız Olayların Özellikleri

Özellik 1: Ard Arda Denemeler

- Sonuç geri konuyorsa (replacement)

- Her deneme yeni baştan başlıyorsa

- Örnek uzay değişmiyorsa

Özellik 2: İlişkisiz Olaylar

- Tamamen farklı deneyler

- Birinin sonucu diğerini etkilemez

- Örnek: Para + Zar (aynı anda atılıyor)

Özellik 3: Kontrol Mekanizması

Bağımsızlık testi:

$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \quad \Rightarrow \text{Bağımsız} \checkmark$$

$$P(A \cap B) \neq P(A) \times P(B) \quad \Rightarrow \text{Bağımlı} \checkmark$$

 4. Bağımsız Olaylar Örnekleri

 B. BAĞIMLI OLAYLAR

 1. Tanım - Bağımlı Olaylar

Tanım: İki olay A ve B bağımlıdır, eğer A'nın gerçekleşmesi B'nin olasılığını değiştiriyorsa.

Matematiksel Şartlar:

Şart 1:

$$P(A|B) \neq P(A)$$

Şart 2:

$$P(A \cap B) \neq P(A) \times P(B)$$

 2. Bağımlı Olaylarda Örnek Uzay Değişimi

Senaryo 1: Geri Koymadan Çekme

Torbada: 5 top (3 kırmızı, 2 mavi)

1. Çekme:

   - Toplam: 5 top

   - P(Kırmızı) = 3/5

2. Çekme (1. kırmızı çekildi):

   - Toplam: 4 top (kalan)

   - Kırmızı: 2 (kalan)

   - P(Kırmızı | 1. Kırmızı) = 2/4 = 1/2

Dikkat: Örnek uzay değişti! 5 → 4

Görselleştirme:

Senaryo 2: Koşullu Durum (Tablo)

Toplam 100 kişi:

P(Uzun) = 65/100 = 0.65

P(Uzun | Erkek) = 45/60 = 0.75

Fark var! → Bağımlı

 3. Bağımlı Olaylarda Çarpma Kuralı

Genel Çarpma Kuralı:

$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)$$

Başka yazılış:

$$P(\text{Her ikisi}) = P(\text{Birinci}) \times P(\text{İkinci | Birinci olmuş})$$

Örnek:

Torbada: 3 kırmızı, 2 mavi top (Geri koymadan)

$$P(\text{1. Kırmızı, 2. Mavi}) = P(K) \times P(M|K)$$

$$= \frac{3}{5} \times \frac{2}{4}$$

$$= \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$$

 4. Bağımlı Olaylar Örnekleri

 C. KOŞULLU OLASILIK (CONDITIONAL PROBABILITY)

 1. Tanım - Koşullu Olasılık

Tanım: B olayının gerçekleştiği bilindiğinde (veya varsayıldığında), A olayının olasılığı.

Sembol:

$$P(A|B)$$

Okunuş: "B verildiğinde A'nın olasılığı" veya "B koşulu altında A'nın olasılığı"

Formül:

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \quad (P(B) > 0)$$

Mantık:

- Eski örnek uzay: S (tüm sonuçlar)

- Yeni örnek uzay: B (sadece B'deki sonuçlar)

- Olay: A ∩ B (hem A hem B'de olan sonuçlar)

 2. Koşullu Olasılık Yorumu

Görsel Açıklama:
 

 3. Koşullu Olasılık Örneği - Zar Atışı

Soru: Bir zar atıldı. Sonucun 2'den büyük olduğu biliniyor. Çift sayı olma olasılığı nedir?

Çözüm:

Adım 1: Olayları tanımla

- S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

- B = "Sonuç > 2" = {3, 4, 5, 6}

- A = "Çift sayı" = {2, 4, 6}

Adım 2: Kesişimi bul

$$A \cap B = \{4, 6\}$$

Adım 3: Koşullu olasılık (Sayma yöntemi)

$$P(A|B) = \frac{|A \cap B|}{|B|} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Adım 4: Kontrol (Formül yöntemi)

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{2/6}{4/6} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ ✓

Cevap: 1/2 ✓

Yorumlama: B gerçekleştikten sonra örnek uzay {3,4,5,6} oldu, bunların 2'si çift.

 4. Koşullu Olasılık Özellikleri

Özellik 1: Sayma Formülü

$$P(A|B) = \frac{|A \cap B|}{|B|}$$

Özellik 2: Tamamlayıcı

$$P(A'|B) = 1 - P(A|B)$$

Özellik 3: Çarpma Kuralı (Türetme)

$$P(A \cap B) = P(B) \times P(A|B) = P(A) \times P(B|A)$$

Özellik 4: Simetri Yok

$$P(A|B) \neq P(B|A) \quad \text{(Genellikle)}$$

Örnek:

- P(Hasta | Test+) ≠ P(Test+ | Hasta)

- P(Uzun | Erkek) ≠ P(Erkek | Uzun)

Özellik 5: Aralık

$$0 \leq P(A|B) \leq 1$$

 D. TOPLAM OLASILIK KURALI (LAW OF TOTAL PROBABILITY)

 1. Tanım ve Formül

Eğer olaylar $B_1, B_2, ..., B_n$ örnek uzayı bölüyorsa (ayrık ve kapsamlı):

Genel Formül:

$$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A|B_i) \times P(B_i)$$

$$P(A) = P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2) + ... + P(A|B_n)P(B_n)$$

Şartlar:

1. Kapsamlı: $B_1 \cup B_2 \cup ... \cup B_n = S$

2. Ayrık: $B_i \cap B_j = \emptyset$ (i ≠ j için)

 2. İki Olay Durumu (En Yaygın)

$$P(A) = P(A|B) \times P(B) + P(A|B') \times P(B')$$

Mantık: A iki farklı yolla gerçekleşebilir:

1. Yol 1: B olmuş ve A olmuş

2. Yol 2: B olmamış (B') ve A olmuş

 3. Ağaç Diyagramı Gösterimi

 4. Toplam Olasılık Örneği - Fabrika

Soru: Bir fabrikada ürünler 3 makinede üretiliyor:

- Makine A: %40 üretim, %2 kusurlu

- Makine B: %35 üretim, %3 kusurlu

- Makine C: %25 üretim, %5 kusurlu

Rastgele seçilen bir ürünün kusurlu olma olasılığı nedir?

Çözüm:

Adım 1: Bilgileri organize et

- $P(A) = 0.4$, $P(\text{Kusur}|A) = 0.02$

- $P(B) = 0.35$, $P(\text{Kusur}|B) = 0.03$

- $P(C) = 0.25$, $P(\text{Kusur}|C) = 0.05$

Adım 2: Toplam Olasılık Kuralı

$$P(\text{Kusur}) = P(\text{Kusur}|A) \times P(A) + P(\text{Kusur}|B) \times P(B) + P(\text{Kusur}|C) \times P(C)$$

Adım 3: Hesapla

$$= 0.02 \times 0.4 + 0.03 \times 0.35 + 0.05 \times 0.25$$

$$= 0.008 + 0.0105 + 0.0125$$

$$= 0.031$$

Cevap: 0.031 = 3.1% ✓

Mantık: Kusur 3 farklı yoldan (her makineden) gelebilir!

 F. DETAYLI ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

 Örnek F.1: Bağımsız Olaylar - İki Para (⭐)

Soru: İki madeni para atılıyor. Her ikisinde de yazı gelme olasılığı nedir?

Çözüm:

Adım 1: Olayları tanımla

- A = "1. Para yazı"

- B = "2. Para yazı"

Adım 2: Bağımsızlık kontrolü

- Para atışları birbirini etkilemez → Bağımsız ✓

Adım 3: Çarpma kuralı (Bağımsız)

$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$

Cevap: 1/4 = 0.25 ✓

 Örnek F.2: Bağımsız Olaylar - İki Zar (⭐)

Soru: Zar iki kez atılıyor. İlk atışta 3, ikinci atışta 4 gelme olasılığı nedir?

Çözüm:

Adım 1: Olaylar

- A = {3}

- B = {4}

Adım 2: Olasılıklar

- $P(A) = \frac{1}{6}$

- $P(B) = \frac{1}{6}$

Adım 3: Çarpma (Bağımsız - zarlar birbirini etkilemez)

$$P(A \cap B) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$$

Cevap: 1/36 ✓

 Örnek F.3: Bağımlı Olaylar - Kart Çekme (⭐⭐)

Soru: 52 kartlık desteden ardışık 2 kart çekiliyor (geri konulmadan). Her iki kart da As olma olasılığı nedir?

Çözüm:

Adım 1: 1. As çekme

$$P(\text{1. As}) = \frac{4}{52}$$

Adım 2: 1. As çektikten sonra 2. As çekme

- Kart sayısı: 52 → 51

- As sayısı: 4 → 3

$$P(\text{2. As | 1. As}) = \frac{3}{51}$$

Adım 3: Her ikisi de As (Bağımlı çarpma)

$$P(\text{Her ikisi As}) = \frac{4}{52} \times \frac{3}{51} = \frac{12}{2652} = \frac{1}{221}$$

Cevap: 1/221 ≈ 0.0045 ✓

Önemli: Örnek uzay değişti (52 → 51) ve As sayısı da (4 → 3)!

 Örnek F.4: Bağımlı Olaylar - Top Torbası (⭐⭐)

Soru: Torbada 3 kırmızı, 2 mavi, 5 yeşil top var. Geri koymadan 2 top çekiliyor. 1. Kırmızı, 2. Mavi gelme olasılığı nedir?

Çözüm:

Adım 1: 1. Kırmızı çekme

$$P(\text{1. Kırmızı}) = \frac{3}{10}$$

Adım 2: 1. Kırmızı çekildikten sonra 2. Mavi çekme

- Toplam: 10 → 9

- Mavi sayısı değişmez: 2

$$P(\text{2. Mavi | 1. Kırmızı}) = \frac{2}{9}$$

Adım 3: Çarpma (Bağımlı)

$$P(\text{1. Kırmızı ve 2. Mavi}) = \frac{3}{10} \times \frac{2}{9} = \frac{6}{90} = \frac{1}{15}$$

Cevap: 1/15 ≈ 0.0667 ✓

 Örnek F.5: Koşullu Olasılık - Tablodan (⭐⭐)

Soru: 100 öğrencinin test sonuçları:

Başarılı olan bir öğrenci seçiliyor. Bu öğrencinin erkek olma olasılığı nedir?

Çözüm:

Adım 1: Semboller

- A = "Başarılı"

- B = "Erkek"

- İstenen: P(Erkek | Başarılı)

Adım 2: Koşullu olasılık formülü

$$P(B|A) = \frac{|A \cap B|}{|A|}$$

Adım 3: Değerleri tabloda bul

- Başarılı ve erkek: 30

- Toplam başarılı: 70

Adım 4: Hesapla

$$P(\text{Erkek | Başarılı}) = \frac{30}{70} = \frac{3}{7} \approx 0.429$$

Cevap: 3/7 ≈ 42.9% ✓

Dikkat: Yeni örnek uzay = "Başarılı" sütunu (70 kişi)!

 Örnek F.6: Toplam Olasılık Kuralı - Fabrika (⭐⭐)

Soru: Bir fabrikada ürünler 3 makinede üretilir:

- Makine A: %40 üretim, %2 kusurlu

- Makine B: %35 üretim, %3 kusurlu

- Makine C: %25 üretim, %5 kusurlu

Rastgele seçilen bir ürünün kusurlu olma olasılığı nedir?

Çözüm:

Adım 1: Bilgileri organize et

- $P(A) = 0.4$, $P(\text{Kusur}|A) = 0.02$

- $P(B) = 0.35$, $P(\text{Kusur}|B) = 0.03$

- $P(C) = 0.25$, $P(\text{Kusur}|C) = 0.05$

Adım 2: Toplam Olasılık Kuralı

$$P(\text{Kusur}) = P(\text{Kusur}|A) \times P(A) + P(\text{Kusur}|B) \times P(B) + P(\text{Kusur}|C) \times P(C)$$

Adım 3: Hesapla

$$= 0.02 \times 0.4 + 0.03 \times 0.35 + 0.05 \times 0.25$$

$$= 0.008 + 0.0105 + 0.0125$$

$$= 0.031$$

Cevap: 0.031 = 3.1% ✓

Mantık: Kusur 3 yoldan oluşabilir (her makineden), hepsini topla!

 Örnek F.7: Bağımsızlık Testi (⭐⭐)

Soru: Bir zar atılıyor. A = "Çift sayı", B = "3'ten büyük". A ve B bağımsız mıdır?

Çözüm:

Adım 1: Olayları yaz

- A = {2, 4, 6}

- B = {4, 5, 6}

- $A \cap B = \{4, 6\}$

Adım 2: Olasılıkları hesapla

- $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

- $P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

- $P(A \cap B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Adım 3: Bağımsızlık testi

$$P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$

$$P(A \cap B) = \frac{1}{3}$$

$$\frac{1}{4} \neq \frac{1}{3}$$

Sonuç: BAĞIMLI (çünkü çarpım eşit değil) ✓

 Örnek F.8: Geri Koyarak vs Koymadan (⭐⭐)

Soru: Torbada 5 beyaz, 3 siyah top var.

a) Geri koyarak 2 top çekiliyor. Her ikisi beyaz olma olasılığı?

b) Geri koymadan 2 top çekiliyor. Her ikisi beyaz olma olasılığı?

Çözüm:

a) Geri Koyarak (Bağımsız):

$$P(\text{Her ikisi beyaz}) = \frac{5}{8} \times \frac{5}{8} = \frac{25}{64}$$

b) Geri Koymadan (Bağımlı):

$$P(\text{Her ikisi beyaz}) = \frac{5}{8} \times \frac{4}{7} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14}$$

Karşılaştırma:

- Geri koyarak: 25/64 ≈ 0.391

- Geri koymadan: 5/14 ≈ 0.357

Geri koymadan olasılık daha düşük! (Çünkü 1. beyaz çekilince toplam beyaz azalır)

 Örnek F.9: Koşullu Olasılık - Zar (⭐⭐)

Soru: Bir zar atıldı. Sonucun tek sayı olduğu biliniyor. 5 gelme olasılığı nedir?

Çözüm:

Adım 1: Olaylar

- B = "Tek sayı" = {1, 3, 5}

- A = "5 geldi" = {5}

Adım 2: Kesişim

$$A \cap B = \{5\}$$

Adım 3: Koşullu olasılık

$$P(A|B) = \frac{|A \cap B|}{|B|} = \frac{1}{3}$$

Cevap: 1/3 ✓

Yorumlama: Tek sayı geldiği biliniyor, yani örnek uzay {1,3,5}, bunların 1'i 5.

 Örnek F.10: Ardışık Bağımlı Çekme (⭐⭐⭐)

Soru: Torbada 4 kırmızı, 3 mavi, 2 yeşil top var. Geri koymadan 3 top çekiliyor. Sırasıyla kırmızı, mavi, yeşil gelme olasılığı nedir?

Çözüm:

Adım 1: 1. Kırmızı

$$P(K) = \frac{4}{9}$$

Adım 2: 2. Mavi (1. kırmızı çekildi)

- Toplam: 9 → 8

- Mavi: 3

$$P(M|K) = \frac{3}{8}$$

Adım 3: 3. Yeşil (1. kırmızı, 2. mavi çekildi)

- Toplam: 8 → 7

- Yeşil: 2

$$P(Y|K,M) = \frac{2}{7}$$

Adım 4: Hepsini çarp (Bağımlı çarpma)

$$P(\text{K, M, Y}) = \frac{4}{9} \times \frac{3}{8} \times \frac{2}{7} = \frac{24}{504} = \frac{1}{21}$$

Cevap: 1/21 ≈ 0.048 ✓

 G. BAĞIMLILIK KARAR AĞACI
 

 H. AĞAÇ DİYAGRAMI ÖRNEKLERİ

 Ağaç Örneği 1: İki Top Çekme (Geri Koymadan)

✍️ Olayın Açıklaması: Geri Koyulmaksızın Ardışık Çekim

Bu diyagram, başlangıçta $\mathbf{3}$ Kırmızı (K) ve $\mathbf{2}$ Mavi (M) olmak üzere toplam $\mathbf{5}$ topun bulunduğu bir torbadan, geri koyulmaksızın art arda iki top çekme deneyini modellemektedir. Bu tür deneyler, olasılık teorisinde bağımlı olayları incelemek için kullanılır, çünkü ilk çekilişin sonucu, ikinci çekilişin olasılıklarını doğrudan etkiler.

• 1. Çekiliş: Torbada 5 top olduğu için, Kırmızı top çekme olasılığı $P(K_1) = 3/5$ ve Mavi top çekme olasılığı $P(M_1) = 2/5$'tir.
• 2. Çekiliş (Koşullu Olasılık): İlk top çekildikten sonra torbada artık $\mathbf{4}$ top kalmıştır. İkinci çekilişin olasılığı, ilk çekilen topun rengine koşullu olarak hesaplanır:
  • Eğer ilk top Kırmızı ise ($K_1$ yolundan devam edilirse), torbada 2 Kırmızı ve 2 Mavi kalır. Bu durumda $P(K_2|K_1) = 2/4$ ve $P(M_2|K_1) = 2/4$ olur.
  • Eğer ilk top Mavi ise ($M_1$ yolundan devam edilirse), torbada 3 Kırmızı ve 1 Mavi kalır. Bu durumda $P(K_2|M_1) = 3/4$ ve $P(M_2|M_1) = 1/4$ olur.

Diyagramın altındaki hesaplamalar (örneğin $P(K,K) = 3/5 \times 2/4$), bu koşullu olasılıkların çarpılmasıyla bileşik olayların (örneğin art arda iki Kırmızı top çekme) nihai olasılığını vermektedir. Tüm bu bileşik olasılıkların toplamı (Kontrol: $20/20$) daima $\mathbf{1}$'e eşit olmalıdır.

 Ağaç Örneği 2: Fabrika Üretimi (Toplam Olasılık)

Bu olasılık ağacı, üç farklı ürün grubundan (A, B ve C) rastgele seçilen bir ürünün kusurlu olma olasılığını göstermektedir.

Her ürün grubunun seçilme olasılığı farklıdır (A için 0.4, B için 0.35, C için 0.25).
Her grup içinde ayrıca ürünün kusurlu (K) veya kusursuz (N) olma olasılığı da farklıdır.
Toplam kusurlu olasılığı, her grubun kendi içindeki kusurlu olasılığının o grubun seçilme olasılığıyla çarpılıp toplanmasıyla elde edilir.

Bu yöntem, toplam olasılık kuralının bir uygulamasıdır ve şu şekilde yorumlanır:
Bir olay birden fazla farklı yoldan gerçekleşebiliyorsa (örneğin farklı ürün türlerinden kusurlu çıkmak), her yolun olasılığı hesaplanır ve bu olasılıklar toplanarak sonuca ulaşılır.

 I. HIZLI REFERANS TABLOSU

 Formüller Özet Tablosu

 Bağımsızlık vs Bağımlılık Karşılaştırma

 J. PÜF NOKTALARI

💡 Bağımsız: Sonuçları direkt çarp

💡 Bağımlı: Koşullu olasılık kullan, örnek uzay değişir

💡 Geri koyma VAR: Bağımsız (örnek uzay aynı)

💡 Geri koyma YOK: Bağımlı (örnek uzay değişir)

💡 Koşullu: Paydada koşul (|'den sonrası)

💡 Toplam Olasılık: Tüm yolları topla

💡 Ağaç Diyagramı: Çok olaylı problemlerde çiz

💡 Tablo: Koşullu olasılık için ideal

💡 Bağımsızlık testi: $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ kontrol et

💡 Simetri yok: $P(A|B) \neq P(B|A)$ genellikle

 K. YAYGIN HATALAR