TEMEL KAVRAMLAR VE YAKLAŞIM

Permütasyon, bir grup nesnenin sırasının önemli olduğu durumlarda, bu nesnelerin kaç farklı şekilde dizilebileceğini veya yer değiştirebileceğini bulmak için kullanılır.

Temel Özellikleri:

- Sıra önemli: ABC ≠ BAC ≠ CAB (3 farklı permütasyon)

- Seçim + Sıralama: Önce kişi seç, sonra sırala

- Gerçek hayat: Yarışma derecesi, şifre, koltuk yerleşimi, plaka

BAŞARI KILIT: Permütasyonda SİRA ÖNEMLİ! Eğer sıra önemsiz ise Kombinasyon! 🎯🚀

 A. FAKTÖRIYEL HATIRLATMA

Permütasyonun temelinde faktöriyel bulunur. Hızlı hatırlayalım:

$$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1$$

Özel Durum: $0! = 1$

Temel Değerler:

Sadeleştirme:

$$\frac{n!}{(n-r)!} = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-r+1)$$

 B. PERMÜTASYON FORMÜLLERI

 1. Tüm Elemanların Sıralanması

Tanım: n farklı nesne, kendi aralarında kaç şekilde sıralanır?

Formül:

$$P(n, n) = n!$$

Açıklama:

- 1. pozisyon: n seçenek

- 2. pozisyon: (n-1) seçenek

- 3. pozisyon: (n-2) seçenek

- ...

- n. pozisyon: 1 seçenek

Çarpma Prensibi: $n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 1 = n!$

Örnek: 3 kitap = 3! = 6 diziliş

Kitaplar: A, B, C

Dizilişler:

1. ABC

2. ACB

3. BAC

4. BCA

5. CAB

6. CBA

 2. n Nesneden r Tanesini Seçip Sıralama

Tanım: n nesneden r tanesi seçilip sıralanır. Kaç şekilde?

Formül:

$$P(n, r) = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times (n-r+1) = \frac{n!}{(n-r)!}$$

Açıklama:

- 1. pozisyon: n seçenek

- 2. pozisyon: (n-1) seçenek

- 3. pozisyon: (n-2) seçenek

- ...

- r. pozisyon: (n-r+1) seçenek

Toplam: r tane pozisyon doldurulur

Formülün Türetilmesi:

$$P(n, r) = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-r+1)$$

Bunu faktöriyelle ifade etmek için:

$$= \frac{n \times (n-1) \times \cdots \times (n-r+1) \times (n-r)!}{(n-r)!}$$

$$= \frac{n!}{(n-r)!}$$

Neden böyle?

- $n!$ = tüm n nesnenin sıralanışı

- $(n-r)!$ = seçilmeyenlerin sıralanışı

- Bölme = seçilmeyenlerin sıralanışını kaldır

 3. Tekrarlı Permütasyon

Tanım: Bazı nesneler birbirinin aynısıysa, kaç farklı sıralama olur?

Formül:

$$\text{Tekrarlı Permütasyon} = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot n_3! \cdots n_k!}$$

Burada:

- n = toplam nesne sayısı

- $n_1, n_2, \ldots, n_k$ = aynı türden nesne sayıları

Açıklama:

Eğer tüm nesneler farklı olsaydı: $n!$ diziliş

Ama n₁ tanesi aynı olduğu için: aynı diziliş $n_1!$ kez tekrarlanır (bu $n_1!$ defa saymamız gerekir)

Benzer şekilde n₂, n₃, ... için de aynı mantık

Sonuç: $\frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot n_3! \cdots n_k!}$

Örnek Mantığı: "AAB" kelimesindeki A'lar aynı olduğu için:

Tüm permütasyon olsaydı: $3! = 6$

Ama A'lar aynı olduğu için:

- AAB

- ABA  ← Bu 3 aynı görünüyor (A'lar swaplendiğinde)

- BAA

Aslında: $\frac{3!}{2!} = \frac{6}{2} = 3$

 C. DETAYLI ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

 Örnek C.1: Kitap Sıralama (⭐)

Soru: Bir rafta 5 farklı kitap kaç farklı şekilde dizilebilir?

Çözüm:

Adım 1: Problemin türünü belirle

- Tüm 5 kitap dizilecek

- Sıra önemli (A-B-C ≠ B-A-C)

- Formül: P(n,n) = n!

Adım 2: Değerleri yerleştir

$$P(5, 5) = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$$

Adım 3: Anlama

- 1. pozisyon: 5 kitap seçebiliriz

- 2. pozisyon: 4 kitap kalıyor

- 3. pozisyon: 3 kitap kalıyor

- 4. pozisyon: 2 kitap kalıyor

- 5. pozisyon: 1 kitap kalıyor

Cevap: 120 farklı şekilde ✓

 Örnek C.2: Yarışma Derecesi (⭐)

Soru: 8 yarışmacıdan ilk 3 dereceyi (1. 2. 3.) kaç farklı şekilde belirlenebilir?

Çözüm:

Adım 1: Problemin türünü belirle

- 8'den 3 seçilecek

- Sıra önemli (1. derece ≠ 2. derece)

- Formül: P(n,r) = n!/(n-r)!

Adım 2: n ve r'yi belirle

- n = 8 (toplam yarışmacı)

- r = 3 (seçilecek kişi)

Adım 3: Formülü uygula

Yöntem 1 - Çarpma:

$$P(8,3) = 8 \times 7 \times 6 = 336$$

Açıklama:

- 1. derece: 8 yarışmacı

- 2. derece: 7 yarışmacı (biri 1.)

- 3. derece: 6 yarışmacı (ikisi seçildi)

Yöntem 2 - Faktöriyel:

$$P(8,3) = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = \frac{40,320}{120} = 336$$

Cevap: 336 farklı şekilde ✓

 Örnek C.3: Tekrarlı Permütasyon - ANANAS (⭐⭐)

Soru: "ANANAS" kelimesinin harfleri kaç farklı şekilde sıralanabilir?

Çözüm:

Adım 1: Harfleri say

- Toplam harf: 6 (A-N-A-N-A-S)

- A: 3 kez (aynı)

- N: 2 kez (aynı)

- S: 1 kez

Adım 2: Tekrarlı permütasyon formülü

Eğer tüm harfler farklı olsaydı: $6! = 720$

Ama A'lar aynı (3!) ve N'ler aynı (2!):

$$\text{Tekrarlı Permütasyon} = \frac{6!}{3! \times 2! \times 1!}$$

Adım 3: Hesapla

$$= \frac{720}{6 \times 2 \times 1} = \frac{720}{12} = 60$$

Adım 4: Anlama

- Tüm 6 harfin $6!$ permütasyonu

- A'lar aynı olduğu için $3!$ defa aynı sıralama tekrarlanır → ÷ 3!

- N'ler aynı olduğu için $2!$ defa aynı sıralama tekrarlanır → ÷ 2!

Cevap: 60 farklı sıralama ✓

 Örnek C.4: Sınırlandırılmış Permütasyon - İlk Pozisyon (⭐⭐)

Soru: 0, 1, 2, 3 rakamlarıyla 3 basamaklı, rakamları farklı kaç sayı yazılır?

Çözüm:

Adım 1: Kısıtları belirle

- 3 basamaklı sayı

- Rakamlar farklı (tekrarsız)

- İlk basamak 0 OLAMAZ (kısıt!)

Adım 2: 1. basamak (yüzler) için seçenekleri say

- Seçenek: 1, 2, 3 (0 olamaz)

- Toplam: 3 seçenek

Adım 3: Kalan basamakları say

- 2. basamak: 3 rakam kalıyor (biri kullanıldı, 0 artık kullanılabilir)

- 3. basamak: 2 rakam kalıyor

Adım 4: Çarpma prensibi

$$\text{Toplam} = 3 \times 3 \times 2 = 18$$

Detaylı Açıklama:

1. Basamak:

- 0 olamaz, 1, 2, 3 seçebiliriz → 3 seçenek

Örnek: 1'i seçtik (Kalan: 0, 2, 3)

2. Basamak:

- 0, 2, 3'den biri → 3 seçenek

Örnek: 0'ı seçtik (Kalan: 2, 3)

3. Basamak:

- 2 veya 3 → 2 seçenek

Cevap: 18 farklı sayı ✓

Kontrol: Başındaki rakamı sayan:

- 1__ : 1 × 3 × 2 = 6

- 2__ : 1 × 3 × 2 = 6

- 3__ : 1 × 3 × 2 = 6

- Toplam: 18 ✓

 Örnek C.5: Sınırlandırılmış Permütasyon - Belirli Pozisyon (⭐⭐)

Soru: 5 kişi (A, B, C, D, E) bir masanın etrafında oturacak. B ve C yan yana oturmalı. Kaç farklı şekilde oturabilirler?

Çözüm:

Adım 1: Kısıtı anla

- B ve C yan yana (blok olarak düşün)

Adım 2: B ve C'yi tek nesne gibi düşün

- Nesneler: [BC], A, D, E → 4 nesne

Adım 3: 4 nesneyi sırala

$$4! = 24$$

Adım 4: B ve C'nin kendi aralarında sıralanmasını ekle

- B-C veya C-B → 2 sıralama

$$24 \times 2 = 48$$

Cevap: 48 farklı şekilde ✓

 Örnek C.6: Şifre Oluşturma (⭐⭐)

Soru: 3 harfli bir şifre, harfler farklı olmak üzere kaç şekilde oluşturulabilir? (Alfabede 26 harf)

Çözüm:

Adım 1: Problemin türünü belirle

- 26'dan 3 seçilecek

- Sıra önemli (şifre ABC ≠ BAC)

- Formül: P(26,3)

Adım 2: Hesapla

$$P(26,3) = 26 \times 25 \times 24 = 15,600$$

Açıklama:

- 1. harf: 26 seçenek

- 2. harf: 25 seçenek (biri kullanıldı)

- 3. harf: 24 seçenek (ikisi kullanıldı)

Cevap: 15,600 farklı şifre ✓

 Örnek C.7: Tekrarlı Permütasyon - Renkli Toplar (⭐⭐)

Soru: 2 kırmızı, 3 mavi, 1 yeşil top (toplam 6) yan yana dizilecek. Kaç farklı diziliş olur?

Çözüm:

Adım 1: Nesneleri say

- Toplam: 6 top

- Kırmızı: 2 (aynı)

- Mavi: 3 (aynı)

- Yeşil: 1 (unique)

Adım 2: Tekrarlı permütasyon formülü

$$\text{Diziliş} = \frac{6!}{2! \times 3! \times 1!}$$

Adım 3: Hesapla

$$= \frac{720}{2 \times 6 \times 1} = \frac{720}{12} = 60$$

Anlama:

- Tüm toplar farklı olsaydı: $6! = 720$

- Kırmızılar aynı olduğu için: ÷ 2!

- Maviler aynı olduğu için: ÷ 3!

Cevap: 60 farklı diziliş ✓

 Örnek C.8: Kompleks Sınırlandırma - Başında/Sonunda (⭐⭐⭐)

Soru: {A, B, C, D, E} 5 elemanın dizilişinde başta A, sonda E olacak şekilde kaç permütasyon vardır?

Çözüm:

Adım 1: Sabit pozisyonları belirle

- 1. pozisyon: A (sabit)

- 5. pozisyon: E (sabit)

- Ortada: B, C, D (3 eleman, serbest)

Adım 2: Ortadaki 3 elemanı sırala

$$P(3, 3) = 3! = 6$$

Adım 3: Tüm dizilişler

A[B,C,D,E]E şeklindedir:

- A-B-C-D-E

- A-B-D-C-E

- A-C-B-D-E

- A-C-D-B-E

- A-D-B-C-E

- A-D-C-B-E

Cevap: 6 permütasyon ✓

 Örnek C.9: Döngüsel Permütasyon (⭐⭐⭐)

Soru: 5 kişi bir yuvarlak masa etrafında kaç farklı şekilde oturabilir?

Çözüm:

Adım 1: Doğrusal vs Döngüsel fark

Doğrusal (sıra): $5! = 120$

Döngüsel (yuvarlak):

- Döngüde 1. pozisyon için referans noktası yoktur

- Rotasyonlar aynı sayılır

Adım 2: Düzeltme

Döngüsel Permütasyon = $\frac{5!}{5} = \frac{120}{5} = 24$

Açıklama:

- 5 kişinin 5! = 120 doğrusal permütasyonu

- Yuvarlak masada 1 permütasyon, 5 rotasyondan oluşur

- 120 ÷ 5 = 24

Formül: Döngüsel Permütasyon = $\frac{(n-1)!}{1}$ = $(n-1)!$

Cevap: 24 farklı şekilde ✓

 Örnek C.10: Kombinasyon Hazırlığı (⭐⭐)

Soru: 10 kişiden 3'ü seçilip sıralanacak. Kaç şekilde?

Çözüm:

Yöntem 1 - Doğrudan Permütasyon:

$$P(10,3) = 10 \times 9 \times 8 = 720$$

Yöntem 2 - Faktöriyel:

$$P(10,3) = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = \frac{3,628,800}{5,040} = 720$$

Cevap: 720 şekilde ✓

Not: Eğer sıra önemsiz olsaydı (sadece 3 kişi seç):

$$C(10,3) = \frac{720}{3!} = \frac{720}{6} = 120$$

 D. PERMÜTASYON vs KOMBİNASYON - KARAR AĞACI

Kontrastlı Örnek:

Problem: 5 kişiden 3 seçilecek

Neden farklı?

- Permütasyon: (Ali, Barış, Can) ≠ (Ali, Can, Barış) (Derece farklı!)

- Kombinasyon: {Ali, Barış, Can} = {Ali, Can, Barış} (Aynı takım!)

 E. 🎯 PÜF NOKTALARI - PERMÜTASYON

✓ SIRA ÖNEMLİ → Permütasyon (Dereceler, Şifre, Sıra)

✓ SIRA ÖNEMSİZ → Kombinasyon (Takım, Seçim, Komite)

✓ Formül: $P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$

✓ Tüm Sıralama: $P(n,n) = n!$

✓ Tekrarlı: $\frac{n!}{n_1! \times n_2! \times \ldots}$

✓ Sınırlandırma: Kısıt pozisyonlarını sabit tut, kalan sırala

✓ Döngüsel: $(n-1)!$

✓ Faktöriyel Sadeleştir: $\frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8$

✓ Kontrol: İlk birkaç örneği elle say

 F. YAYGIN HATALAR - PERMÜTASYON