1. VİETA FORMÜLLER İ - TEMEL

 1.1. Vieta Kimdir?

François Viète (1540-1603)

- Fransız matematikçi

- "Modern cebirin babası"

- Kökler ile katsayılar arasındaki ilişkiyi keşfetti

Vieta Formülleri Ne İşe Yarar?

- Kökleri bulmadan, kökler hakkında bilgi edinme

- Denklem katsayılarından kök özellikleri bulma

- Yeni denklemler oluşturma

- Hızlı kontrol yapma

 1.2. Temel Vieta Formülleri

$$\boxed{ax^2 + bx + c = 0}$$

denkleminin kökleri $x_1$ ve $x_2$ olmak üzere:

 1. Kökler Toplamı

$$\boxed{x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}}$$

Hatırlama: "Eksi b bölü a"

Örnek:

$$

\begin{aligned}

2x^2 - 6x + 3 &= 0 \\

a = 2,\quad b &= -6 \\[0.5em]

x_1 + x_2 &= \frac{-(-6)}{2} = \frac{6}{2} = 3

\end{aligned}

$$

 2. Kökler Çarpımı

$$\boxed{x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}}$$

Hatırlama: "c bölü a"

Örnek:

$$

\begin{aligned}

2x^2 - 6x + 3 &= 0 \\

a = 2,\quad c &= 3 \\[0.5em]

x_1 \cdot x_2 &= \frac{3}{2}

\end{aligned}

$$

 3. Kökler Farkının Mutlak Değeri

$$\boxed{|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}}$$

Hatırlama: "Karekök delta bölü mutlak a"

Türetme:

$$

\begin{aligned}

(x_1 - x_2)^2 &= (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 \\

(x_1 - x_2)^2 &= \left(\frac{-b}{a}\right)^2 - 4\left(\frac{c}{a}\right) \\

(x_1 - x_2)^2 &= \frac{b^2}{a^2} - \frac{4ac}{a^2} \\

(x_1 - x_2)^2 &= \frac{b^2 - 4ac}{a^2} = \frac{\Delta}{a^2} \\[0.5em]

|x_1 - x_2| &= \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}

\end{aligned}

$$

Örnek:

$$

\begin{aligned}

x^2 - 5x + 6 &= 0 \\

\Delta &= 25 - 24 = 1 \\[0.5em]

|x_1 - x_2| &= \frac{\sqrt{1}}{1} = 1

\end{aligned}

$$

(Gerçekten: $x_1=3$, $x_2=2$ → $|3-2|=1$ ✓)

 1.3. Vieta Formüllerinin İspatı

İSPAT 1: Kökler Toplamı

Verilen:

$$

x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

$$

$$

x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}

$$

Toplam:

$$

\begin{aligned}

x_1 + x_2 &= \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \\

&= \frac{-b + \sqrt{\Delta} - b - \sqrt{\Delta}}{2a} \\

&= \frac{-2b}{2a} \\

&= -\frac{b}{a} \quad ✓

\end{aligned}

$$

İSPAT 2: Kökler Çarpımı

Çarpım:

$$

\begin{aligned}

x_1 \cdot x_2 &= \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \cdot \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \\

&= \frac{(-b + \sqrt{\Delta})(-b - \sqrt{\Delta})}{4a^2} \\

&= \frac{(-b)^2 - (\sqrt{\Delta})^2}{4a^2} \\

&= \frac{b^2 - \Delta}{4a^2} \\

&= \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} \\

&= \frac{4ac}{4a^2} \\

&= \frac{c}{a} \quad ✓

\end{aligned}

$$

Alternatif ispat: Çarpanlarına ayırma

$$

\begin{aligned}

ax^2 + bx + c &= a(x - x_1)(x - x_2) \\

ax^2 + bx + c &= a[x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2] \\

ax^2 + bx + c &= ax^2 - a(x_1+x_2)x + ax_1x_2

\end{aligned}

$$

Katsayıları eşitle:

$$

\begin{aligned}

b &= -a(x_1 + x_2) \quad \Rightarrow \quad x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \quad ✓ \\

c &= ax_1x_2 \quad \Rightarrow \quad x_1x_2 = \frac{c}{a} \quad ✓

\end{aligned}

$$

 1.4. Vieta Formülleri Özet Tablosu

💡 PÜF NOKTA: $a = 1$ ise formüller daha basit!

$$

\begin{aligned}

&x^2 + bx + c = 0 \text{ için:} \\

&x_1 + x_2 = -b \\

&x_1 \cdot x_2 = c

\end{aligned}

$$

 2. TÜRETİLMİŞ FORMÜLLER

 2.1. Kökler Karelerinin Toplamı

$$\boxed{x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}$$

Türetme:

$$

\begin{aligned}

(x_1 + x_2)^2 &= x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 \\

x_1^2 + x_2^2 &= (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2

\end{aligned}

$$

Vieta ile:

$$\boxed{x_1^2 + x_2^2 = \left(\frac{-b}{a}\right)^2 - 2\left(\frac{c}{a}\right) = \frac{b^2 - 2ac}{a^2}}$$

 2.2. Kökler Küplerinin Toplamı

$$\boxed{x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2)}$$

Hatırlama: $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$

Vieta ile:

$$\boxed{x_1^3 + x_2^3 = \left(\frac{-b}{a}\right)^3 - 3\left(\frac{c}{a}\right)\left(\frac{-b}{a}\right)}$$

 2.3. Kökler Terslerinin Toplamı

$$\boxed{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2}}$$

Vieta ile:

$$\boxed{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{-b/a}{c/a} = \frac{-b}{c}}$$

⚠️ DİKKAT: $c \neq 0$ olmalı! (Yoksa $x_1$ veya $x_2 = 0$, tanımsız)

 2.4. Kökler Terslerinin Çarpımı

$$\boxed{\frac{1}{x_1} \cdot \frac{1}{x_2} = \frac{1}{x_1 \cdot x_2}}$$

Vieta ile:

$$\boxed{\frac{1}{x_1} \cdot \frac{1}{x_2} = \frac{a}{c}}$$

 2.5. Kökler Farkının Karesi

$$\boxed{(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2}$$

Türetme:

$$

\begin{aligned}

(x_1 - x_2)^2 &= x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2 \\

&= (x_1^2 + x_2^2) - 2x_1x_2 \\

&= [(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2] - 2x_1x_2 \\

&= (x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2

\end{aligned}

$$

Vieta ile:

$$\boxed{(x_1 - x_2)^2 = \left(\frac{-b}{a}\right)^2 - 4\left(\frac{c}{a}\right) = \frac{b^2 - 4ac}{a^2} = \frac{\Delta}{a^2}}$$

 2.6. Türetilmiş Formüller Özet

 3. ÖZELLİKLER VE KOŞULLAR

 3.1. Köklerin İşareti Analizi

Durum 1: Her İki Kök Pozitif

Şartlar:

1. $\Delta \geq 0$ (Gerçel kök var)

2. $x_1 + x_2 > 0$ → $-\frac{b}{a} > 0$ → b ve a zıt işaretli

3. $x_1 \cdot x_2 > 0$ → $\frac{c}{a} > 0$ → c ve a aynı işaretli

Özet: $\Delta \geq 0$, $-\frac{b}{a} > 0$, $\frac{c}{a} > 0$

Durum 2: Her İki Kök Negatif

Şartlar:

1. $\Delta \geq 0$

2. $x_1 + x_2 < 0$ → $-\frac{b}{a} < 0$ → b ve a aynı işaretli

3. $x_1 \cdot x_2 > 0$ → $\frac{c}{a} > 0$ → c ve a aynı işaretli

Özet: $\Delta \geq 0$, $-\frac{b}{a} < 0$, $\frac{c}{a} > 0$

Durum 3: Kökler Zıt İşaretli

Şartlar:

1. $\Delta \geq 0$

2. $x_1 \cdot x_2 < 0$ → $\frac{c}{a} < 0$ → c ve a zıt işaretli

Özet: $\Delta \geq 0$, $\frac{c}{a} < 0$

Ek: Hangi kök daha büyük?

- $x_1 + x_2 > 0$ → Pozitif kök daha büyük ($|x_1| > |x_2|$)

- $x_1 + $x_2 < 0$ → Negatif kök daha büyük ($|x_2| > |x_1|$)

Durum 4: Bir Kök Sıfır

Şartlar:

1. $c = 0$ (Sabit terim yok)

Örnek:

$$

\begin{aligned}

x^2 - 3x &= 0 \\

x(x - 3) &= 0 \\

x_1 = 0,& \quad x_2 = 3

\end{aligned}

$$

 3.2. İşaret Analizi Özet Tablosu

 3.3. Özel Durumlar

1. Köklerden Biri 1 ise:

$$x_1 = 1 \text{ için: } a + b + c = 0$$

İspat: $x=1$'i denklemde yerine koy

2. Köklerden Biri -1 ise:

$$x_1 = -1 \text{ için: } a - b + c = 0$$

3. Kökler Eşit (Çift Kök) ise:

$$

\begin{aligned}

x_1 = x_2 &\Rightarrow \Delta = 0 \\

x_1 = x_2 &= -\frac{b}{2a}

\end{aligned}

$$

4. Kökler Simetrik ise:

$$

\begin{aligned}

x_1 + x_2 &= 0 \Rightarrow b = 0 \\

x_2 &= -x_1

\end{aligned}

$$

 4. ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

 4.1. Örnek D.1: Temel Vieta (⭐)

Soru: $2x^2 - 3x - 5 = 0$ denkleminin kökleri $x_1$ ve $x_2$ dir.

Bulunuz:

- a) $x_1 + x_2$

- b) $x_1 \cdot x_2$

- c) $|x_1 - x_2|$

Çözüm:

a) Kökler Toplamı

$$

\begin{aligned}

a = 2,\quad b = -3,\quad c &= -5 \\[0.5em]

x_1 + x_2 &= -\frac{b}{a} = \frac{-(-3)}{2} = \frac{3}{2}

\end{aligned}

$$

b) Kökler Çarpımı

$$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-5}{2}$$

c) Kökler Farkı

$$

\begin{aligned}

\Delta &= b^2 - 4ac = 9 - 4(2)(-5) = 9 + 40 = 49 \\[0.5em]

|x_1 - x_2| &= \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} = \frac{\sqrt{49}}{2} = \frac{7}{2}

\end{aligned}

$$

✓ Kontrol: Kökleri bularak doğrula

$$

\begin{aligned}

x &= \frac{3 \pm 7}{4} \\

x_1 &= \frac{10}{4} = \frac{5}{2} \\

x_2 &= \frac{-4}{4} = -1 \\[1em]

\text{Toplam: } & \frac{5}{2} + (-1) = \frac{5}{2} - \frac{2}{2} = \frac{3}{2} \quad ✓ \\

\text{Çarpım: } & \frac{5}{2} \cdot (-1) = -\frac{5}{2} \quad ✓ \\

\text{Fark: } & \left|\frac{5}{2} - (-1)\right| = \left|\frac{5}{2} + \frac{2}{2}\right| = \frac{7}{2} \quad ✓

\end{aligned}

$$

Cevap: a) $\frac{3}{2}$, b) $-\frac{5}{2}$, c) $\frac{7}{2}$ ✅

 4.2. Örnek D.2: Türetilmiş Formül (⭐⭐)

Soru: $x^2 - 7x + 10 = 0$ denkleminin kökleri $x_1$ ve $x_2$ dir.

$x_1^2 + x_2^2$ değerini bulunuz.

Çözüm:

Yöntem 1: Vieta Formülü

Adım 1: Temel Vieta

$$

\begin{aligned}

a = 1,\quad b = -7,\quad c &= 10 \\[0.5em]

x_1 + x_2 &= -\frac{b}{a} = 7 \\

x_1 \cdot x_2 &= \frac{c}{a} = 10

\end{aligned}

$$

Adım 2: Türetilmiş formül

$$

\begin{aligned}

x_1^2 + x_2^2 &= (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 \\

&= 7^2 - 2(10) \\

&= 49 - 20 \\

&= 29

\end{aligned}

$$

Yöntem 2: Kökleri Bulup Hesapla

$$

\begin{aligned}

x^2 - 7x + 10 &= 0 \\

(x - 2)(x - 5) &= 0 \\

x_1 = 2,\quad x_2 &= 5 \\[0.5em]

x_1^2 + x_2^2 &= 4 + 25 = 29 \quad ✓

\end{aligned}

$$

Cevap: $29$ ✅

 4.3. Örnek D.3: İşaret Analizi (⭐⭐⭐)

Soru: $2x^2 - 3x - 5 = 0$ denkleminin köklerinin işaretlerini belirleyiniz.

Çözüm:

Adım 1: Gerçel kök var mı?

$$\Delta = (-3)^2 - 4(2)(-5) = 9 + 40 = 49 > 0 \quad ✓$$

Adım 2: Kökler toplamı

$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = \frac{-(-3)}{2} = \frac{3}{2} > 0$$

Yorum: Toplam pozitif

Adım 3: Kökler çarpımı

$$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-5}{2} < 0$$

Yorum: Çarpım negatif → Kökler zıt işaretli

Adım 4: Hangi kök daha büyük?

$$x_1 + x_2 > 0 \Rightarrow \text{Pozitif kök daha büyük (mutlak değer olarak)}$$

Sonuç: 

- Bir kök pozitif, bir kök negatif

- Pozitif kök negatif kökten büyük

✓ Kontrol:

$$

\begin{aligned}

x_1 &= \frac{5}{2} \quad \text{(pozitif, büyük)} \\

x_2 &= -1 \quad \text{(negatif, küçük)} \\[0.5em]

x_1 &> 0 > x_2 \quad ✓ \\

|x_1| &> |x_2| \Rightarrow \frac{5}{2} > 1 \quad ✓

\end{aligned}

$$

Cevap: $x_1 > 0 > x_2$ ve $|x_1| > |x_2|$ ✅

 4.4. Örnek D.4: Kökler Tersi (⭐⭐)

Soru: $3x^2 - 5x + 2 = 0$ denkleminin kökleri $x_1$ ve $x_2$ dir.

$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$ değerini bulunuz.

Çözüm:

Yöntem 1: Türetilmiş Formül

$$

\begin{aligned}

\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} &= \frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2} \\[1em]

x_1 + x_2 &= -\frac{b}{a} = \frac{5}{3} \\

x_1 \cdot x_2 &= \frac{c}{a} = \frac{2}{3} \\[1em]

\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} &= \frac{5/3}{2/3} = \frac{5}{3} \times \frac{3}{2} = \frac{5}{2}

\end{aligned}

$$

Yöntem 2: Direkt Formül

$$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = -\frac{b}{c} = \frac{-(-5)}{2} = \frac{5}{2}$$

Yöntem 3: Kökleri Bulup Hesapla

$$

\begin{aligned}

3x^2 - 5x + 2 &= 0 \\

(3x - 2)(x - 1) &= 0 \\

x_1 = \frac{2}{3},\quad x_2 &= 1 \\[1em]

\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} &= \frac{3}{2} + 1 = \frac{3}{2} + \frac{2}{2} = \frac{5}{2} \quad ✓

\end{aligned}

$$

Cevap: $\frac{5}{2}$ ✅

 4.5. Örnek D.5: Parametrik Vieta (⭐⭐⭐)

Soru: $x^2 - (m+2)x + m = 0$ denkleminin kökleri $a$ ve $b$ olduğuna göre, b'yi a cinsinden bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: Vieta formüllerini yaz

$$

\begin{aligned}

\text{Katsayılar: } A&=1,\quad B=-(m+2),\quad C=m \\[0.5em]

a + b &= -\frac{B}{A} = \frac{m+2}{1} = m+2 \quad \cdots (1) \\

a \cdot b &= \frac{C}{A} = \frac{m}{1} = m \quad \cdots (2)

\end{aligned}

$$

Adım 2: (2)'den $m$'yi yaz

$$m = ab$$

Adım 3: (1)'e yerine koy

$$

\begin{aligned}

a + b &= m + 2 \\

a + b &= ab + 2 \\

b - ab &= 2 - a \\

b(1-a) &= 2 - a

\end{aligned}

$$

Adım 4: Basitleştir

$$b = \frac{2-a}{1-a}$$

Cevap: $b = \frac{2-a}{1-a}$ ✅

 4.6. Örnek D.6: Ortak Parametre (⭐⭐⭐)

Soru:

$$

\begin{aligned}

2x^2 + 5x + m + 1 &= 0 \quad \cdots (1) \\

2x^2 - 5x + m + 6 &= 0 \quad \cdots (2)

\end{aligned}

$$

denklemlerinin birer kökü ortak ise, diğer köklerinin toplamını bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: Ortak kökü $\alpha$ dersek

$\alpha$, her iki denklemi de sağlar:

$$

\begin{aligned}

2\alpha^2 + 5\alpha + m + 1 &= 0 \quad \cdots (I) \\

2\alpha^2 - 5\alpha + m + 6 &= 0 \quad \cdots (II)

\end{aligned}

$$

Adım 2: $(I) - (II)$

$$

\begin{aligned}

(2\alpha^2 + 5\alpha + m + 1) - (2\alpha^2 - 5\alpha + m + 6) &= 0 \\

10\alpha - 5 &= 0 \\

\alpha &= \frac{1}{2}

\end{aligned}

$$

Adım 3: $\alpha$'yı $(I)$'e koy, $m$'yi bul

$$

\begin{aligned}

2\left(\frac{1}{4}\right) + 5\left(\frac{1}{2}\right) + m + 1 &= 0 \\

\frac{1}{2} + \frac{5}{2} + m + 1 &= 0 \\

3 + m + 1 &= 0 \\

m &= -4

\end{aligned}

$$

Adım 4: Denklemleri $m=-4$ için yaz

$$

\begin{aligned}

(1): \quad 2x^2 + 5x - 3 &= 0 \\

(2): \quad 2x^2 - 5x + 2 &= 0

\end{aligned}

$$

Adım 5: Her denklemin diğer kökünü bul

Denklem (1):

$$

\begin{aligned}

x_1 + x_2 &= -\frac{b}{a} = -\frac{5}{2} \\

\frac{1}{2} + \beta_1 &= -\frac{5}{2} \\

\beta_1 &= -\frac{5}{2} - \frac{1}{2} = -3

\end{aligned}

$$

Denklem (2):

$$

\begin{aligned}

x_3 + x_4 &= -\frac{b}{a} = \frac{5}{2} \\

\frac{1}{2} + \beta_2 &= \frac{5}{2} \\

\beta_2 &= \frac{5}{2} - \frac{1}{2} = 2

\end{aligned}

$$

Adım 6: Diğer kökler toplamı

$$\beta_1 + \beta_2 = -3 + 2 = -1$$

✓ Kontrol:

$$

\begin{aligned}

(1): \quad 2x^2 + 5x - 3 &= 0 \Rightarrow (2x-1)(x+3)=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2}, \; x=-3 \quad ✓ \\

(2): \quad 2x^2 - 5x + 2 &= 0 \Rightarrow (2x-1)(x-2)=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2}, \; x=2 \quad ✓ \\[1em]

\text{Ortak kök: } & \frac{1}{2} \quad ✓ \\

\text{Diğer kökler: } & -3 \text{ ve } 2 \\

\text{Toplam: } & -3 + 2 = -1 \quad ✓

\end{aligned}

$$

Cevap: $-1$ ✅

 4.7. Örnek D.7: Eşit Kökler (Orantı) (⭐⭐⭐)

Soru:

$$

\begin{aligned}

3x^2 - 2x + m &= 0 \\

nx^2 - 2x + 2 &= 0

\end{aligned}

$$

denklemlerinin kökleri eşit ise, $m + n$ toplamını bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: Kökler eşit ise katsayılar orantılı

$$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$$

$$\frac{3}{n} = \frac{-2}{-2} = \frac{m}{2}$$

Adım 2: İkinci orantan

$$\frac{-2}{-2} = 1$$

Adım 3: Birinci oran

$$\frac{3}{n} = 1 \Rightarrow n = 3$$

Adım 4: Üçüncü oran

$$\frac{m}{2} = 1 \Rightarrow m = 2$$

Adım 5: Toplam

$$m + n = 2 + 3 = 5$$

✓ Kontrol:

$$

\begin{aligned}

m=2,\; n=3 \text{ için:} \\

3x^2 - 2x + 2 &= 0 \\

3x^2 - 2x + 2 &= 0 \quad \text{(Aynı denklem!)} \quad ✓

\end{aligned}

$$

Cevap: $5$ ✅

 5. İLERİ VİETA UYGULAMALARI

 5.1. $\sqrt{x_1} \pm \sqrt{x_2}$ Hesaplama

Yöntem:

$$

\begin{aligned}

t &= \sqrt{x_1} \pm \sqrt{x_2} \text{ dersek,} \\

t^2 &= (\sqrt{x_1} \pm \sqrt{x_2})^2 \\

t^2 &= x_1 \pm 2\sqrt{x_1x_2} + x_2 \\

t^2 &= (x_1 + x_2) \pm 2\sqrt{x_1x_2}

\end{aligned}

$$

Vieta'dan:

$$

\begin{aligned}

x_1 + x_2 &= -\frac{b}{a} \\

x_1x_2 &= \frac{c}{a} \\[1em]

t^2 &= \left(-\frac{b}{a}\right) \pm 2\sqrt{\frac{c}{a}} \\

t &= \sqrt{\left(-\frac{b}{a}\right) \pm 2\sqrt{\frac{c}{a}}}

\end{aligned}

$$

 5.2. Örnek D.8: $\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}$ (⭐⭐⭐)

Soru: $x^2 - 7x + 9 = 0$ denkleminin kökleri $x_1$ ve $x_2$ dir.

I. $\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}$  

II. $\sqrt{x_1} - \sqrt{x_2}$ ($x_1 > x_2$ için)

değerlerini bulunuz.

Çözüm:

I. $\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}$

Adım 1: $t = \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}$ dersek

Adım 2: Karesi al

$$

\begin{aligned}

t^2 &= (\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2})^2 \\

t^2 &= x_1 + 2\sqrt{x_1x_2} + x_2 \\

t^2 &= (x_1 + x_2) + 2\sqrt{x_1x_2}

\end{aligned}

$$

Adım 3: Vieta formülleri

$$

\begin{aligned}

x_1 + x_2 &= 7 \\

x_1 \cdot x_2 &= 9

\end{aligned}

$$

Adım 4: Yerine koy

$$

\begin{aligned}

t^2 &= 7 + 2\sqrt{9} \\

t^2 &= 7 + 2(3) \\

t^2 &= 7 + 6 \\

t^2 &= 13 \\[0.5em]

t &= \sqrt{13} \quad \text{(pozitif kök)}

\end{aligned}

$$

Cevap I: $\sqrt{13}$ ✅

II. $\sqrt{x_1} - \sqrt{x_2}$

Adım 1: $s = \sqrt{x_1} - \sqrt{x_2}$ dersek

Adım 2: Karesi al

$$

\begin{aligned}

s^2 &= (\sqrt{x_1} - \sqrt{x_2})^2 \\

s^2 &= x_1 - 2\sqrt{x_1x_2} + x_2 \\

s^2 &= (x_1 + x_2) - 2\sqrt{x_1x_2}

\end{aligned}

$$

Adım 3: Yerine koy

$$

\begin{aligned}

s^2 &= 7 - 2(3) \\

s^2 &= 7 - 6 \\

s^2 &= 1 \\[0.5em]

s &= 1 \quad \text{($x_1 > x_2$ için pozitif)}

\end{aligned}

$$

Cevap II: $1$ ✅

✓ Kontrol:

$$

\begin{aligned}

x^2 - 7x + 9 &= 0 \\

x &= \frac{7 \pm \sqrt{49-36}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{13}}{2} \\[1em]

x_1 &= \frac{7 + \sqrt{13}}{2} \approx 5.3 \\

x_2 &= \frac{7 - \sqrt{13}}{2} \approx 1.7 \\[1em]

\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} &\approx 2.3 + 1.3 = 3.6 \approx \sqrt{13} \quad ✓ \\

\sqrt{x_1} - \sqrt{x_2} &\approx 2.3 - 1.3 = 1 \quad ✓

\end{aligned}

$$

 5.3. Örnek D.9: $|x_1| + |x_2|$ (⭐⭐⭐)

Soru: $2x^2 - 5x + 2 = 0$ denkleminin kökleri için $|x_1| + |x_2|$ değerini bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: Köklerin işaretini belirle

$$

\begin{aligned}

\Delta &= 25 - 16 = 9 > 0 \quad ✓ \\

x_1 + x_2 &= \frac{5}{2} > 0 \\

x_1 \cdot x_2 &= \frac{2}{2} = 1 > 0

\end{aligned}

$$

Sonuç: İki kök de pozitif!

Adım 2: Kökler pozitif olduğundan

$$|x_1| + |x_2| = x_1 + x_2 = \frac{5}{2}$$

Alternatif: Negatif kökler olsaydı

$$|x_1| + |x_2| = -x_1 - x_2 = -(x_1 + x_2)$$

Cevap: $\frac{5}{2}$ ✅

 6. KÖKLERİ VERİLEN DENKLEM YAZMA

 6.1. Temel Kural

Kökleri $x_1$ ve $x_2$ olan ikinci dereceden denklem:

$$\boxed{(x - x_1)(x - x_2) = 0}$$

veya açık halde:

$$\boxed{x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0}$$

 6.2. Örnek D.10: Basit Denklem Yazma (⭐)

Soru: Kökleri 3 ve 5 olan ikinci dereceden denklemi bulunuz.

Çözüm:

Yöntem 1: Çarpan Formu

$$

\begin{aligned}

(x - 3)(x - 5) &= 0 \\

x^2 - 5x - 3x + 15 &= 0 \\

x^2 - 8x + 15 &= 0

\end{aligned}

$$

Yöntem 2: Vieta Formülü

$$

\begin{aligned}

x_1 + x_2 &= 3 + 5 = 8 \\

x_1 \cdot x_2 &= 3 \times 5 = 15 \\[1em]

x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 &= 0 \\

x^2 - 8x + 15 &= 0

\end{aligned}

$$

Cevap: $x^2 - 8x + 15 = 0$ ✅

✓ Kontrol:

$$

\begin{aligned}

x^2 - 8x + 15 &= 0 \\

(x-3)(x-5) &= 0 \\

x = 3 \text{ veya } x &= 5 \quad ✓

\end{aligned}

$$

 6.3. Örnek D.11: Kesirli Kökler (⭐⭐)

Soru: Kökleri $\frac{1}{2}$ ve $-3$ olan denklemi bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: Vieta formülü

$$

\begin{aligned}

x_1 + x_2 &= \frac{1}{2} + (-3) = \frac{1}{2} - \frac{6}{2} = -\frac{5}{2} \\

x_1 \cdot x_2 &= \frac{1}{2} \cdot (-3) = -\frac{3}{2}

\end{aligned}

$$

Adım 2: Denklemi yaz

$$

\begin{aligned}

x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 &= 0 \\

x^2 - \left(-\frac{5}{2}\right)x + \left(-\frac{3}{2}\right) &= 0 \\

x^2 + \frac{5}{2}x - \frac{3}{2} &= 0

\end{aligned}

$$

Adım 3: Tam sayı yap (2 ile çarp)

$$2x^2 + 5x - 3 = 0$$

Cevap: $2x^2 + 5x - 3 = 0$ ✅

 6.4. Örnek D.12: Parametrik Kökler (⭐⭐⭐)

Soru: Kökleri $m$ ve $2m-3$ olan denklemi bulunuz ($m$ parametrik).

Çözüm:

Adım 1: Topla ve çarp

$$

\begin{aligned}

x_1 + x_2 &= m + (2m-3) = 3m - 3 \\

x_1 \cdot x_2 &= m(2m-3) = 2m^2 - 3m

\end{aligned}

$$

Adım 2: Denklemi yaz

$$

\begin{aligned}

x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 &= 0 \\

x^2 - (3m-3)x + (2m^2-3m) &= 0

\end{aligned}

$$

Düzenle:

$$x^2 - 3(m-1)x + m(2m-3) = 0$$

Cevap: $x^2 - (3m-3)x + (2m^2-3m) = 0$ ✅

 6.5. Örnek D.13: Dönüşüm Kökleri (⭐⭐⭐)

Soru: $x^2 - 5x + 6 = 0$ denkleminin köklerinin kareleri kökleri olan denklemi bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: Orijinal kökleri bul (ihtiyaç yok, Vieta kullan!)

$$

\begin{aligned}

x_1 + x_2 &= 5 \\

x_1 \cdot x_2 &= 6 \\[0.5em]

&\text{(Gerçekte: } x_1=2, \; x_2=3 \text{)}

\end{aligned}

$$

Adım 2: Yeni köklerin toplamı

$$

\begin{aligned}

&\text{Yeni kökler: } x_1^2, \; x_2^2 \\[1em]

x_1^2 + x_2^2 &= (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 \\

&= 5^2 - 2(6) \\

&= 25 - 12 \\

&= 13

\end{aligned}

$$

Adım 3: Yeni köklerin çarpımı

$$

\begin{aligned}

x_1^2 \cdot x_2^2 &= (x_1 \cdot x_2)^2 \\

&= 6^2 \\

&= 36

\end{aligned}

$$

Adım 4: Yeni denklemi yaz

$$

\begin{aligned}

y^2 - (x_1^2+x_2^2)y + x_1^2x_2^2 &= 0 \\

y^2 - 13y + 36 &= 0

\end{aligned}

$$

veya x ile:

$$x^2 - 13x + 36 = 0$$

Cevap: $x^2 - 13x + 36 = 0$ ✅

✓ Kontrol:

$$

\begin{aligned}

\text{Orijinal kökler: } & 2, \; 3 \\

\text{Kareler: } & 4, \; 9 \\[1em]

\text{Yeni denklem: } & (x-4)(x-9) = 0 \\

& x^2 - 13x + 36 = 0 \quad ✓

\end{aligned}

$$

 7. HIZLI REFERANS KARTI

 7.1. Temel Formüller (Ezber!)

 $\|x_1-x_2\| = \frac{\sqrt{\Delta}}{\|a\|}$ | Kökler farkı | Soru soruyorsa 

 7.2. Türetilmiş Formüller (Çıkarım)

 7.3. Hangi Formül Ne Zaman?

 8. FORMÜLLER ÖZETİ

 8.1. Tüm Formüller Bir Arada

$ax^2 + bx + c = 0$ için kökleri $x_1, x_2$

 8.2. TYT'de Sıklık Oranları

Sonuç: İlk 3 formül mutlaka ezber! Diğerleri türetilebilir.

 9. PÜF NOKTALARI

 9.1. Hızlı Hesaplama Teknikleri

1. $a = 1$ ise direkt değerler

$$

\begin{aligned}

x^2 + bx + c &= 0 \\

x_1 + x_2 &= -b \\

x_1 \cdot x_2 &= c

\end{aligned}

$$

2. Kökler bulmadan kontrol

$\Delta$ hesapla, işaretlere bak. Kökleri bulmaya gerek yok!

3. Tersler için hızlı yol

$$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = -\frac{b}{c}$$

(Formülü türetme!)

4. Karelerin toplamı

$$x_1^2 + x_2^2 = (\text{toplam})^2 - 2(\text{çarpım})$$

(Açmaya gerek yok!)

5. İşaret analizi

- Çarpım $< 0$ → Zıt işaretli

- Çarpım $> 0$ ve Toplam $> 0$ → İki pozitif

- Çarpım $> 0$ ve Toplam $< 0$ → İki negatif

 9.2. Kontrol Stratejileri

Vieta ile kontrol:

Kökleri bulduktan sonra:

1. Topla → $-\frac{b}{a}$ ile karşılaştır

2. Çarp → $\frac{c}{a}$ ile karşılaştır

Ters kontrol:

Vieta'dan bulduğun değeri, kökleri bulup doğrula (zaman varsa)

 10. YAYGIN HATALAR

 10.1. En Sık Yapılan Hatalar

 10.2. Dikkat Edilmesi Gerekenler

1. Formülde Eksi İşareti

❌ x₁ + x₂ = b/a

✅ x₁ + x₂ = -b/a

Neden? Standart formda x katsayısı b

ax² + bx + c = 0

Vieta'da eksi var!

2. Tersler Toplamında c=0

x² + 3x = 0

c = 0 → Bir kök sıfır!

1/x₁ + 1/x₂ = -b/c = -3/0 → TANIMSIZ! ❌

3. Karekök Dağılımı

❌ √(x₁ + x₂) = √x₁ + √x₂

✅ √x₁ + √x₂ ayrı hesaplanmalı

Örnek:

√(4+9) = √13 ≠ √4 + √9 = 2+3 = 5