2. İŞTEN AYRILMA, YARDIMA GELME
TEMEL KAVRAMLAR VE YAKLAŞIM
Parçalı Çalışma Nedir?
Emek problemlerinde bazı işçiler işin bir kısmında çalışıp sonra ayrılabilir veya yeni işçiler yardıma gelebilir. Bu tür sorularda, çalışma sürecini dönemlere ayırmak ve her dönemi ayrı analiz etmek gerekir.
Temel Mantık ve Yöntem
- Her dönem için tablo oluştur: Kimler çalışıyor, kaç gün/saat çalışıyor?
- Her dönemde yapılan işi hesapla: Her işçinin birim işini, o dönemdeki süreyle çarp.
- Toplam yapılan işleri topla: Tüm dönemlerde yapılan işlerin toplamı $1$ olmalı.
- Denklem kur ve çöz: Bilinmeyeni bul, sonucu kontrol et.
KULLANILAN YÖNTEMLER
1. Dönemlere Ayırma
Her farklı işçi kombinasyonu için ayrı bir dönem belirle. Her dönemde yapılan işi ayrı hesapla.
2. Tablo Yöntemi
Dönem, çalışan işçiler, süre ve yapılan iş sütunlarını içeren bir tablo oluştur. Bu yöntem, karmaşık sorularda hata riskini azaltır.
3. Denklem Kurma
Her dönemde yapılan işleri topla, toplamı $1$'e eşitle ve bilinmeyeni çöz.
SORU ÇÖZÜM AŞAMALARI
1. Problemi dikkatlice oku.
2. Her dönemi ve o dönemde çalışan işçileri belirle.
3. Her işçi için birim zamanda yapılan işi yaz.
4. Her dönemde yapılan işi hesapla.
5. Toplam yapılan işi $1$ kabul et ve denklem kur.
6. Denklemi çöz, sonucu kontrol et.
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
Örnek 1: İşten Ayrılma
Soru: Bir işi Ali tek başına 12 günde, Veli 8 günde bitiriyor. İkisi birlikte 3 gün çalıştıktan sonra Ali ayrılıyor, Veli tek başına devam ediyor. İş toplam kaç günde biter?
Çözüm:
- Ali'nin 1 günde yaptığı iş: $\frac{1}{12}$
- Veli'nin 1 günde yaptığı iş: $\frac{1}{8}$
Dönem 1: 3 gün birlikte
Birlikte yapılan iş: $3 \times (\frac{1}{12} + \frac{1}{8}) = 3 \times \frac{5}{24} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8}$
Kalan iş: $1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$
Dönem 2: Veli tek başına
Veli'nin 1 günde yaptığı iş: $\frac{1}{8}$
Kalan işi bitirme süresi: $t = \frac{3}{8} \div \frac{1}{8} = 3$ gün
Toplam süre: $3 + 3 = 6$ gün
Yöntem Notu: Dönemlere ayırdık, her dönemde yapılan işi hesapladık, topladık.
Örnek 2: Yardıma Gelme
Soru: Bir işi Zeynep tek başına 15 günde bitiriyor. 5 gün çalıştıktan sonra Ali yardıma geliyor. Ali tek başına bu işi 10 günde bitirebilir. İşin tamamı kaç günde biter?
Çözüm:
- Zeynep'in 1 günde yaptığı iş: $\frac{1}{15}$
- Ali'nin 1 günde yaptığı iş: $\frac{1}{10}$
Dönem 1: Zeynep tek başına 5 gün
Yapılan iş: $5 \times \frac{1}{15} = \frac{1}{3}$
Kalan iş: $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
Dönem 2: Zeynep ve Ali birlikte
Birlikte 1 günde yapılan iş: $\frac{1}{15} + \frac{1}{10} = \frac{2 + 3}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$
Kalan işi bitirme süresi: $t = \frac{2}{3} \div \frac{1}{6} = 4$ gün
Toplam süre: $5 + 4 = 9$ gün
Yöntem Notu: Yardıma gelme anından itibaren yeni dönem başlattık, kalan işi birlikte hesapladık.
Örnek 3: Birden Fazla Ayrılma/Yardıma Gelme
Soru: Bir işi A tek başına 20 günde, B 15 günde, C 12 günde bitiriyor. Önce A ve B birlikte 4 gün çalışıyor, sonra C yardıma geliyor ve üçü birlikte işi bitiriyor. Toplam kaç gün sürer?
Çözüm:
- A: $\frac{1}{20}$, B: $\frac{1}{15}$, C: $\frac{1}{12}$
Dönem 1: A ve B birlikte 4 gün
Yapılan iş: $4 \times (\frac{1}{20} + \frac{1}{15}) = 4 \times (\frac{3 + 4}{60}) = 4 \times \frac{7}{60} = \frac{28}{60} = \frac{7}{15}$
Kalan iş: $1 - \frac{7}{15} = \frac{8}{15}$
Dönem 2: Üçü birlikte
Birlikte 1 günde yapılan iş: $\frac{1}{20} + \frac{1}{15} + \frac{1}{12} = \frac{3 + 4 + 5}{60} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}$
Kalan işi bitirme süresi: $t = \frac{8}{15} \div \frac{1}{5} = \frac{8}{15} \times 5 = \frac{8}{3}$ gün
Toplam süre: $4 + \frac{8}{3} = \frac{20}{3} \approx 6.67$ gün
TABLO İLE ÇÖZÜM
Dönem | Çalışanlar | Süre (gün) | 1 Günde Yapılan İş | Toplam Yapılan İş |
1 | Ali + Veli | $3$ | $\frac{1}{12}+\frac{1}{8}$ | $3 \times \frac{5}{24} = \frac{5}{8}$ |
2 | Veli | $3$ | $\frac{1}{8}$ | $3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$ |
Toplam iş: $\frac{5}{8} + \frac{3}{8} = 1$
SORUYA YAKLAŞIRKEN DİKKAT EDİLECEKLER
- Her dönem için tablo oluşturun.
- Her dönemde çalışan işçilerin birim işlerini doğru yazın.
- Kalan işi ve kalan süreyi doğru hesaplayın.
- Sonucu mutlaka kontrol edin.
- Dönemleri karıştırmayın, her dönemi ayrı analiz edin.
YAYGIN HATALAR
- Dönemleri karıştırmak veya atlamak
- Kalan işi yanlış hesaplamak
- Birim işleri yanlış toplamak
- Sonucu kontrol etmemek
SONUÇ
İşten ayrılma ve yardıma gelme içeren emek problemlerinde, dönemlere ayırma ve tablo ile çözüm en güvenli yöntemdir. Her dönemi ayrı analiz etmek, yapılan işleri toplamak ve toplamı $1$'e eşitlemek başarıyı garantiler.
Alıştırma Soruları
Bu konuyu ne kadar öğrendiğini test et!