TEMEL KAVRAMLAR VE YAKLAŞIM

Kombinasyon, bir grup nesneden sırası önemli olmadan belirli sayıda nesne seçme işlemidir. Permütasyondan farkı, seçilen nesnelerin sıralanması değil, sadece seçilmesi önemlidir.

Temel Özellikleri:

- Sıra önemsiz: {A, B, C} = {B, A, C} = {C, B, A} (aynı seçim)

- Sadece seçim: Hangi nesnelerin seçildiği önemli, sırası değil

- Gerçek hayat: Takım kurma, komite seçme, piyango çekilişi, yemek menüsü

BAŞARI KILIT: Kombinasyonda SİRA ÖNEMSİZ! Eğer sıra önemliyse Permütasyon! 🎯🚀

 A. KOMBINASYON vs PERMÜTASYON - HIZLI KARŞILAŞTIRMA

 Temel Fark

PERMÜTASYON (Sıra ÖNEMLİ):

- (Ali, Barış, Can) ≠ (Ali, Can, Barış) ← FARKLI

- Örn: Yarışma (1., 2., 3. derece)

- Formül: P(n,r) = n!/(n-r)!

KOMBİNASYON (Sıra ÖNEMSİZ):

- {Ali, Barış, Can} = {Ali, Can, Barış} ← AYNI

- Örn: Takım (seçim)

- Formül: C(n,r) = n!/[r!(n-r)!]

 Kontrastlı Örnek

Problem: 5 kişiden 3 seçilecek

Neden C(5,3) = 10?

- P(5,3) = 60 tüm sıralamaları sayar

- Ancak 3 kişi 3! = 6 şekilde sıralanabilir

- Her seçim 6 defa sayılır (gereksiz)

- 60 ÷ 6 = 10 (Gerçek seçim sayısı)

 B. KOMBİNASYON FORMÜLÜ - TÜRETME

 1. Formülün Yazılışı

$$C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

Terminoloji:

- $n$ = Toplam nesne sayısı

- $r$ = Seçilecek nesne sayısı

- $C(n,r)$ = "n'de r kombinasyon"

- $\binom{n}{r}$ = "n seç r"

 2. Formülün Türetilmesi (Neden?)

Adım 1: n'den r'yi seçip sırala

$$P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$$

Adım 2: Seçilen r nesne kaç şekilde sıralanır?

$$r! \text{ şekilde}$$

Adım 3: Sıralamalar aynı seçim olduğu için, r! ile böl

$$C(n,r) = \frac{P(n,r)}{r!} = \frac{n!/(n-r)!}{r!} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

Mantık:

- Permütasyon: "Seçen VE sırala"

- Kombinasyon: "Sadece seç" (sıra görmezden gel)

- Bölüş: r! aynı seçimleri çıkar

Görsel Analoji:

Problem: {A, B, C, D, E}'den 3 seç

P(5,3) = 60 Permütasyon:

A-B-C, A-C-B, B-A-C, B-C-A, C-A-B, C-B-A ← Hepsi 6 tane

Bu 6 tanesinin hepsi AYNI seçim: {A, B, C}

C(5,3) = 60 ÷ 6 = 10 Benzersiz Seçim

 3. Kombinasyon Özellikleri

Özellik 1: Hiç seçmemek

$$C(n, 0) = \frac{n!}{0! \cdot n!} = 1$$

Özellik 2: Bir eleman seçmek

$$C(n, 1) = \frac{n!}{1! \cdot (n-1)!} = n$$

Özellik 3: Tüm elemanları seçmek

$$C(n, n) = \frac{n!}{n! \cdot 0!} = 1$$

Özellik 4: Simetri (Tamamlayıcı)

$$C(n, r) = C(n, n-r)$$

Açıklama: n'den r seçmek = n'den (n-r) seçmemek ile aynı

Örnek: $C(10, 7) = C(10, 3)$ (7 seçmek = 3 bırakmak)

Özellik 5: Pascal Üçgeni (Kombinatorik İlişki)

$$C(n, r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r)$$

 C. KOMBİNASYON HESAPLAMA TEKNİKLERİ

 Teknik 1: Faktöriyel ile Hesaplama

Formül:

$$C(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

Örnek: $C(6,2)$

$$C(6,2) = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = \frac{720}{2 \cdot 24} = \frac{720}{48} = 15$$

 Teknik 2: Sadeleştirerek Hesaplama (Hızlı Yöntem)

Formül:

$$C(n,r) = \frac{n \times (n-1) \times \cdots \times (n-r+1)}{r!}$$

Örnek: $C(6,2)$

$$C(6,2) = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = \frac{30}{2} = 15$$

Avantaj: Büyük faktöriyeller hesaplanmaz

 Teknik 3: Simetri Özelliğini Kullanma

Kural: $C(n,r)$ yerine $C(n, n-r)$ hesapla (daha küçükse)

Örnek: $C(100, 97)$

❌ Yöntem 1: $\frac{100!}{97! \cdot 3!}$ (çok büyük)

✅ Yöntem 2: $C(100, 3) = \frac{100 \times 99 \times 98}{3 \times 2 \times 1} = 161,700$ (çok daha kolay)

 D. DETAYLI ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

 Örnek D.1: Basit Takım Kurma (⭐)

Soru: 10 öğrenciden 4 kişilik bir takım kaç farklı şekilde seçilebilir?

Çözüm:

Adım 1: Problemin türünü belirle

- 10'dan 4 seçilecek

- Sıra önemsiz (takım, sıralama değil)

- Formül: C(n,r) = n!/[r!(n-r)!]

Adım 2: n ve r'yi belirle

- n = 10

- r = 4

Adım 3: Hesapla (Hızlı Yöntem)

$$C(10,4) = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1}$$

$$= \frac{5,040}{24} = 210$$

Adım 4: Kontrol

- İlk 4 rakamı çarp: 10 × 9 × 8 × 7 = 5,040

- 4! = 24

- Böl: 5,040 ÷ 24 = 210

Cevap: 210 farklı takım ✓

 Örnek D.2: Komite Seçimi (⭐)

Soru: 8 kişilik bir gruptan 2 kişi temsilci olarak seçilecek. Kaç farklı seçim yapılabilir?

Çözüm:

Yöntem 1 - Formül:

$$C(8,2) = \frac{8!}{2! \cdot 6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = \frac{56}{2} = 28$$

Yöntem 2 - Mantık:

- 1. temsilci: 8 seçenek

- 2. temsilci: 7 seçenek

- Sıra önemsiz: 8 × 7 ÷ 2 = 28

Cevap: 28 farklı seçim ✓

 Örnek D.3: Menü Seçimi (⭐)

Soru: Bir menüde 5 çeşit yemekten 3'ü seçilecek. Kaç farklı menü oluşturulabilir?

Çözüm:

$$C(5,3) = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$$

Alternatif: $C(5,3) = C(5,2) = \frac{5 \times 4}{2} = 10$ (Simetri)

Cevap: 10 farklı menü ✓

 Örnek D.4: Kısıtlı Kombinasyon - Belirli Kişi Dahil (⭐⭐)

Soru: 7 kişilik gruptan 3 kişilik bir ekip seçilecek. Ali mutlaka ekipte olacak. Kaç ekip kurulabilir?

Çözüm:

Adım 1: Ali zaten seçili

- Kalan seçilecek: 3 - 1 = 2 kişi

Adım 2: Geri kalan kişiler

- Kalan kişi sayısı: 7 - 1 = 6

Adım 3: 6'dan 2'yi seç

$$C(6,2) = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$$

Mantık: Ali'yi kısıtla, kalanlardan seç

Cevap: 15 ekip ✓

 Örnek D.5: Kısıtlı Kombinasyon - Belirli Kişi Haricinde (⭐⭐)

Soru: 7 kişilik gruptan 3 kişilik bir ekip seçilecek. Ali ekipte olmayacak. Kaç ekip kurulabilir?

Çözüm:

Adım 1: Ali'yi dışla

- Kalan kişi: 7 - 1 = 6

Adım 2: 6'dan 3'ü seç (Ali'siz)

$$C(6,3) = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = \frac{120}{6} = 20$$

Cevap: 20 ekip ✓

 Örnek D.6: En Az/En Çok Problemleri (⭐⭐)

Soru: Bir sınıfta 12 öğrenci var. En az 1, en çok 3 kişi seçilecek. Kaç farklı seçim yapılabilir?

Çözüm:

Adım 1: Her durum için kombinasyon

- 1 kişi seç: $C(12,1) = 12$

- 2 kişi seç: $C(12,2) = \frac{12 \times 11}{2} = 66$

- 3 kişi seç: $C(12,3) = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$

Adım 2: Topla (Toplama Prensibi - birbirini dışlayan durumlar)

$$\text{Toplam} = 12 + 66 + 220 = 298$$

Cevap: 298 farklı seçim ✓

 Örnek D.7: Gerçek Hayat - Piyango (⭐⭐)

Soru: Bir piyangoda 49 numaradan 6'sı çekiliyor. Kaç farklı bilet olabilir?

Çözüm:

Adım 1: 49'dan 6 seçilecek

- Sıra önemsiz (bilet = {3, 7, 12, 25, 38, 45})

Adım 2: Kombinasyon hesapla

$$C(49,6) = \frac{49!}{6! \cdot 43!}$$

$$= \frac{49 \times 48 \times 47 \times 46 \times 45 \times 44}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$$

$$= \frac{10,068,347,520}{720} = 13,983,816$$

Cevap: ~14 milyon farklı bilet ✓

 Örnek D.8: Renkli Top Seçimi (⭐⭐)

Soru: Bir çantada 5 kırmızı, 3 mavi, 2 yeşil top var. Toplamdan 4 top seçilecek. Kaç farklı şekilde?

Çözüm:

Durum 1: 4 Kırmızı

- Seçim: $C(5,4) = 5$

Durum 2: 3 Kırmızı, 1 Mavi

- Seçim: $C(5,3) \times C(3,1) = 10 \times 3 = 30$

Durum 3: 3 Kırmızı, 1 Yeşil

- Seçim: $C(5,3) \times C(2,1) = 10 \times 2 = 20$

Durum 4: 2 Kırmızı, 2 Mavi

- Seçim: $C(5,2) \times C(3,2) = 10 \times 3 = 30$

Durum 5: 2 Kırmızı, 1 Mavi, 1 Yeşil

- Seçim: $C(5,2) \times C(3,1) \times C(2,1) = 10 \times 3 \times 2 = 60$

Durum 6: 2 Kırmızı, 2 Yeşil

- Seçim: $C(5,2) \times C(2,2) = 10 \times 1 = 10$

Durum 7: 1 Kırmızı, 3 Mavi

- Seçim: $C(5,1) \times C(3,3) = 5 \times 1 = 5$

Durum 8: 1 Kırmızı, 2 Mavi, 1 Yeşil

- Seçim: $C(5,1) \times C(3,2) \times C(2,1) = 5 \times 3 \times 2 = 30$

Durum 9: 1 Kırmızı, 1 Mavi, 2 Yeşil

- Seçim: $C(5,1) \times C(3,1) \times C(2,2) = 5 \times 3 \times 1 = 15$

Durum 10: 3 Mavi, 1 Yeşil

- Seçim: $C(3,3) \times C(2,1) = 1 \times 2 = 2$

Durum 11: 2 Mavi, 2 Yeşil

- Seçim: $C(3,2) \times C(2,2) = 3 \times 1 = 3$

Toplam:

$$5 + 30 + 20 + 30 + 60 + 10 + 5 + 30 + 15 + 2 + 3 = 210$$

Cevap: 210 farklı şekilde ✓

 Örnek D.9: İki Grup Seçimi (⭐⭐)

Soru: 5 erkek ve 4 kız arasından 3 erkek ve 2 kız seçilecek. Kaç farklı grup oluşturulabilir?

Çözüm:

Adım 1: Erkekleri seç

$$C(5,3) = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$$

Adım 2: Kızları seç

$$C(4,2) = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$$

Adım 3: Her iki grup birleştir (Çarpma Prensipi)

$$\text{Toplam Grup} = 10 \times 6 = 60$$

Cevap: 60 farklı grup ✓

 Örnek D.10: Tekrarlı Kombinasyon - Meyve Seçimi (⭐⭐⭐)

Soru: Bir pazarda 3 çeşit meyve var (elma, portakal, muz). Aynı çeşitte olabilecek şekilde 5 meyve seçilecek. Kaç farklı şekilde?

Çözüm:

Özel Durum: Tekrarlı Kombinasyon

Formül: Tekrarlı kombinasyon = $C(n+r-1, r)$

Burada:

- n = çeşit sayısı (3)

- r = seçilecek sayı (5)

$$\text{Tekrarlı Kombinasyon} = C(3+5-1, 5) = C(7,5) = C(7,2)$$

$$= \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$$

Cevap: 21 farklı şekilde ✓

Açıklama: Örneğin {5 elma}, {3 elma 2 portakal}, {2 elma 2 portakal 1 muz}, vb.

 E. KOMBİNASYON vs PERMÜTASYON - KARAR AĞACI

 Karar Mekanizması

 F. SORUYA YAKLAŞIRKEN DİKKAT EDİLECEKLER

 Kontrol Listesi

✓ Adım 1: Sıra önemli mi? (Kombinasyon ↔ Permütasyon)

✓ Adım 2: n ve r'yi doğru belirle

✓ Adım 3: Kısıtlar var mı?

- Belirli kişi dahil mi?

- Belirli kişi haricinde mi?

- En az/en çok ifadeleri?

✓ Adım 4: Formülü uygula

✓ Adım 5: Cevap mantıklı mı? (Kontrol et)

 G. 🎯 PÜF NOKTALARI - KOMBİNASYON

✓ SİRA ÖNEMSİZ → Kombinasyon (Takım, Seçim, Komite)

✓ Formül: $C(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

✓ Hızlı Hesaplama: $C(n,r) = \frac{n \times (n-1) \times \cdots \times (n-r+1)}{r!}$

✓ Simetri: $C(n,r) = C(n, n-r)$ (Büyük sayı hesaplamayı daha kolay yap)

✓ Belirli Kişi Dahil: n-1'den r-1 seç

✓ Belirli Kişi Haricinde: n-1'den r seç

✓ En Az/En Çok: Tüm durumları topla

✓ Tekrarlı: $C(n+r-1, r)$ formülü

✓ İki Grup: Her grup için ayrı kombinasyon, sonra çarp

✓ Kontrol: İlk birkaç örneği elle say

 H. YAYGIN HATALAR - KOMBİNASYON