TEMEL KAVRAMLAR VE YAKLAŞIM

Ters fonksiyon ve bileşke fonksiyon, fonksiyonların ileri-geri ve ardışık uygulamalarını anlamak için çok önemlidir. Bu konular, fonksiyonun birebir (injektif), örten (surjektif), ve bijektif olması gibi özellikleriyle yakından ilişkilidir.

 FONKSİYON ÇEŞİTLERİ

 1. Birebir (İnjektif) Fonksiyon

Tanım: Farklı tanım kümesi elemanları, farklı görüntü kümesi elemanlarına eşlenir.

Sembol: f: A → B, birebir ⟺ f(x₁) = f(x₂) ise x₁ = x₂

Örnek: f(x) = 2x + 1 (birebir) vs f(x) = x² (birebir değil, çünkü f(2) = f(-2) = 4)

 2. Örten (Surjektif) Fonksiyon

Tanım: Değer kümesinin her elemanı, tanım kümesinin en az bir elemanının görüntüsüdür.

Koşul: f(A) = B (görüntü kümesi = değer kümesi)

Örnek: f: ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 1 (örten) vs f: ℝ → ℝ, f(x) = x² (örten değil, çünkü negatif sayılara ulaşılmıyor)

 3. Bijektif (Birebir-Örten) Fonksiyon

Tanım: Hem birebir hem de örten olan fonksiyondur.

Koşul: 

- Birebir: f(x₁) = f(x₂) ⟹ x₁ = x₂

- Örten: f(A) = B

Özellik: Sadece bijektif fonksiyonların tersi vardır!

Örnek: f: ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 1 (bijektif)

 TERS FONKSİYON

 Tanım

Bir f: A → B fonksiyonunun tersi, f⁻¹: B → A şeklinde tanımlanır ve:

- f(a) = b ⟺ f⁻¹(b) = a

yani fonksiyon ve tersi birbirini "geri alır".

 Ters Fonksiyonun Varlık Koşulu

Ters fonksiyon varsa ⟺ f bijektif olmalı

- Birebir olmalı (farklı girdiler farklı çıktı)

- Örten olmalı (tüm çıktılar ulaşılmalı)

 Ters Fonksiyon Bulma

Adım 1: f bijektif olduğunu kontrol et

Adım 2: y = f(x) denklemini x'e göre çöz

Adım 3: x ve y'nin yerini değiştir: f⁻¹(x) = ...

Örnek: f(x) = 2x + 1

Çözüm:

- y = 2x + 1

- y - 1 = 2x

- x = (y - 1)/2

- f⁻¹(y) = (y - 1)/2

- f⁻¹(x) = (x - 1)/2

 TERS FONKSİYON ÖZELLIKLERI

 BİLEŞKE FONKSİYON

 Tanım

İki fonksiyonun ardışık uygulanmasıdır.

Sembol: (f ∘ g)(x) = f(g(x))

Dikkat: Sıra çok önemli! f ∘ g ≠ g ∘ f (genellikle)

 Bileşke Fonksiyon Hesaplama

Adım 1: İç fonksiyonu (g) uygulanacak fonksiyon olarak belirle

Adım 2: Dış fonksiyonu (f) uygulanacak fonksiyon olarak belirle

Adım 3: f(g(x)) hesapla

Örnek: f(x) = 2x + 1, g(x) = x²

(f ∘ g)(x) = f(g(x)):

- g(x) = x²

- f(g(x)) = f(x²) = 2(x²) + 1 = 2x² + 1

(g ∘ f)(x) = g(f(x)):

- f(x) = 2x + 1

- g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)² = 4x² + 4x + 1

Görüldüğü gibi: (f ∘ g)(x) ≠ (g ∘ f)(x)

 ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

 Örnek 1: Ters Fonksiyon - Temel (⭐)

Soru: f(x) = 3x - 2, f⁻¹(x) = ?

Çözüm:

Adım 1: Bijektif kontrolü

- f(x) = 3x - 2 (doğrusal, a≠0) → Bijektif ✓

Adım 2: y = f(x) şeklinde yaz

$$y = 3x - 2$$

Adım 3: x'e göre çöz

$$y + 2 = 3x$$

$$x = \frac{y + 2}{3}$$

Adım 4: x ve y yerini değiştir

$$f^{-1}(x) = \frac{x + 2}{3}$$

✓ Kontrol:

- f(f⁻¹(x)) = f((x+2)/3) = 3·(x+2)/3 - 2 = x + 2 - 2 = x ✓

- f⁻¹(f(x)) = f⁻¹(3x-2) = (3x-2+2)/3 = 3x/3 = x ✓

Cevap: f⁻¹(x) = (x + 2)/3 ⭐

🎯 Püf Noktası: Ters fonksiyon bulunca kontrol et: f(f⁻¹(x)) = x

 Örnek 2: Ters Fonksiyon - Orta (⭐⭐)

Soru: f(x) = (2x - 1)/(x + 3), f⁻¹(x) = ?

Çözüm:

Adım 1: Bijektif kontrolü

- Kesirli fonksiyon, payda ≠ 0 → Bijektif ✓ (uygun tanım kümesiyle)

Adım 2: y = f(x)

$$y = \frac{2x - 1}{x + 3}$$

Adım 3: x'e göre çöz (Kesirli denklemi çözme)

$$y(x + 3) = 2x - 1$$

$$yx + 3y = 2x - 1$$

$$yx - 2x = -1 - 3y$$

$$x(y - 2) = -1 - 3y$$

$$x = \frac{-1 - 3y}{y - 2}$$

Alternatif yazılış:

$$x = \frac{-(1 + 3y)}{y - 2} = \frac{-3y - 1}{y - 2}$$

Adım 4: x ve y yerini değiştir

$$f^{-1}(x) = \frac{-3x - 1}{x - 2}$$

✓ Kontrol (özel değer):

- f(0) = -1/3

- f⁻¹(-1/3) = (-3·(-1/3) - 1) / (-1/3 - 2) = (1 - 1) / (-7/3) = 0 ✓

Cevap: f⁻¹(x) = (-3x - 1)/(x - 2) ⭐⭐

🎯 Püf Noktası: Kesirli fonksiyonun tersinde:

1. y'yi soldaki payda ile çarp

2. x'li terimleri bir tarafa topla

3. x'i paranteze al ve bölü

 Örnek 3: Bileşke Fonksiyon - Temel (⭐)

Soru: f(x) = x + 2, g(x) = 3x

(f ∘ g)(2) = ? ve (g ∘ f)(2) = ?

Çözüm:

(f ∘ g)(2):

$$= f(g(2))$$

$$= f(3 \cdot 2)$$

$$= f(6)$$

$$= 6 + 2 = 8$$

(g ∘ f)(2):

$$= g(f(2))$$

$$= g(2 + 2)$$

$$= g(4)$$

$$= 3 \cdot 4 = 12$$

Cevap: (f ∘ g)(2) = 8, (g ∘ f)(2) = 12 ⭐

Gözlem: (f ∘ g)(2) ≠ (g ∘ f)(2) → Bileşke değişmeli değil!

🎯 Püf Noktası: (f ∘ g) = f(g(x)) → İçten dışa oku

 Örnek 4: Bileşke Fonksiyon - Formül (⭐⭐)

Soru: f(x) = 2x + 1, g(x) = x² - 3

(f ∘ g)(x) = ? ve (g ∘ f)(x) = ?

Çözüm:

(f ∘ g)(x) = f(g(x)):

$$g(x) = x^2 - 3$$

$$f(g(x)) = f(x^2 - 3) = 2(x^2 - 3) + 1$$

$$= 2x^2 - 6 + 1 = 2x^2 - 5$$

(g ∘ f)(x) = g(f(x)):

$$f(x) = 2x + 1$$

$$g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2 - 3$$

$$= 4x^2 + 4x + 1 - 3 = 4x^2 + 4x - 2$$

✓ Kontrol (x = 1):

- (f ∘ g)(1) = 2(1)² - 5 = -3

  - Doğru: f(g(1)) = f(1-3) = f(-2) = 2(-2) + 1 = -3 ✓

- (g ∘ f)(1) = 4(1)² + 4(1) - 2 = 6

  - Doğru: g(f(1)) = g(3) = 9 - 3 = 6 ✓

Cevap: (f ∘ g)(x) = 2x² - 5, (g ∘ f)(x) = 4x² + 4x - 2 ⭐⭐

🎯 Püf Noktası: Bileşke fonksiyonda:

1. İç fonksiyonu belirle

2. Dış fonksiyonun yerine iç fonksiyonu koy

3. Sadeleştir

 Örnek 5: Ters ve Bileşke Kombinasyon (⭐⭐⭐)

Soru: f(x) = 2x - 3, f⁻¹(x) = ?

(f ∘ f⁻¹)(5) = ? ve (f⁻¹ ∘ f)(x) = ?

Çözüm:

Adım 1: Ters fonksiyonu bul

$$y = 2x - 3$$

$$x = \frac{y + 3}{2}$$

$$f^{-1}(x) = \frac{x + 3}{2}$$

Adım 2: (f ∘ f⁻¹)(5)

$$(f \circ f^{-1})(5) = f(f^{-1}(5))$$

$$= f\left(\frac{5 + 3}{2}\right)$$

$$= f(4)$$

$$= 2(4) - 3 = 5$$

Veya doğrudan: (f ∘ f⁻¹)(x) = x (özdeş fonksiyon)

Adım 3: (f⁻¹ ∘ f)(x)

$$(f^{-1} \circ f)(x) = f^{-1}(f(x))$$

$$= f^{-1}(2x - 3)$$

$$= \frac{(2x - 3) + 3}{2}$$

$$= \frac{2x}{2} = x$$

Cevap:

- (f ∘ f⁻¹)(5) = 5 ⭐⭐⭐

- (f⁻¹ ∘ f)(x) = x (özdeş fonksiyon) ⭐⭐⭐

🎯 Püf Noktası: f ∘ f⁻¹ = I (özdeş) ve f⁻¹ ∘ f = I

 Örnek 6: Tanım Kümesi Kontrol (⭐⭐⭐)

Soru: f(x) = x², g(x) = √x

(f ∘ g)(x) ve (g ∘ f)(x) için tanım kümelerini bulun.

Çözüm:

Dom(f) = ℝ, Im(f) = [0, ∞)

Dom(g) = [0, ∞), Im(g) = [0, ∞)

Adım 1: (f ∘ g)(x) = f(g(x))

$$(f \circ g)(x) = f(\sqrt{x}) = (\sqrt{x})^2 = x$$

Tanım kümesi: g(x) tanımlı olmalı → x ≥ 0

$$\text{Dom}(f \circ g) = [0, \infty)$$

Adım 2: (g ∘ f)(x) = g(f(x))

$$(g \circ f)(x) = g(x^2) = \sqrt{x^2} = |x|$$

Tanım kümesi: g'nin girdisi ≥ 0 olmalı → x² ≥ 0 (her zaman sağlanır)

$$\text{Dom}(g \circ f) = \mathbb{R}$$

✓ Kontrol:

- (f ∘ g)(4) = 4 (4 ≥ 0) ✓

- (g ∘ f)(-2) = |-2| = 2 ✓

Cevap:

- Dom(f ∘ g) = [0, ∞) ⭐⭐⭐

- Dom(g ∘ f) = ℝ ⭐⭐⭐

🎯 Püf Noktası: Bileşke fonksiyonun tanım kümesi:

$$\text{Dom}(f \circ g) = \{x : x \in \text{Dom}(g) \text{ ve } g(x) \in \text{Dom}(f)\}$$

 Örnek 7: Ters Fonksiyonu Bulma - Özel Tip (⭐⭐⭐)

Soru: f(x) = (x + 1)/(x - 1), f⁻¹(f(3)) = ? ve f(f⁻¹(5)) = ?

Çözüm:

Adım 1: Ters fonksiyonu bul

$$y = \frac{x + 1}{x - 1}$$

$$y(x - 1) = x + 1$$

$$yx - y = x + 1$$

$$yx - x = y + 1$$

$$x(y - 1) = y + 1$$

$$x = \frac{y + 1}{y - 1}$$

$$f^{-1}(x) = \frac{x + 1}{x - 1}$$

İlginç Not: f(x) = f⁻¹(x) (bu özel fonksiyon kendinin tersine eşit!)

Adım 2: f⁻¹(f(3))

Özdeş fonksiyon özelliğinden: f⁻¹(f(3)) = 3

Kontrol:

$$f(3) = \frac{3 + 1}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$$

$$f^{-1}(2) = \frac{2 + 1}{2 - 1} = \frac{3}{1} = 3$$ ✓

Adım 3: f(f⁻¹(5))

Özdeş fonksiyon özelliğinden: f(f⁻¹(5)) = 5

Cevap: f⁻¹(f(3)) = 3, f(f⁻¹(5)) = 5 ⭐⭐⭐

🎯 Püf Noktası: f(f⁻¹(x)) = x ve f⁻¹(f(x)) = x (tanım kümelerinde)

 YAYGIN HATALAR

 🎯 PÜF NOKTALAR - ÖZET

✓ Ters Fonksiyon:

- f: A → B bijektif ⟺ f⁻¹: B → A vardır

- f(x) = y ⟺ f⁻¹(y) = x

- Grafikleri y = x'e simetrik

✓ Ters Bulma Adımları:

1. y = f(x) yaz

2. x'e göre çöz

3. x ve y yerini değiştir

✓ Ters Fonksiyon Özellikleri:

- f ∘ f⁻¹ = I

- f⁻¹ ∘ f = I

- (f⁻¹)⁻¹ = f

✓ Bileşke Fonksiyon:

- (f ∘ g)(x) = f(g(x))

- İçten dışa oku

- Sırası önemli (f ∘ g ≠ g ∘ f)

✓ Bileşke Tanım Kümesi:

$$\text{Dom}(f \circ g) = \{x : x \in \text{Dom}(g) \wedge g(x) \in \text{Dom}(f)\}$$

✓ Bijektif Olma Koşulu:

1. Birebir: f(x₁) = f(x₂) ⟹ x₁ = x₂

2. Örten: f(A) = B